届一轮复习北师大版坐标系与参数方程学案文Word文档格式.docx

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曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点,半径为r的圆

ρ=r(0≤θ<

2π)

圆心为(r,0),半径为r的圆

ρ=2rcosθ

圆心为,半径为r的圆

ρ=2rsinθ(0≤θ<

π)

过极点,倾斜角为α的直线

θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)

过点(a,0),与极轴垂直的直线

ρcosθ=a

过点,与极轴平行的直线

ρsinθ=a(0<

θ<

题组一 思考辨析

1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×

”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系,在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( ×

 )

(2)若点P的直角坐标为(1,-),则点P的一个极坐标是.( √ )

(3)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.( √ )

(4)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ×

题组二 教材改编

2.若以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程为(  )

A.ρ=,0≤θ≤

B.ρ=,0≤θ≤

C.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤

D.ρ=cosθ+sinθ,0≤θ≤

答案 A

解析 ∵y=1-x(0≤x≤1),

∴ρsinθ=1-ρcosθ(0≤ρcosθ≤1);

∴ρ=.

3.在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是(  )

A.B.

C.(1,0)D.(1,π)

答案 B

解析 方法一 由ρ=-2sinθ,得ρ2=-2ρsinθ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y,化成标准方程为x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为.

方法二 由ρ=-2sinθ=2cos,知圆心的极坐标为,故选B.

题组三 易错自纠

4.在极坐标系中,已知点P,则过点P且平行于极轴的直线方程是(  )

A.ρsinθ=1B.ρsinθ=

C.ρcosθ=1D.ρcosθ=

解析 先将极坐标化成直角坐标表示,P转化为直角坐标为x=ρcosθ=2cos=,y=ρsinθ=2sin=1,即(,1),过点(,1)且平行于x轴的直线为y=1,再化为极坐标为ρsinθ=1.

5.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,则曲线C的直角坐标方程为.

答案 x2+y2-2y=0

解析 由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.

6.在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sinθ和直线ρsinθ=a相交于A,B两点.当△AOB是等边三角形时,求a的值.

解 由ρ=4sinθ可得圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,

即x2+(y-2)2=4.

由ρsinθ=a可得直线的直角坐标方程为y=a(a>

0).

设圆的圆心为O′,y=a与x2+(y-2)2=4的两交点A,B与O构成等边三角形,如图所示.

由对称性知∠O′OB=30°

,OD=a.

在Rt△DOB中,易求DB=a,

∴B点的坐标为.

又∵B在x2+y2-4y=0上,

∴2+a2-4a=0,

即a2-4a=0,解得a=0(舍去)或a=3.

题型一 极坐标与直角坐标的互化

1.(2016·

北京改编)在极坐标系中,已知曲线C1:

ρcosθ-ρsinθ-1=0,C2:

ρ=2cosθ.

(1)求曲线C1,C2的直角坐标方程,并判断两曲线的形状;

(2)若曲线C1,C2交于A,B两点,求两交点间的距离.

解 

(1)∵C1:

ρcosθ-ρsinθ-1=0,

∴x-y-1=0,表示一条直线.

由C2:

ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,

∴x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.

∴C2是圆心为(1,0),半径为1的圆.

(2)由

(1)知,点(1,0)在直线x-y-1=0上,

∴直线C1过圆C2的圆心.

因此两交点A,B的连线是圆C2的直径.

∴两交点A,B间的距离|AB|=2r=2.

2.

(1)以直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求线段y=1-x(0≤x≤1)的极坐标方程.

(2)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cosθ和ρsinθ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,求曲线C1和C2交点的直角坐标.

解 

(1)∵

∴y=1-x化成极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1,

即ρ=.

∵0≤x≤1,∴线段在第一象限内(含端点),∴0≤θ≤.

(2)∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρsin2θ=cosθ,

得ρ2sin2θ=ρcosθ,

∴曲线C1的直角坐标方程为y2=x.

由ρsinθ=1,得曲线C2的直角坐标方程为y=1.

由得

故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1).

思维升华

(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:

①极点与原点重合;

②极轴与x轴的正半轴重合;

③取相同的单位长度.

(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化简即可;

而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换.

题型二 求曲线的极坐标方程

典例将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得到曲线C.

(1)求曲线C的标准方程;

(2)设直线l:

2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程.

解 

(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为曲线C上的点(x,y),由题意,得

由x21+y=1,得x2+2=1,

即曲线C的标准方程为x2+=1.

(2)由解得或

不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线的斜率为k=,

于是所求直线方程为y-1=,

化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,

故所求直线的极坐标方程为ρ=.

思维升华求曲线的极坐标方程的步骤

(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点.

(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.

(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.

跟踪训练已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x-2y=0,直线l的参数方程为(t为参数),射线OM的极坐标方程为θ=.

(1)求圆C和直线l的极坐标方程;

(2)已知射线OM与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.

解 

(1)∵ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,

圆C的直角坐标方程为x2+y2+2x-2y=0,

∴ρ2+2ρcosθ-2ρsinθ=0,

∴圆C的极坐标方程为ρ=2sin.

又直线l的参数方程为(t为参数),

消去t后得y=x+1,

∴直线l的极坐标方程为sinθ-cosθ=.

(2)当θ=时,|OP|=2sin=2,

∴点P的极坐标为,|OQ|==,

∴点Q的极坐标为,故线段PQ的长为.

题型三 极坐标方程的应用

典例(2017·

全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.

(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·

|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;

(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.

解 

(1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>

0),点M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>

0).由题意知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.

由|OM|·

|OP|=16,得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>

因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).

(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>

由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,

于是△OAB的面积S=|OA|·

ρB·

sin∠AOB

=4cosα·

=2≤2+.

当α=-时,S取得最大值2+.

所以△OAB面积的最大值为2+.

思维升华极坐标应用中的注意事项

(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:

②极轴与x轴正半轴重合;

③取相同的长度单位.

(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时,应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.

(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的,如果限定ρ取正值,θ∈[0,2π),平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.

跟踪训练(2017·

广州调研)在极坐标系中,求直线ρsin=2被圆ρ=4截得的弦长.

解 由ρsin=2,得(ρsinθ+ρcosθ)=2,可化为x+y-2=0.圆ρ=4可化为x2+y2=16,

圆心(0,0)到直线x+y-2=0的距离d==2,

由圆中的弦长公式,得弦长

l=2=2=4.

故所求弦长为4.

1.(2018·

武汉模拟)在极坐标系下,已知圆O:

ρ=cosθ+sinθ和直线l:

ρsin=.

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;

(2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O公共点的一个极坐标.

解 

(1)圆O:

ρ=cosθ+sinθ,即ρ2=ρcosθ+ρsinθ,

圆O的直角坐标方程为x2+y2=x+y,

即x2+y2-x-y=0,

直线l:

ρsin=,

即ρsinθ-ρcosθ=1,

则直线l的直角坐标方程为y-x=1,

即x-y+1=0.

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