人教A版高中数学必修5教学同步讲练第三章 《不等式》章末复习课Word格式.docx

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专题一　不等关系与不等式的基本性质

1．同向不等式可以相加，异向不等式可以相减；

但异向不等式不可以相加，同向不等式不可以相减．

（1）若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d；

（2）若a＞b，c＜d，则a－c＞b－a.

2．左右同正不等式：

同向的不等式可以相乘，但不能相除；

异向不等式可以相除，但不能相乘．

（1）若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；

（2）若a＞b＞0，0＜c＜d，则＞.

3．左右同正不等式，两边可以同时乘方或开方：

若a＞b＞0，则an＞bn或＞.

4．若ab＞0，a＞b，则＜；

若ab＜0，a＞b，则＞.

[例1]　已知a＞0，b＞0，且a≠b，比较＋与a＋b的大小．

解：

因为－（a＋b）＝－b＋－a＝

＋＝（a2－b2）＝

（a2－b2）＝，

因为a＞0，b＞0，且a≠b，

所以（a－b）2＞0，a＋b＞0，ab＞0，

所以－（a＋b）＞0，即＋＞a＋b.

归纳升华

不等式比较大小的常用方法

（1）作差比较法：

作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果．

（2）作商比较法：

常用于分数指数幂的代数式．

（3）乘方转化的方法：

常用于根式比较大小．

（4）分子分母有理化．

（5）利用中间量．

[变式训练]　

（1）已知0＜x＜2，求函数y＝x（8－3x）的最大值；

（2）设函数f（x）＝x＋，x∈[0，＋∞），求函数f（x）的最小值．

（1）因为0＜x＜2，所以0＜3x＜6，8－3x＞0，

所以y＝x（8－3x）＝×

3x·

（8－3x）≤

＝，

当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号，

所以当x＝时，y＝x（8－3x）有最大值为.

（2）f（x）＝x＋＝（x＋1）＋－1，因为x∈[0，＋∞），所以x＋1＞0，＞0，

所以x＋1＋≥2.

当且仅当x＋1＝，

即x＝－1时，f（x）取最小值．

此时f（x）min＝2－1.

专题二　一元二次不等式的解法

一元二次不等式的求解流程如下：

一化——化二次项系数为正数．

二判——判断对应方程的根．

三求——求对应方程的根．

四画——画出对应函数的图象．

五解集——根据图象写出不等式的解集．

[例2]　

（1）解不等式：

－1＜x2＋2x－1≤2；

（2）解不等式＞1（a≠1）．

（1）原不等式等价于

即

由①得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0；

由②得（x＋3）（x－1）≤0，

所以－3≤x≤1.

将①②的解集在数轴上表示出来，如图所示．

求其交集得原不等式的解集为{x|－3≤

x＜－2或0＜x≤1}．

（2）原不等式可化为－1＞0，

即（a－1）（x－2）＞0（*），

①当a＞1时，（*）式即为（x－2）＞0，而－2＝＜0，所以＜2，此时x＞2或x＜.

②当a＜1时，（*）式即为（x－2）＜0，

而2－＝，

若0＜a＜1，则＞2，此时2＜x＜；

若a＝0，则（x－2）2＜0，此时无解；

若a＜0，则＜2，此时＜x＜2.

综上所述，

当a＞1时，不等式的解集为；

当0＜a＜1时，不等式的解集为；

当a＝0时，不等式的解集为∅；

当a＜0时，不等式的解集为.

含参数的一元二次不等式的分类讨论

（1）对二次项系数含有参数的一元二次不等式，要注意对二次项系数是否为零进行讨论，特别当二次项系数为零时需转化为一元一次不等式问题来求解．

（2）对含参数的一元二次不等式，在其解的情况不明确的情况下，需要对其判别式分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况并加以讨论．

（3）若含参数的一元二次不等式可以转化成用其根x1，x2表示的形如a（x－x1）（x－x2）的形式时，往往需要对其根分x1＞x2、x1＝x2，x1＜x2三种情况进行讨论，或用根与系数的关系帮助求解．

[变式训练]　定义在（－1，1）上的奇函数f（x）在整个定义域上是减函数，且f（1－a）＋f（1－a2）＜0，求实数a的取值范围．

因为f（x）的定义域为（－1，1），

所以

所以0＜a＜，①

原不等式变形为f（1－a）＜－f（1－a2）．

由于f（x）为奇函数，有－f（1－a2）＝f（a2－1），

所以f（1－a）＜f（a2－1）．

又f（x）在（－1，1）上是减函数，

所以1－a＞a2－1，解得－2＜a＜1.②

由①②可得0＜a＜1，

所以a的取值范围是（0，1）．

专题三　简单的线性规划问题

线性规划问题在实际中的类型主要有：

（1）给定一定数量的人力、物力资源，求如何运用这些资源，使完成任务量最大，收到的效益最高；

（2）给定一项任务，问怎样统筹安排，使得完成这项任务耗费的人力、物力资源最少.

[例3]　某厂用甲、乙两种原料生产A，B两种产品，制造1tA，1tB产品需要的各种原料数、可得到利润以及工厂现有各种原料数如下表：

原料

每种产品所需原料/t

现有原料数/t

A

B

甲

2

1

14

乙

3

18

利润/（万元/t）

5

____

（1）在现有原料条件下，生产A，B两种产品各多少时，才能使利润最大？

（2）每吨B产品的利润在什么范围变化时，原最优解不变？

当超出这个范围时，最优解有何变化？

（1）生产A，B两种产品分别为xt，yt，则利润z＝5x＋3y，x，y满足作出可行域如图所示：

当直线5x＋3y＝z过点B时，z取最大值37，即生产A产品t，B产品t时，可得最大利润．

（2）设每吨B产品利润为m万元，则目标函数是z＝5x＋my，直线斜率k＝－，

又kAB＝－2，kCB＝－，要使最优解仍为B点，

则－2≤－≤－，解得≤m≤15.

解答线性规划应用题的步骤

（1）列：

设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．

（2）画：

画出线性约束条件所表示的可行域．

（3）移：

在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．

（4）求：

通过解方程组求出最优解．

（5）答：

作出答案．

[变式训练]　已知x>

0，y>

0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是（　　）

A．3　　　　　B．4　　　　　C.　　　　　D.

解析：

法一：

依题意得，x＋1>

1，2y＋1>

1，易知（x＋1）·

（2y＋1）＝9，则（x＋1）＋（2y＋1）≥2＝2＝6，当且仅当x＋1＝2y＋1＝3，即x＝2，y＝1时，等号成立，因此有x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值为4.

法二：

由题意得，

x＝＝＝－1＋，

所以x＋2y＝－1＋＋2y＝－1＋＋2y＋1－1，≥2－2＝4，

当且仅当2y＋1＝3，即y＝1时，等号成立．

答案：

专题四　成立问题（恒成立、恰成立等）

[例4]　已知函数f（x）＝mx2－mx－6＋m，若对于m∈[1，3]，f（x）<

0恒成立，求实数x的取值范围．

因为mx2－mx－6＋m<

0，

所以m（x2－x＋1）－6<

对于m∈[1，3]，f（x）<

0恒成立⇔

即为

计算得出：

<

x<

.

所以实数x的取值范围：

不等式恒成立求参数范围问题常见解法

（1）变更主元法：

根据实际情况的需要确定合适的主元，一般将知道取值范围的变量看作主元．

（2）分离参数法：

若f（a）<

g（x）恒成立，则f（a）<

g（x）min；

若f（a）>

g（x）恒成立，则f（a）>

g（x）max.

（3）数形结合法：

利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图象直观化．

[变式训练]　已知函数y＝的最小值为1，求实数a的取值集合．

由y≥1即≥1⇒x2－（a＋4）x＋4≥0恒成立，

所以Δ＝（a＋4）2－16≤0，解得－8≤a≤0（必要条件）．

再由y＝1有解，即＝1有解，

即x2－（a＋4）x＋4＝0有解，所以Δ＝（a＋4）2－16≥0，解得a≤－8或a≥0.

综上即知a＝－8或a＝0时，ymin＝1，

故所求实数a的取值集合是{－8，0}．

专题五　利用分类讨论思想解不等式

[例5]　解关于x的不等式<

0（a∈R）．

分析：

首先将不等式转化为整式不等式（x－a）（x－a2）<

0，而方程（x－a）（x－a2）＝0的两根为x1＝a，x2＝a2，故应就两根a和a2的大小进行分类讨论．

原不等式等价于（x－a）（x－a2）<

0.

（1）若a＝0，则a＝a2＝0，不等式为x2<

0，解集为∅；

（2）若a＝1，则a2＝1，不等式为（x－1）2<

（3）若0<

a<

1，则a2<

a，故解集为{x|a2<

a}；

（4）若a<

0或a>

1，则a2>

a，故解集为{x|a<

a2}．

分类讨论思想

解含有字母的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论．分类讨论大致有以下三种：

（1）对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论．

（2）对不等式（组）作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论．

（3）对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论．

[变式训练]　已知奇函数f（x）在区间（－∞，＋∞）上单调递减，α，β，γ∈R且α＋β>

0，β＋γ>

0，γ＋α>

0.试判断f（α）＋f（β）＋f（γ）的值与0的关系．

因为f（x）为R上的减函数，

且α>

－β，β>

－γ，γ>

－α，

所以f（α）<

（－β），f（β）<

f（－γ），

f（γ）<

f（－α），

又f（x）为奇函数，

所以f（－β）＝－f（β），f（－α）＝－f（α），

f（－γ）＝－f（γ），

所以f（α）＋f（β）＋f（γ）<

f（－β）＋f（－γ）＋f（－α）＝

－[f（β）＋f（γ）＋f（α）]，