立体几何10道大题Word文件下载.docx
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(2)求二面角的平面角的余弦值.
4.
如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AC⊥AD.底面ABCD为梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC=3,点E在棱PB上,且PE=2EB.
(Ⅰ)求证:
平面PAB⊥平面PCB;
(Ⅱ)求证:
PD∥平面EAC;
(Ⅲ)求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值.
5.
如图,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线,平面平面,且,,,且.
(1)设点为棱中点,在面内是否存在点,使得平面?
若存在,请证明;
若不存在,请说明理由;
(2)求二面角的余弦值.
6.
如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且AA1=AB=2.
(1)求证:
AB⊥BC;
(2)若直线AC与平面A1BC所成的角为,求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小.
7.
在四棱锥V﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.
(1)求证AB⊥面VAD;
(2)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.
8.
如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且∠BAD=,对角线AC与BD相交于O,OF⊥平面ABCD,BC=CE=DE=2EF=2.
(Ⅰ)求证:
EF∥BC;
(Ⅱ)求面AOF与平面BCEF所成锐二面角的正弦值.
9.
如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°
,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.
PB⊥DM;
(Ⅱ)求BD与平面ADMN所成的角.
10.
如图,在等腰梯形中,,,,四边形
为矩形,平面平面,.
(2)点在线段上运动,设平面与平面二面角的平面角为,试求的取值范围.
立体几何试卷答案
连接AC,,
由余弦定理得,6分
取中点,连接,则.
面…………………8分
(Ⅲ)如图,以射线OA为轴,以射线OB为轴,以射线OS为轴,以为原点,建立空间直角坐标系,
2、试题解析:
为AC的中点,即O为BD的中点,且M为PD的中点,
又平面ACM,平面ACM,
所以PB//平面ACM。
因为,AD=AC,所以,
所以,
又PO平面ABCD,所以
所以AD平面PAC。
(3)取OD的中点为N,因为所以MN平面ABCD,
所以为直线AM与平面ABCD所成角。
因为AD=AC=1,,所以
所以又所以
3.
(1)证明见解析;
(2)..
试题解析:
过作平面于,连.
依题意,则.又△为,故为的中点.
∵面,∴面面.在梯形中,,
4.【解答】
(Ⅰ)证明:
∵PA⊥底面ABCD,BC⊂底面ABCD,∴PA⊥BC.
又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.…
(Ⅱ)证明:
∵PC⊥AD,
∴在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC=,∴∠DCA=∠BAC=,
又AC⊥AD,故△DAC为等腰直角三角形,
∴DC=AC=(AB)=2AB.
连接BD,交AC于点M,则==2.
连接EM,在△BPD中,==2,∴PD∥EM,
又PD⊂/平面EAC,EM⊂平面EAC,∴PD∥平面EAC.…
(Ⅲ)解:
以A为坐标原点,AB,AP所在直线分别为y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(0,3,0),C(3,3,0),P(0,0,3),E(0,2,1)
设=(x,y,1)为平面AEC的一个法向量,则⊥,⊥,
∵=(3,3,0),=(0,2,1),
∴解得x=,y=﹣,∴=(,﹣,1).
设=(x′,y′,1)为平面PBC的一个法向量,则⊥,⊥,
又=(3,0,0),=(0,﹣3,3),
∴,解得x′=0,y′=1,∴=(0,1,1).
(取PB中点为F,连接AF可证为平面PBC的一个法向量.)
∵cos<,>=|=,
∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为..…
注:
以其他方式建系的参照给分.
5.
(1)详见解析;
(2).
试题分析:
(1)连接,交于点,连接,证明平面,从而即为所求;
(2)建立空间直角坐标系,求得两个平面的法向量后即可求解.
(1)连接,交于点,连接,则平面,
∵为中点,为中点,∴为的中位线,∴,
又∵平面平面,平面平面,平面,,
6【解答】
(本小题满分14分)
如右图,取A1B的中点D,连接AD,…
因AA1=AB,则AD⊥A1B由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,
且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B。
得AD⊥平面A1BC,又BC⊂平面A1BC,所以AD⊥BC.…
因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱,
则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,
又AB⊂侧面A1ABB1,故AB⊥BC.
(2)解:
连接CD,由
(1)可知AD⊥平面A1BC,
则CD是AC在平面A1BC内的射影
∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角,则…
在等腰直角△A1AB中,AA1=AB=2,且点D是A1B中点
∴,且,∴…
过点A作AE⊥A1C于点E,连DE
由
(1)知AD⊥平面A1BC,则AD⊥A1C,且AE∩AD=A
∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角,…
且直角△A1AC中:
又,∴,
且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角
∴,即二面角A﹣A1C﹣B的大小为.…
7.【解答】证明:
(1)由于面VAD是正三角形,设AD的中点为E,
则VE⊥AD,而面VAD⊥底面ABCD,则VE⊥AB.
又面ABCD是正方形,则AB⊥AD,故AB⊥面VAD.
(2)由AB⊥面VAD,则点B在平面VAD内的射影是A,设VD的中点为F,连AF,BF由△VAD是正△,则AF⊥VD,由三垂线定理知BF⊥VD,故∠AFB是面VAD与面VDB所成的二面角的平面角.
设正方形ABCD的边长为a,
则在Rt△ABF中,AB=a,AF=a,tan∠AFB=
故面VAD与面VDB所成的二面角的大小为.
8.【解答】
(本小题满分12分)
证明:
(Ⅰ)∵四边形ABCD为菱形
∴AD∥BC,且BC⊄面ADEF,AD⊂面ADEF,
∴BC∥面ADEF,且面ADEF∩面BCEF=EF,∴EF∥BC.
解:
(Ⅱ)∵FO⊥面ABCD,∴FO⊥AO,FO⊥OB
又∵OB⊥AO,以O为坐标原点,OA,OB,OF分别为x轴,
y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
取CD的中点M,连OM,EM.易证EM⊥平面ABCD.
又∵BC=CE=DE=2EF=2,得出以下各点坐标:
B(0,1,0),C(﹣,0,0),D(0,﹣1,0),
F(0,0,),E(﹣,﹣,),
向量=(﹣,,),向量=(﹣,﹣1,0),向量,
设面BCFE的法向量为:
,
,得到,
令时,=(﹣1,,1),
面AOF的一个法向量,
设面AOF与面BCEF所成的锐二面角为θ,
则cosθ===,∴sinθ=.
故面AOF与面BCEF所成的锐二面角的正弦值为.…
9
如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz,设BC=1,
则A(0,0,0)P(0,0,2),B(2,0,0),M(1,12,1),D(0,2,0)
(Ⅰ)因为=0所以PB⊥DM.
(Ⅱ)因为=0所以PB⊥AD.
又PB⊥DM.
因此的余角即是BD与平面ADMN.
所成的角.
因为所以=
因此BD与平面ADMN所成的角为.
10.试题解析:
在梯形中,
∵,,,∴,
∴,
∴,∴,
∴平面平面,平面平面,平面,
∴平面.
(2)由
(1)分别以直线为轴,轴,轴发建立如图所示空间直角坐标系,
令,则,
∴.设为平面的一个法向量,
由,得,取,则,
∵是平面的一个法向量,
∴.
∵,∴当时,有最小值,
当时,有最大值,∴.