信息论与纠错编码题库Word下载.docx

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一个（n,k）线性分组码生成矩阵有k行n列校验矩阵有（n-k）行n列。

8.4什么样的码成为系统码？

系统码的生成矩阵和校验矩阵在形式上有何特点？

若信息组为不变的形式，称在码字的任意k位中出现的码为系统码；

一个系统码的生成矩阵G，其左边k行k列是一个k阶单位方阵，系统码的校验矩阵H，其右边r行r列组成一个r阶单位方阵。

8.5什么是对偶码？

试举例说明之。

若把（n,k）码的H矩阵看成是（n,r）码的生成矩阵Gd,而（n,k）码的G矩阵就是（n,r），码的校验矩阵Hd,则称这两种码为互为对偶码。

例如课本列举的（7，3）码

Gd=H=

8.6试述码的距离和重量的概念。

线性分组码的最小距离有何实际意义？

两个码字之间，对应位取值不同的个数，称为它们之间的汉明距离，简称距离用d（c1,c2）表示。

码字中非零码元的个数，称为该码子的汉明重量，简称重量，用w（c）表示。

一个线性分组码的最小距离是衡量码抗干扰能力的重要参数。

码的最小距离愈大，其抗干扰能力愈强。

8.7如果要构造一个能纠2个错的线性分组码，则其H矩阵中至少应保证多少列线性无关？

4列根据定理8.2检测e个错，则要求码的最小距离d大于等于e+1

纠正t个错，则要求码的最小距离d大于等于2t+1

纠正t个错误同时检测e个错误，则要求d大于等于t+e+1

而根据定理8.3（n,k）线性分组码有最小距离为d的重要条件是H矩阵中任意d-1列线性无关

所以是4列

8.8什么是接收序列y的伴随式s？

为什么伴随式s只由错误图样e决定？

令

其中y为接收码字e为接收图样，称s为接收序列的伴随式。

由式可知若e=0，则s=0;

若

e≠0,则s≠0,因此伴随式s只由错误图样e决定。

8.9如何构造一个码的标准阵列？

标准阵列有哪些性质？

先把子群中的全部个码字,,```,置于表的第一行，并把该子群的加法恒等元==0（即全零码字放在行的首位）在余下的-个n重中，选择一个n重作为第二行得首位元素，意识第二行的元素是和每个码字（i=1,2,```,）相加，并把+置于的下面即同一列。

第三行再从其余的n重中选择一个作为首位元素，同理将+置于的下面完成第三行。

以此类推，一直将n重用完为止。

如下表：

许用码字

=

（陪集首）

…

禁

用

码

字

+

标准阵列的性质有：

如果把陪集看成是错误图样，则每一个陪集中具有相同的错误图样。

每一个陪集中的个n重都有相同的伴随式而不同的陪集具有不同的伴随式。

对于同一列的各子集,,…,来说，其中个n重得错误图样虽然不同，但全部对应于同一许用码字。

8.10如何利用标准阵列译码？

为什么说用标准阵列译码时，译码错误概率的大小与陪集首的选择有关？

当输入译码的接收序列为y时，经查表总能确定y落在标准阵列的第j行第i列，译码器就能判定发送码字是第i列（即子集）所对应的许用码字而粗我图样即第j行所在陪集的陪集首

用上述方法译码时，译码正确的概率大小与陪集首的选择有关。

显然任意选择陪集首不是好的方法。

根据最大似然译码准则，重量最轻得错误图样产生的可能性最大，所以应选优先择重量小的n重作为陪集首，这样构造的译码表，可使+与之间的激励最小，从而使译码器以更大的概率正确译码，这就是最小译码距离。

8.11什么是完备码？

为什么说汉明码是完备码？

如果某一（n，k）线性分组码能使

=++…+

成立，即错误图样正好等于伴随式数目，则称这种码为完备码。

显然，汉明码是t=1完备码。

8.12某分组码的校验矩阵为

H=

求：

（1）n=？

k=？

该码的码字有多少？

（2）该码的生成矩阵；

（3）矢量010111和100011是否为码字。

解：

（1）n=6,k=3,该码有8个码字。

（2）由校验矩阵可得

++=0

所以

=

=

=+

=+

由此可得生成矩阵为：

（3）经验证，010111不是码字，100011是码字。

8.13某二元（n，k）系统线性分组码的全部码字如下

00000010111011011101

（2）码的生成矩阵G和校验矩阵H。

（1）n=5，k=2。

根据码字可以得n=5，又因为总共4个码字，说明信息位有2位，即k=2。

（2）码的生成矩阵G=，校验矩阵H=。

=·

G，且G=[:

P],根据全部的码字可以得出P。

进而可以得到G。

又H=[:

]，从而推出矩阵H。

其中、为单位矩阵

8.14已知一个线性分组码的校验矩阵为

试求其生成矩阵。

当输入信息序列为100111001101时，求编码器输出的码字序列。

生成矩阵G=

输出的码字序列为：

1001100,1100110,1101001。

根据G=[:

P]，H=[:

]的关系，由H矩阵可以写出G矩阵。

又由=·

G可以分别得出信息序列为1001,1100,1101的码字分别为：

1001100,1100110,1101001。

8.15设一个（7，4）分组码的生成矩阵为

G=

（1）该码的全部码字

（2）码的标准序列

（3）码的简化译码表

（1）

信息组

码字

0000

0000000

0001

0001110

0010

0010011

0011

0011101

0100

0100101

0101

0101011

0110

0110110

0111

0111000

1000

1000111

1001

1001001

1010

1010100

1011

1011010

1100

1100010

1101

1101100

1110

1110001

1111

1111111

（2）标准矩阵列

信息组m

许用码字c

有

单

错

的

n

重

0000001

0001111

0010010

0011100

0100100

0101010

0110111

0111001

0000010

0001100

0010001

0011111

0100111

0101001

0110100

0111010

0000100

0001010

0010111

0011001

0100001

0101111

0110010

0111100

0001000

0000110

0011011

0010101

0101101

0100011

0111110

0110000

0010000

0011110

0000011

0001101

0110101

0111011

0100110

0101000

0100000

0101110

0110011

0111101

0000101

0001011

0010110

0011000

1000000

1001110

1010011

1011101

1100101

1101011

1110110

1111000

有

1000110

1001000

1010101

1011011

1100011

1101101

1110000

1111110

1000101

1001011

1010110

1011000

1100000

1101110

1110011

1111101

1000011

1001101

1010000

1011110

1100110

1101000

1111001

1111011

1001111

1000001

1011100

1010010

1101010

1100100

1110111

1010111

1011001

1000100

1001010

1110010

1111100

1100001

1101111

1100111

1101001

1110100

1111010

1000010

1001100

1010001

1011111

0000111

0001001

0010100

0011010

0100010

0101100

0110001

0111111

（3）译码表

伴随式s

错误图样（陪集首）e

000

001

010

100

110

011

101

111

8.16构造8.15题中（7,4）分组码的对偶码，构造其系统码形式的G矩阵和H矩阵，并写出全部码字。

G矩阵

码字：

8.17某（5,