高三一轮空间向量解决立体几何建系试题汇编文档格式.docx
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(Ⅱ)求二面角A﹣PM﹣C的正弦值.
4.如图,在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,点D是BC的中点.
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值;
(2)求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值.
5.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.
(1)求棱AA1与BC所成的角的大小;
(2)在棱B1C1上确定一点P,使AP=,并求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值.
6.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°
平面ACFE⊥平面ABCD,四边形ACFE是矩形,AE=a,点M在线段EF上.
(Ⅰ)求证:
BC⊥平面ACFE;
.(Ⅱ)求二面角B﹣EF﹣D的平面角的余弦值.
7.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD.△PAD为等腰直角三角形,且PA⊥AD. E,F分别为底边AB和侧棱PC的中点.(Ⅰ)求证:
EF∥平面PAD;
(Ⅱ)求证:
EF⊥平面PCD;
(Ⅲ)求二面角E﹣PD﹣C的余弦值.
8.如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=30°
∠ABC=90°
D为AC中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,如图2所示.
(Ⅰ)求证:
AE⊥平面BCD;
(Ⅱ)求二面角A﹣DC﹣B的余弦值.
(Ⅲ)在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC?
若存在,请指明点M的位置;
若不存在,请说明理由.
9、在如图所示的多面体中,已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直,EC⊥AC,EF∥AC,AB=,EF=EC=1,
(1)求证:
平面BEF⊥平面DEF;
(2)求二面角A﹣BF﹣E的大小.
10、如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,P是平面ABCD外一点,P在平面ABCD的射影O恰在AD上,PA=AB=BC=2AO=2,BO=.
(1)证明:
PA⊥BO;
(2)求二面角A﹣BP﹣D的余弦值.
11、如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC=CA=AA1,D为AB的中点.
(1)求证:
BC1∥平面DCA1;
(2)求二面角D﹣CA1﹣C1的平面角的余弦值.
12、在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DE的中点.(Ⅰ)求证:
BE∥平面ACF;
(Ⅱ)求二面角C﹣BF﹣E的平面角的余弦值.
13、如图,在四棱锥E﹣ABCD中,AB⊥平面BCE,DC⊥平面BCE,AB=BC=CE=2CD=2,∠BCE=.(I)求证:
平面ADE⊥平面ABE;
(Ⅱ)求二面角A﹣EB﹣D的大小.
14、在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,BC=,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1∥平面BDA1.
CD=C1D;
(Ⅱ)求二面角A1﹣B1D﹣P的平面角的正弦值.
15、所示的多面体中,ABCD是菱形,BDEF是矩形,ED⊥平面ABCD,∠BAD=.,AD=2.
平面FCB∥平面AED;
(2)若二面角A﹣EF﹣C为直二面角,求直线BC与平面AEF所成的角θ的正弦值.
16、已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BCA=90°
AA1=AC=BC=2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D.(Ⅰ)求证:
AC1⊥BA1;
(Ⅱ)求A﹣A1B﹣C的余弦值.
17、在三棱锥P﹣ABC中,PB⊥平面ABC,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°
AB=BC=2,∠PAB=45°
点D、E、F分别为AC、AB、BC的中点.
(I)求证:
EF⊥PD;
(2)求二面角E﹣PF﹣B的正切值.
18、在四棱锥P﹣ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,若PD=DA,M是PC的中点.
(Ⅰ)证明:
PA∥平面BDM;
(2)求二面角B﹣DM﹣C的余弦值.
19、四棱锥S﹣ABCD,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠DAB=135°
,BC=2,SB=SC=AB=2,F为线段SB的中点.
(1)求证:
SD∥平面CFA;
(2)求面SCD与面SAB所成二面角的平面角的余弦值大小.
20、AB为圆O的直径,点E、F在圆上,AB∥EF,矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直,已知AB=2,BC=EF=1(Ⅰ)求证:
BF⊥平面DAF(Ⅱ)求平面ADF与平面CDFE所成的二面角的余弦值.
21、四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=60°
平面PAB⊥平面ABCD,PA=PB=2AB.(1)证明:
PC⊥AB;
(2)求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.
22、己知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,侧面A1ACC1为菱形,∠A1AC=60°
平面A1ACC1⊥平面ABC,N是CC1的中点.
A1C⊥BN;
(Ⅱ)求二面角B﹣A1N﹣C的余弦值.
23、三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=AA1=BC1=2,∠AA1C1=60°
平面ABC1⊥平面AA1C1C,AC1与A1C相交于点D.(1)求证:
BD⊥平面AA1C1;
(2)(理)设点E是直线B1C1上一点,且DE∥平面AA1B1B,求平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值.
24、四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,AB=4AD=2,BD=2,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:
平面PBC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若二面角P﹣BC﹣D大小为.,求AP与平面PBC所成角的正弦值.
25、在直角梯形中ABCD中.AB∥CD,AB⊥BC,F为AB上的点,且BE=1,AD=AE=DC=2,将△ADE沿DE折叠到P点,使PC=PB.
平面PDE⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求二面角A﹣PD﹣E的余弦值.
26、已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是正三角形,点M、N分别是A1C1和A1B1的中点,AA1=AB=BM=2,∠A1AB=60°
.(Ⅰ)求证:
BN⊥平面A1B1C1;
(Ⅱ)求二面角A1﹣AB﹣M的正切值.
27、在几何体ABCDEF中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°
,四边形ACFE为矩形,平面ACEF⊥平面ABCD,CF=1.
平面FBC⊥平面ACFE;
(Ⅱ)若M为线段EF的中点,设平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值.
28、已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,,AB=2,AC=AD=DE=4
,F为CD的中点,(Ⅰ)求证:
AF//面BCE,
(Ⅱ)若,求二面角F-BE-D余弦值.
29、三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为4正三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=2,M为A1B1的中点.(I)求证:
MC⊥AB;
(II)在棱CC1上是否存在点P,使得MC⊥平面AB,若存在,确定点P的位置;
若不存在,说明理由.(Ⅲ)若点P为CC1的中点,求二面角B-AP-C的余弦值.
30、在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形,E是CD中点,D1E⊥CD
,AB=2,BC=1,
(1)证明BC⊥D1E,
(2)若平面BCC1B1与平面BED1成锐二面角为600,,求线段D1E长度