经济计量模型的合理性问题Word格式文档下载.docx

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及此相反，反演则不一定是合理，所以本文将考察反演（即计量经济模型）问题合法性问题。

依计量经济学先驱者Frish（1933）定义，“统计学、经济理论和数学理论，

且正是这三者结合构成了经济计量学”；

而将计量经济学规范化Haavelmo（1944）则认为计量经济学是整个经济理论基础，且其本身就具分析性和预测性；

但经济学界比较同意说法是Samuelson、Koopmans、Stone（1954）年定义，“在理论和观察同时发展基础上，用适当推理方法叙述、对实际经济现象数量分析”；

而现实研究中则是依Christ（1966）说法“它或者是解释我们已经见过变量动态，或者是预测我们尚未见到动态，或者两者都有”。

计量经济学本身是年轻科学，但其应用推广却非常迅速，特别在二十世纪五十——六十年代，由计量经济学家主导考尔斯委员会（Cowles），以联立方程为主要工具，以宏观经济学为基地将计量经济学领域推到了全部经济学，试图构造一个计量经济预测模型帝国，其作用一直延续到二十世纪六十年代末。

其后，随着古典经济学思想复兴，出现了以Lucas（1976）牵头计量经济学批判，但该方法对经济数据误差没有涉及。

另一方面，因为认识到经济数据误差（异方差性和自相关），计量经济学对估计方法（如最小二乘法）进行了拓展，但该方法不足是：

一是忽视了Lucas批判提出模型构造偏差作用；

二是在方法上只是最小二乘法简单推广，没有系统解决理论和数据误差一套理论，由此构造计量经济预测模型仍无法令人满意。

针对该现状，本文从考察计量经济模型数据误差入手，进而提出克服模型不适定性理论和方法，从而解决计量经济模型合理使用问题，其结果也归结于对估计方法改进。

二、经济计量模型为什么会出现不合理

计量经济学教材（Green,1993）对经济数据描述导出了估计方法改进问题，本文对该方法加以推广，以在更宽范围讨论该问题。

依经济分析传统，一般将经济空间定义为向量空间（见Debreu（1959）），也可具体化为Banach空间或欧氏空间（见StokeyandLucas（1989））。

为本文分析方便起见，我们将经济空间定义为带内积完备度量空间，即Hilbert空间（这样易于讨论问题完备性）。

在最一般意义上，我们可将经济模型抽象为如下算子方程：

（2.1）

式中：

为Hilbert空间，K为线性或非线性算子。

（2.1）式所表示关系可提出两方面问题，一是将作为自变量，来求得值，这可称为一般经济模型正问题；

另外是已得值来推导应满足关系，我们所要讨论计量经济模型就是这种形式，这称反演方程。

从数学角度看，正问题有解并非必导致反演问题有解，反演方程解并不是无条件能得到，相反，反演问题在许多情况下从数学上看是不适定（一个数学方程称为适定是指K满射、双射且

连续，否则问题不适定），即它解不一定存在，即使解存在也不唯一，或在解存在唯一条件下也不稳定（即解不连续依赖于初始资料，

不连续）。

为分析更有针对性，我们不去讨论解存在唯一性问题（可以认为计量经济预测模型存在唯一解），而是依计量经济模型特点去讨论解稳定性问题。

Lucas（1976）关于计量经济预测模型批判讨论不适定问题来自模型假设方面，即理论偏差（我们认可Lucas结论，不再做进一步分析）。

我们这里从数据误差上入手，考察是否存在一稳定理论近似解来逼近真解。

要使（2.1）反演方程成立，由于g是统计得到，故有误差，记为g近似，实际上我们要讨论方程为：

，由于

不连续，所以不能用

来作为近似解，因为当

时不能保证

。

这就需要设法构造一近似解，使当

时，

自然我们要提核心问题是，为什么计量经济模型解一般是不稳定。

为回答这个问题，我们对方程存在唯一解情况进行讨论。

设

为紧线性算子（即为线性算子且将中有界集映成中相对紧集），为共轭算子，

，由数学理论（泛函分析）知，

是

中非负紧自共轭算子，其特征值可记为，对应特征向量记为。

，同时记算术平方根

，可以得到：

我们令

代入上式得：

（2.2）

分别为、中标准正交系。

我们又记

，称为0空间，故对

有：

（2.3）

（（2.3）中符号

表示两变量内积）。

在为紧算子时，对反演问题有以下定理：

Picard定理：

方程（2.1）可解充要条件是：

a、

b、

此时得到解为：

（2.4）

从（2.4）式看到，反演问题不适定是由

引起。

理由是，设为近似值，即：

，其中是一充分小量，则有：

将相对应解记为，则从（2.4）式知：

，故得估计式：

所以，在

时，因为

，引起

，即不适定问题就出现了。

计量经济预测模型之所以会出现不适定问题，是因为经济统计数据作为经济系统输出受到了各种各样干扰，从而产生了误差（异方差性和自相关），用这些数据作为初值来确定经济模型，就会出现问题不适定，所以试图用传统计量方法（如最小二乘法）来直接构造经济模型及至预测经济变动，一般是不可行。

因为计量预测模型对初值（统计数据）过度敏感，使模型预测能力失去了能力。

为了使计量经济预测模型可用，就需要想办法去消除

作用。

可以这样直观地考虑，对可能产生不适定结果（2.4）式进行变换，加进称为阻尼函数项

，将（2.4）式变换为：

（2.5）

试图通过

来抵消

对阻尼函数提出要求是：

为

上有界函数,记为：

；

b、对

，

，使：

，从而保证

能消除

影响；

c、

，通过本式保证了

能逼近

由上面三条假设可得到如下结果：

如果

满足上面a、b、c三个条件，且为单叶紧线性算子，则：

（2.6）

（2.6）式证明如下：

因为为单叶，故

，由（2.3）知

或

，这时：

，而：

可得到：

而对

，，可得：

当

时，取充分小可使：

，所以：

这样

依上述思路能找出很多来，但既使由而得到了并不等于就解决了问题，反而产生了新问题，我们来看。

若（2.1）存在唯一解，记为

，为近似值即

充分小。

对应于来解方程

，设其解为

，这个解是否适合

？

事情并非必然如此。

因为：

（2.7）

（2.7）式成立道理在于若要求

，则必须

，所以该式不会必然趋于0，而是只对特殊如此。

由此可知，选择合适

以使

，就成了解决（2.1）不适定问题关键。

但是，我们看到上面提出问题方式虽然直观，但不严密，寻找过程中是一个凑合问题思路，为使问题解决更严谨，可利用Tikhonov（1977）正则化方法来进行分析。

正则化方法特点是将问题转化成一个变分问题，以保证当初始数据误差很小时，近似解能收敛于真解。

我们基本思路是，假设观测所得到数据误差不大，并使

，这时求问题（2.1）反演等价于求解变分问题：

（2.8）

而且，可将上式变为容易分析等周变分问题（Kress（1989））：

（2.9）

对于（2.9）型变分问题通过Lagrange乘子法又可化为如下无约束条件下泛函极值问题：

（2.10）

（2.10）式中

称为光滑泛函，

称为正则泛函，称为正则化参数。

对于（2.10）解特征，Tikhonov（1977）得到了如下定理：

设为Hilbert空间，

为常数，

，则存在唯一满足：

a、

b、是由如下方程给出唯一解：

（是单位向量）（2.11）

c、连续依赖于。

（2.8）合理性是由下面定理保证：

设为Hilbert空间，

，若

满足

则对任意

，方程（2.1）存在唯一带有偏差为解（Kress（1989））。

所以，（2.11）是否有解取决于性质如何，这及前面直观方法得到结论相同。

该方法基本想法是，因为模型不适定来自数据误差，所以在反演时为避免不适定出现，应在优化程序中将数据误差一并考虑，这就是反演方法基本特征。

当然在计量经济模型中不仅有来自数据问题，还有模型构造误差，但基本思想却是相同，只不过在考虑误差方法上有所差别。

我们想法是依照计量经济学传统从最小二乘法入手进行分析以构造反演估计方法。

三、消除计量经济模型不适定——反演最小二乘法

我们看到，上面用抽象变分方法得到了一条改进计量经济模型估计方法思路，但却不能直接用，我们从最基本估计方法入手来使用上面思想。

为分析简便计，我们从考察最基本估计方法——最小二乘法开始。

假定有一组观察数据，想用来拟合一个线性方程：

（为阶列向量,为

阶矩阵（设有个自变量,个观察值）,为未知参数阶列向量,为误差列向量）。

为使估计有意义，设元素不是随机且具有限方差；

服从

，且

正态分布（为

单位矩阵，为转置向量），最小二乘法就是在已知观察值情况下得到估计值，通过优化程序：

得到：

但是，我们看到，最小二乘法对数据误差有特定要求，即

，在经济数据存在自相关或异方差情况下该程序得到结果不合理，而广义最小二乘法针对这一缺陷提供了另一程序，但所用方法及最小二乘法相同。

这时令：

，为一已知正定

矩阵（不一定是单位矩阵），广义最小二乘法就是在已知观察值情况下得到估计值。

而按照线性代数理论，可以对数据进行变换，使变换后误差项方差及协方差矩阵为

，利用及最小二乘法同样优化程序得：

当然还有多种及广义最小二乘法相似改进估计方法（如Hall（1992）），但它们都不能完全解决计量经济模型不适定问题，看起来要寻找另外思路，而反演是一种有效方法。

反演方法是利用概率论中贝叶斯推断方法，在给定观测数据信息、理论模型信息及模型参数先验信息后，求模型参数后验信息（概率密度）。

先看数据方面。

设对经济系统输出进行了观察，用概率密度

表示；

令

为经济系统真正输出为，但经统计后输出为

条件概率密度；

，联合概率密度；

又设对经济系统输出事先不知道，则概率密度可取为非信息概率密度

（非信息概率密度指在全信息空间中反映信息量最小信息状态概率密度），得：

（3.1）

而由条件概率密度定义有：

（3.2）

依计量经济模型估计基本假设，最小二乘法及广义最小二乘法都假定输出误差为高斯型，这时有（如果数据中有离群点则需用另外公式）：

（3.3）

（3.3）式中为被观测数据空间维数，

为观测数据协方差算子。

再看理论模型。

依Lucas（1976）分析，在