数值分析考试总结docWord文档格式.docx
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不用很小得数做分母（不用很大的数做分子）
4．改变下列表达式使计算结果比较精确：
（1）
（2）
（3）
解
（1）
.
（2）
.
（3）
第二章
拉格朗日插值公式（即公式
（1））
插值基函数（因子）可简洁表示为
其中:
例1n=1时，线性插值公式
，
例2n=2时，抛物插值公式
牛顿（Newton）插值公式
由差商的引入，知
（1）过点
的一次插值多项式为
其中
（2）过点
的二次插值多项式为
重点是分段插值:
1.利用Lagrange插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：
（1）
-1
1/2
1
-3
-1/2
（2）
-3/2
解
（2）：
方法一.由Lagrange插值公式
可得：
方法二.令
由
，
，定A，B（称之为待定系数法）□
15.设
，求
在区间
上的分段线性插值函数
，并估计误差，取等距节点，且
，
设
，则：
误差估计：
第三章
最佳一致逼近:
（了解）
最佳平方逼近
主要分两种情形：
1.连续意义下
在空间
中讨论
2.离散意义下
在
维欧氏空间
中讨论，只要求提供
的样本值
1.最佳逼近多项式的法方程组
设
的
维子空间
=span
其中
是
的线性无关多项式系.
对
，设其最佳逼近多项式
可表示为:
由
即
（*2）
称（*2）式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）.
由
的线性无关性，可证明
正定，即
上述法方程组的解存在且唯一.
11、求
，
的一次和二次最佳平方逼近多项式.
解：
分别为
的一次、二次最佳平方逼近多项式。
内积
计算如下内积：
建立法方程组：
（1）
，得：
于是
（2）
解得：
于是：
第四章
1为什么要进行数值积分?
常用哪些公式,方法?
梯形复化求积公式和simpson复化求积公式.
2:
方法好坏的判断:
代数精度
●误差分析
1.代数精度的概念
定义若求积公式
（*）对所有次数
的多项式是精确的，但对
次多项式不精确，则称（*）具有
次代数精度。
等价定义
若求积公式（*）对
是精确的，但对
不精确，则（*）具有
3:
误差
1等距剖分下的数值求积公式：
公式特点：
节点预先给定，均匀分布,系数
待定
利用插值多项式
近似代替
，即得插值型求积公式Newton-Cotes公式
2给定节点数下的具有最佳逼近性质（具有最高次代数精度）的数值求积公式：
Gauss求积公式公式特点：
系数
和节点
均待定
3分段插值多项式
（分段求积）复化求积公式
复化求积公式
通过高次求积公式提高精度的途径不行，类似函数插值
分而治之：
分段＋低次求积公式----------称为复化求积法
两类低次（
）求积公式：
1.Newton－Cotes型：
矩形、梯形、Simpson、Cotes公式
分别称为复化矩形、梯形、辛甫生、柯特斯公式
2.Gauss型：
一点、两点、三点Gauss求积公式
称为复化一点、两点、三点Gauss公式
复化梯形公式（
复化辛甫生公式:
（每个
上用辛甫生公式求积）
为
的中点
复化辛甫生公式是最常用的数值求积方法。
常采用其等价形式：
复化柯特斯公式
其中，
的中点，
的四等分的分点
●自适应复化求积法
计算时，要预先给定
或步长
，在实际中难以把握
因为，
取得太大则精度难以保证，
太小则增加计算工作量.
自适应复化梯形法的具有计算过程如下：
步1
步2
步3判断
？
若是，则转步5；
步4
，转步2；
步5输出
.
第五章
1:
常用方法:
（1）.直接解法：
逐步（顺序）消去法、
主元素法、矩阵分解法等；
（2）.迭代解法：
构造某种极限过程去逐步逼近方程组的解
①.经典迭代法
迭代法、
迭代法、
逐次超松弛（SOR）迭代法等；
②.Krolov子空间的迭代法
根据
的对称性，又分为：
对称正定-------共轭梯度法
非对称---------BICG、GMRes（最小残量法）
③.解一类特定背景问题的迭代法
多重网格法
几类迭代法优缺点比较:
迭代方法
目标：
求解
其中，
非奇异。
基本思想：
把线性方程组
的解
，化为一个迭代序列极限解
关键：
构造迭代序列所满足的公式：
迭代格式。
构造迭代格式基本步骤：
1．将
分裂：
，其中，
非奇异
2．构造迭代格式
其中
，称之为迭代矩阵,
的残余向量
此时，
常用的迭代方法
将
分裂为
●Jacobi迭代方法
若
，迭代格式
①
其中Jacobi迭代矩阵：
①式可写为分量形式
.（*1）
方法（*1）或①称为Jacobi迭代方法.
Gauss—Seidle迭代方法
②
Gauss-Seidel迭代矩阵：
其分量形式
.（*2）
即，
在计算新分量
时，利用新值
。
迭代法（*2）或②称为Gauss—Seidel迭代方法。
●超松弛方法（SOR）方法
定义SOR方法的迭代格式如下：
（*3）
称为松弛因子，
即为
方法.
其矩阵形式
其中，
SOR法的迭代矩阵：
第七章
解非线性方程与方程组的方法:
1.准确方法
如：
用求根公式对
次的代数多项式求根。
但：
绝大多数的方程并无准确方法可用。
如：
次的代数多项式并无求根公式。
2.数值方法（实际中大多采用）
设法找到一个能收敛到方程的解的序列。
（1）.区间套法——二分法。
（2）.迭代法：
①.简单迭代法；
②.Newton迭代法;
.割线法;
.加速算法。
收敛条件:
二分法无条件
简单迭代法条件:
定理1如果
满足以下条件:
1）
;
2）
常数
:
使得对任意两点
都有
则:
方程（*）在
上的解
存在唯一,且对任给的初值
由迭代过程（**）所产生的序列
收敛到
2.为求方程
附近的一个根，设将方程改写为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：
，迭代公式
（3）
试分析每一种迭代公式的收敛性，并问哪一种迭代收敛得快？
解：
取
的邻域
来考察
，故迭代公式
（1）收敛.
故迭代公式
（2）也收敛。
故迭代公式（3）发散.
由于
越小，越快地收敛于根
，故
（2）式收敛最快。
□
第八章
解一阶常微分方程的常用方法:
Euler方法Runge-Kutta方法
2阶常微分方程边值问题的差分方法
1．三类边值问题
1）第一类边值问题：
，（3.1）
（3.2）
2）第二类边值问题：
，（3.3）
（3.4）
3）第三类边值问题：
，（3.5）
，（3.6）
。
2．差分格式的建立
针对方程（3.1）而言.
Step1取
的离散节点:
第
步步长
一般可取等
步长:
Step2将
用二阶差商、
用一阶差商近似：
理由：
由Taylor展开，有
两式相加得
两式相减得
Step3略去
项,并记
则由方程（3.1）有:
………………………………（3.7）
所以得到第一边值问题（3.1）-（3.2）的差分格式:
…（3.8）
.…………………………（3.9）
对第二边值条件（3.3）,由于
已及
所以可得到第二类边值问题（3.3）-（3.4）的差分格式:
…（3.10）
.………（3.11）
类似可得第三类边值问题（3.5）-（3.6）的差分格式（略）.
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