相似三角形中证明技巧文档格式.docx

1、AC dF，方法二：如图，过ADBFEC 竺即EM ACBd，ECEFDFEM （、到为中间比）,BD BDAB DF AC EF作DN/EC交BC于ND则有，BDN BAC，BDDNAC理ECFDNF，而BD EC（已知）（dN为中间比），、作垂线3.如图从一ABCD即BD AC AB DN （比例的基本性质）AB DFA C EF顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F,求证：AB AE AD AFAC2FCM/N1A B二B E过B作BM丄AC于M ,过D作DN丄AC于N ABM s ACEAM ABAB AEAC AM（1）AE AC又ADN s ACFANAD A

2、DAFAC AN （2）+ （2） AB AE ADAC（AM AN）ADN BCM AN=CMAC（AM CM ）三、作延长线例5.如图，Rt ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交 BC于2F, FG AB 于 G，求证：FG =CF ?BFFG CF解析：欲证式即 由“三点定形”，ABFG与ACFG会相似吗？显然不可能。BF FG個为ABFG为Rt A）,但由E为CD的中点，.可设法构造一个与A BFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于 H冲AF 则 -AE FGFG FHED ECFHED又 ED=EC FG=FH 又易证 Rt ACFH s R

3、t AGFBCF FHFG BF/ FG=FH FG2=CF BF 四、作中线 例6如图，BD=DC=EC=1 FG FH=CF BFABC中，AB丄AC , AE丄BC于E, D在AC 边上，若 ，求 AC。M ,解：取BC的中点又 BD=DCC DBC连AMDBC/ AB 丄 ACDCB / AM=CMDC=1MAC sMC ACDC BCMC= BCMC AC -BC2Bc2（1）CEDCRt AEC s Rt BAC 又/ EC=1BC BC （ 2）（1） （2）得，AC AC4 AC利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似,DBC相似是解题关键练习题1、在厶ABC中，D为AC上

4、的一点,求证：EFX BC=AC X DF2、 ABC 中，ACB MN过Q且MN丄CP ,90 ， AC=BC 交AC、BC于 / 1= / CBC中点M，构造MAC与E为CB延长线上的一点， BE=AD , DE交AB于F。,P是AB上一点，Q是PC上一点（不是中点），M、N，求证：PA: PB CM : CN。B例1 : 已知：如图， BC2= 2CD AC .ABC 中，AB = AC , BD 丄 AC 于 D .证法一（构造2CD ）:如图，在 AC截取DE= DC ,EC=/ BD 丄 AC 于 D,BD是线段CE的垂直平分线,BC=BE，/ C= / BEC, 又 AB = A

5、C ,/ C= / ABC . BCE sACB .BC ACCE BCBC2 = 2CD 证法二（构造/ AB = AC ,AB = AC=AE .-AC .2AC ）:又2CD如图，在CA的延长线上截取 AE = AC ,EEBC=90 , BD 丄 AC .EBC= / BDC= / EDB=90E=Z DBC , EBC BDC BC CD2AC” CD BC2 = 2CD AC .证法三（构造BC ）:如图，取BC的中点E,连结AE，则1BC .又 AB=AC/ ACE= AE 丄 BC ,/ AEC= / BDC=90CE AC 即 2BCCD BCBC2=2CDBC ）：/ BD

6、 丄 AC , BE=EC=EB , / EDC= / C证法四（构造如图，取BC中点E,连结DE,则CE=-BC .又 AB=AC，/ ABC= / C , ABC EDC .匹些J即BC CD EC CD1BC BC2=2CD AC .例 2 .已知梯形 ABCD 中，AD / BC , BC 3AD , E 是腰AB上的一点，连结CE（1）如果 CE AB , AB CD , BE 3AE，求 B 的度数；（2）设 BCE和四边形 AECD的面积分别为 3和S2，BE且2Si 3S2，试求 的值（1 ）设 AE k,则 BE 3k解法1如图，延长BA、CD交于点FAD / BC， BC

7、3AD，AF 2k，E为BF的中点又 CE BF BC CF，又 CF BF3AFBCF为等边三角形 故 B 60解法2 如图作DF/AB分别交CE、CB于点G、F 则CE DF，得平行四边形 ABFD 同解法1可证得 CDF为等边三角形故 B 1 60解法3 如图作AF / EC交CD于G，交BC的延长线于F 作GI /AB，分别交CE、BC于点H、I则CE GI，得矩形AEHGAF/CE又 BC 3ADCFAD，故G为CD、AF的中点以下同解法1可得 CGI是等边三角形解法4 如图,作AF /CD，交BC于F，作FG /CE，交AB于G，得平 行四边形AFCD，且FG AB读者可自行证得

8、ABF是等边三角形，故 B 60解法5 如图延长CE、DA交于点F，作AG/CD，分别交BC、CE于点 G、H，得平行四边形AGCD可证得A为FD的中点，贝U AH 2k，故 1 60得ABG为等边三角形，故 B 60解法6 如图（补形法），读者可自行证明 CDF是等边三角形，得 B F 60（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2 ）设 S bce 3S，则S四边形aecd 2S解法1 （补形法）如图补成平行四边形ABCF ,连结AC ,贝U2AD设 S ACDx ,则 S ACE2SS CDF2x由 S ABCS ACF 得，3s2sx2x,5x s4Sace3SBC

9、E3s34-sACE解法2（补形法）如图，延长BA、CD交于点F，S FADS ABC8S梯形ABCD5sS FEC21又 S EBC 3ss,S FBC7S BEC设BE8m，则EF 7m,15m ,AF 5m2m ,解法3（补形法）如图连结AC ,作DF / AC交BA延长线于点F 连结FC则 FAD s ABC ,故 AB 3AF （1）S ACDS ACF ,S四边形AECDS BCE故2BE3EF3（ AE AF）3AE 3AF （2）由（1）、（2）两式得BE 4AE解法4 （割补法）如图即匹连结A与CD的中点F并延长交BC延长线于点G ,如图，过E、A分别作高g、h?,S EBCh1h2又BCBGS ABGBE ,，故则CG AD且S四边形AECD S四边形AECG，说明 本题综合考查了等腰三角形的性质 性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形例3.如图4-1，已知平行四边 ABCD中，于G .求AG : AC的值.AF -ADE是AB的中点， 3 ，连E、F交AC解法1 : 延长FE交CB的延长线于 H ,四边形ABCD是平行四边形，