湖北高考真题含答案数学理.doc
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绝密★启用前 试卷类型：
B
2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）
数学（理工农医类）
本试题卷共4页，三大题21小题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑.
2．选择题的作答：
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.
3．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.
答在试题卷、草稿纸上无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.
1．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复
数的点是
A．E B．F
C．G D．H
2．设集合，则
的子集的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
3．在中，a=15，b=10，A=，则=
A． B． C． D．
4．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A、B中至少有一件发生的概率是
A． B． C． D．
5．已知和点M满足，若存在实数m使得成立，则m=
A．2 B．3 C．4 D．5
6．将参加夏令营的600名学生编号为：
001，002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第1营区，从301到495在第II营区，从496到600在第III营区，三个营区被抽中的人数依次为
A．26，16，8 B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9
7．如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的
内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下
去，设为前n个圆的面积之和，则=
A． B．
C． D．
8．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A．152 B．126 C．90 D．54
9．若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是
A． B．
C． D．
10．记实数中的最大数为，最小数为已知的三边边长为a，b，c（），定义它的倾斜度为
则是“为等边三角”的
A．必要而不充分的条件 B．充分而不必要的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
二、填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.一题两空的题，其答案按先后顺序填写.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11．在的展开式中，系数为有理数的项共有项.
12．已知，式中变量x，y满足约束条件则z的最大值为.
13．四柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是cm.
14．某射手射击所得环数的分布列如下：
7
8
9
10
P
0．1
0．3
已知的期望，则y的值为.
15．设称为a、b的调和平均数，如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C做OD的垂线，垂足为E，则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段的长度是a，b的几何平均数，线段的长度是a，b的调和平均数.
三、解答题：
本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知函数
（I）求函数的最小正周期；
（II）求函数的最大值，并求使取得最大值的x的集合.
17．（本小题满分12分）
为了在夏季降温和冬天了供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：
万元）与隔热厚度x（单位：
cm）满足关系：
，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
（I）求k的值及的表达式；
（II）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值.
18．（本小题满分12分）
如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，且OA=OB=OC=1.
（I）设P为AC的中点，证明：
在AB上存在一点Q，使并计算的值;
（II）求二面角O—AC—B的平面角的余弦值.
19．（本小题满分12分）
已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1.
（I）求曲线C的方程；
（II）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
20．（本小题满分13分）
已知数列满足：
；数列满足：
（I）求数列的通项公式；
（II）证明：
数列中的任意三项不可能成等差数列.
21．（本小题满分14分）
已知函数的图象在点处的切线方程为
（I）用a表示出b，c；
（II）若上恒成立，求a的取值范围；
（III）证明：
参考答案
一、选择题：
本题主要考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分.
1—10DADCBBCBCA
二、填空题：
11．6 12．5 13．4 14．0.4 15．CD，DE
三、解答题：
本大题共6小题，共75分.
16．本小题主要考查三角函数的基本公式，周期和最值等基础知识，同时考查基本运算能力.（满分12分）
解：
（I）
的最小正周期为
（II）
当时，取得最大值
取得最大值时，对应的x的集合为
17．本小题主要考查函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，（满分12分）
解：
（I）设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为，
再由
而建造费用为
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
（II）
解得（舍去）
当时，当
故x=5是的最小值点，对应的最小值为
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.
18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象力、推理论证能力和运算求解能力.（满分12分）
解法一：
（I）在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N，连结NC.
又OA⊥OC，∴OA⊥平面ONC.
平面ONC，
取Q为AN的中点，则PQ//NC，
在等腰
在
在
（II）连结ON，PO.
由OC⊥OA，OC⊥OB知，OC⊥平面OAB，
又平面OAB，∴OC⊥ON，
又由ON⊥OA知：
ON⊥平面AOC，
∴OP是NP在平面AOC内的射影，
在等腰中，P为AC的中点，
根据三垂线定理，知：
AC⊥NP.
为二面角O—AC—B的平面角，
在等腰中，OC=OA=1，，
在
解法二：
（I）取O为坐标原点，分别以OA，OC所在角的直线为x轴，z轴，建立空间直角从标系O—xyz（如图所示）
则A（1，0，0），C（0，0，1），
∵P为AC中点，
设
所以存在点使得
（II）记平面ABC的法向量为，则由
且，
得故可取
又平面OAC的法向量为
二面角O—AC—B的平面角是锐角，记为
19．本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力.（满分12分）
解：
（I）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：
化简得
（II）设过点M（m，0）的直线与曲线C的交点为
设的方程为
于是 ①
又
②
又于是不等式②等价于
③
由①式，不等式③等价于
④
对任意实数t，的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于
由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围是
20．本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识以及反证法，同时考查推理论证能力.
（满分13分）
解：
（I）由题意可知，
令
又则数列是首项为公比为的等比数列，即
，故
又
故
（II）用反证法证明：
假设数列存在三点按某种顺序成等差数列，由于数列
是首项为，公比为的等比数列，于是有，则只可能有成立，
，
两边同乘化简得
由于，所以上式左边奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾.
故数列中任意三项不可能成等差数列.
21．本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想.（满分14分）
解：
（I）
（II）由（I）知，
令
则
（i）当
若是减函数，所以
即上不恒成立.
（ii）当
若是增函数，所以
即时，
综上所述，所求a的取值范围为
（II）解法一：
由（II）知：
当
令
且当
令
即
将上述n个不等式依次相加得
整理得
解法二：
用数学归纳法证明.
（1）当n=1时，左边=1，右边不等式成立.
（2）假设n=k时，不等式成立，就是、
那么
由（II）知：
当时，有
令
令
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.
根据
（1）和
（2），可知不等式对任何都成立.
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