高三一轮空间向量解决立体几何建系试题汇编文档格式.docx

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（Ⅱ）求二面角A﹣PM﹣C的正弦值．

4．如图,在直三棱柱A１B１C1﹣ABC中,AB⊥ＡＣ，AB＝AC＝2,ＡA1=4,点D是ＢC的中点．

（1）求异面直线A1B与C1Ｄ所成角的余弦值;

（2）求平面ＡDC1与ＡＢA1所成二面角的正弦值.

5.如图,在三棱柱ＡBC﹣A1B1C1中，AB⊥AＣ，顶点Ａ1在底面ＡBC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1Ｂ=2．

（1）求棱AA1与BC所成的角的大小;

（2）在棱B1C１上确定一点Ｐ，使AＰ=，并求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值．

６.如图，在梯形ABCD中，AB∥ＣＤ,AD＝DＣ=CB=ａ,∠ABＣ=60°

平面ACFE⊥平面ＡＢCD，四边形ＡＣFE是矩形,AＥ=a，点Ｍ在线段EF上．

（Ⅰ）求证：

BC⊥平面ACFE;

.（Ⅱ）求二面角B﹣EＦ﹣Ｄ的平面角的余弦值.

7.如图，四棱锥Ｐ﹣AＢCＤ的底面为正方形,侧面ＰAD⊥底面ABＣD．△ＰAD为等腰直角三角形，且PA⊥AD.　E,F分别为底边AＢ和侧棱PC的中点.（Ⅰ）求证:

ＥF∥平面PAＤ;

（Ⅱ）求证：

EＦ⊥平面ＰCＤ;

（Ⅲ）求二面角Ｅ﹣PＤ﹣C的余弦值．

8.如图1,在Rt△AＢＣ中,∠AＣＢ=30°

∠ＡＢC＝９0°

D为AC中点,ＡＥ⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△AＢD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示.

（Ⅰ）求证:

AE⊥平面BCＤ;

（Ⅱ）求二面角A﹣DＣ﹣Ｂ的余弦值.

（Ⅲ）在线段ＡＦ上是否存在点Ｍ使得EM∥平面AＤC?

若存在,请指明点M的位置;

若不存在,请说明理由．

9、在如图所示的多面体中,已知正方形ＡBCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,EC⊥ＡＣ,EF∥AＣ，AＢ＝,ＥF=EC=1，

（1）求证：

平面BEＦ⊥平面DEF；

（2）求二面角A﹣BF﹣E的大小．

10、如图，等腰梯形ＡＢCD中,AD∥BC,P是平面ABＣＤ外一点，P在平面ABＣD的射影Ｏ恰在AD上,ＰA=ＡB=BC=2AO＝2，ＢO＝.

（1）证明:

PＡ⊥BO；

（2）求二面角A﹣BＰ﹣D的余弦值．

11、如图，在三棱柱ABC﹣A１Ｂ１C1中,AA1⊥平面ＡＢC,ＡB=BC=ＣA=AA1，D为AB的中点．

（1）求证:

BC1∥平面ＤCＡ1;

（2）求二面角D﹣CA１﹣C1的平面角的余弦值.

1２、在四棱锥E﹣ＡBCD中，底面AＢCＤ为正方形,AE⊥平面ＣDＥ，已知AE＝DE=２，Ｆ为线段ＤE的中点.（Ⅰ）求证：

BＥ∥平面ACF；

（Ⅱ）求二面角C﹣BＦ﹣E的平面角的余弦值.

13、如图，在四棱锥E﹣ABCD中，AB⊥平面BCＥ，ＤC⊥平面ＢCＥ，AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE＝．（Ｉ）求证：

平面ＡDＥ⊥平面ＡBE；

（Ⅱ）求二面角Ａ﹣EB﹣D的大小．

14、在直三棱柱ＡＢC﹣A1B1C1中，BC=，AB=AC＝ＡA１=1，D是棱ＣC1上的一点，P是AD的延长线与Ａ1C1的延长线的交点，且ＰB１∥平面ＢDA1.

CＤ=C１D；

（Ⅱ）求二面角A1﹣Ｂ1D﹣P的平面角的正弦值．

　15、所示的多面体中，ＡBCD是菱形，BDEＦ是矩形，ＥD⊥平面ABCD，∠BAＤ=.，AD=2．

平面FＣB∥平面ＡEＤ；

（2）若二面角Ａ﹣EF﹣C为直二面角,求直线BC与平面ＡEF所成的角θ的正弦值．

１6、已知三棱柱AＢC﹣A１Ｂ１C1中，∠BＣＡ＝９0°

ＡＡ１=AC=BC=２,A１在底面ＡＢC上的射影恰为ＡC的中点D.（Ⅰ）求证:

AC１⊥ＢA１;

（Ⅱ）求Ａ﹣A1Ｂ﹣Ｃ的余弦值.

１７、在三棱锥P﹣ABC中，PＢ⊥平面AＢC，△ＡBC是直角三角形，∠ABＣ=90°

ＡB=BＣ＝2,∠ＰＡB=45°

点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点．

（I）求证：

EF⊥ＰＤ；

（２）求二面角Ｅ﹣ＰＦ﹣B的正切值．

1８、在四棱锥Ｐ﹣AＢCD中，侧棱PＤ⊥底面ABCD，底面ABＣD是正方形,若PＤ＝DA,M是PC的中点.

（Ⅰ）证明:

PA∥平面ＢDM；

（２）求二面角B﹣DＭ﹣C的余弦值.

1９、四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为平行四边形,侧面ＳBC⊥底面AＢCD.已知∠ＤAB=135°

，BC=2,SB=SＣ＝AB=２，F为线段SＢ的中点.

（１）求证:

SD∥平面ＣFA;

（2）求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小．

２０、ＡB为圆Ｏ的直径,点E、Ｆ在圆上，AB∥ＥF，矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直,已知AＢ=2，BC＝ＥF＝1（Ⅰ）求证：

BＦ⊥平面ＤAＦ（Ⅱ）求平面AＤＦ与平面ＣDFE所成的二面角的余弦值.

21、四棱锥P﹣ABCD中，底面ＡBCD是菱形，∠AＢC=6０°

平面ＰＡB⊥平面AＢCD,PA=PB=2ＡB.（１）证明:

PＣ⊥ＡＢ;

（2）求二面角B﹣PC﹣Ｄ的余弦值.

２2、己知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧面A1ACC1为菱形,∠A1AＣ＝６0°

平面A1ＡCC1⊥平面AＢC,Ｎ是CC1的中点．

A１C⊥ＢＮ；

（Ⅱ）求二面角B﹣A１Ｎ﹣C的余弦值．

2３、三棱柱AＢC﹣Ａ１Ｂ1C1中,AＢ=ＡC=ＡA1=BC1＝2,∠AA１C1=6０°

平面ＡBＣ1⊥平面AA１C１C,AC1与A1C相交于点D.（１）求证：

BD⊥平面AＡ１C1；

（2）（理）设点Ｅ是直线Ｂ１C1上一点，且DＥ∥平面ＡＡ1B1B,求平面ＥBD与平面ABC1夹角的余弦值．

２4、四棱锥Ｐ﹣ABCD中,底面ABＣD为平行四边形，AB=４AD=２，BD=2,ＰＤ⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：

平面ＰBC⊥平面PBD;

（Ⅱ）若二面角Ｐ﹣BC﹣D大小为．,求AＰ与平面PＢC所成角的正弦值．

2５、在直角梯形中ABＣD中．AB∥CD,ＡＢ⊥BＣ,F为ＡB上的点，且BＥ＝1,AD=AE=DＣ=2,将△AＤE沿ＤE折叠到P点，使PＣ＝PB.

平面PＤE⊥平面ABCＤ;

（Ⅱ）求二面角Ａ﹣ＰD﹣E的余弦值.

26、已知斜三棱柱AＢC﹣Ａ1Ｂ１C1的底面是正三角形,点M、N分别是A１C1和A1Ｂ１的中点,AA1＝AB=BＭ=２，∠A1AB=60°

．（Ⅰ）求证:

ＢN⊥平面A1B1C1；

（Ⅱ）求二面角Ａ1﹣AＢ﹣M的正切值.

２7、在几何体ＡBＣＤEF中,ＡＢ∥CＤ，AD=DC=CＢ=1，∠ABC=60°

，四边形ＡCFE为矩形,平面ACEF⊥平面ABCＤ,ＣＦ=1．

平面ＦBＣ⊥平面ACFE;

（Ⅱ）若M为线段EF的中点,设平面MAＢ与平面FCB所成锐二面角的余弦值．

２8、已知AB⊥平面AＣD,DE⊥平面ACＤ,,AB=2,AＣ=AD＝ＤE＝4

，F为CD的中点，（Ⅰ）求证：

ＡF//面BCＥ，

（Ⅱ）若,求二面角F－BE－Ｄ余弦值．

２９、三棱柱AＢＣ-A1B1Ｃ1的底面是边长为4正三角形,AA１⊥平面ABC,ＡA1=2，M为A1Ｂ1的中点.（Ｉ）求证：

MC⊥AB；

（II）在棱CC1上是否存在点Ｐ，使得MC⊥平面AB,若存在，确定点P的位置；

若不存在,说明理由.（Ⅲ）若点P为CC1的中点，求二面角Ｂ-AP-C的余弦值．

30、在四棱柱ABCD－A1Ｂ１C1D１中，底面ＡBCＤ和侧面BCC1B１都是矩形，E是CD中点,D1E⊥CD

，ＡB=2,BＣ=1，

（1）证明BC⊥D1E，

（2）若平面BＣＣ1B1与平面ＢED1成锐二面角为６０0，，求线段D1E长度