届一轮复习北师大版坐标系与参数方程学案文Word文档格式.docx

1、曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r（02）圆心为（r,0），半径为r的圆2rcos 圆心为，半径为r的圆2rsin （0）过极点，倾斜角为的直线（R） 或（R）过点（a,0），与极轴垂直的直线cos a过点，与极轴平行的直线sin a（00）设圆的圆心为O，ya与x2（y2）24的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示由对称性知OOB30，ODa.在RtDOB中，易求DBa，B点的坐标为.又B在x2y24y0上，2a24a0，即a24a0，解得a0（舍去）或a3.题型一极坐标与直角坐标的互化1（2016北京改编）在极坐标系中，已知曲线C1：cos sin 10，C2：2cos .（

2、1）求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；（2）若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离解（1）C1：cos sin 10，xy10，表示一条直线由C2：2cos ，得22cos ，x2y22x，即（x1）2y21.C2是圆心为（1,0），半径为1的圆（2）由（1）知，点（1,0）在直线xy10上，直线C1过圆C2的圆心因此两交点A，B的连线是圆C2的直径两交点A，B间的距离|AB|2r2.2（1）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求线段y1x（0x1）的极坐标方程（2）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为

3、平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标解（1）y1x化成极坐标方程为cos sin 1，即.0x1，线段在第一象限内（含端点），0.（2）xcos ，ysin ，由sin2cos ，得2sin2cos ，曲线C1的直角坐标方程为y2x.由sin 1，得曲线C2的直角坐标方程为y1.由得故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为（1,1）思维升华 （1）极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x轴的正半轴重合；取相同的单位长度（2）直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化

4、为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如cos ，sin ，2的形式，进行整体代换题型二求曲线的极坐标方程典例 将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.（1）求曲线C的标准方程；（2）设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程解（1）设（x1，y1）为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点（x，y），由题意，得由x21y1，得x221，即曲线C的标准方程为x21.（2）由解得或不妨设P1（1,0），P2（0,2），则线段P1P2的中点坐标

5、为，所求直线的斜率为k，于是所求直线方程为y1，化为极坐标方程，并整理得2cos 4sin 3，故所求直线的极坐标方程为.思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤（1）建立适当的极坐标系，设P（，）是曲线上任意一点（2）由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式（3）将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程跟踪训练 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0，直线l的参数方程为（t为参数），射线OM的极坐标方程为.（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）已知射线OM与圆C的交点

6、为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长解（1）2x2y2，xcos ，ysin ，圆C的直角坐标方程为x2y22x2y0，22cos 2sin 0，圆C的极坐标方程为2sin.又直线l的参数方程为（t为参数），消去t后得yx1，直线l的极坐标方程为sin cos .（2）当时，|OP|2sin2，点P的极坐标为，|OQ|，点Q的极坐标为，故线段PQ的长为.题型三极坐标方程的应用典例 （2017全国）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.（1）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2

7、的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解（1）设点P的极坐标为（，）（0），点M的极坐标为（1，）（10）由题意知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16，得C2的极坐标方程4cos （因此C2的直角坐标方程为（x2）2y24（x0）（2）设点B的极坐标为（B，）（B由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos 22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.思维升华 极坐标应用中的注意事项（1）极坐标与直角坐标互化的前提条件：极轴与x轴正半轴重合；取相同的长度单位（2）若把直角坐标化为极坐标求极角时，应注

8、意判断点P所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题（3）由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定取正值，0,2），平面上的点（除去极点）与极坐标（，）（0）建立一一对应关系跟踪训练 （2017广州调研）在极坐标系中，求直线sin2被圆4截得的弦长解由sin2，得（sin cos ）2，可化为xy20.圆4可化为x2y216，圆心（0,0）到直线xy20的距离d2，由圆中的弦长公式，得弦长l224.故所求弦长为4.1（2018武汉模拟）在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin.（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；（2）当（0，）时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标解（1）圆O：cos sin ，即2cos sin ，圆O的直角坐标方程为x2y2xy，即x2y2xy0，直线l：sin，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为yx1，即xy10.