江西省南昌市届高三交流卷四数学理试题Word格式文档下载.docx
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如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是（）
A.88%B.90%C.92%D.94%
5．已知R且，若（e为自然对数的底数），则下列正确的是（）
A． B．
C． D．
6.已知正三角形ABC的顶点A（1,1），B（1,3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是（）
A.（1－，2）B.（0，2）C.（－1，2）D.（0，1+）
7.已知双曲线的左、右焦点分别为为的右支上一点，且，则等于（）
A.24B.48C.50D.56
8.一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（）
A.B.C.D.
9.已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A.B.C.D.
10.已知长方形ABCD，抛物线以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为P.则下列结论正确的是（）
A.不论边长如何变化，P为定值B.若的值越大，P越大
C.当且仅当时，P最大D.当且仅当时，P最小
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11.已知、，且，，．
12.若是平面内夹角为的两个单位向量,则向量的
夹角为．
13.已知偶函数在R上的任一取值都有导数,且,则曲线在处的切线的斜率为．
14.若双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线的焦点分成5:
3两段,则此双曲线的离心率为______．
三、选做题：
请在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分.本题
共5分.
15．（考生注意：
请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）
（A）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程为，设曲线C和曲线的交点为、，则=．
（B）（不等式选做题）在实数范围内，不等式的解集为．
四、解答题：
（本大题共6小题，共75分，其中第16—19小题每题12分，第20题13分，第21题14分）.
16.（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为，函数在处取得最大值.
（I）当时，求函数的值域；
（II）若且，求的面积.
18.（本小题满分12分）
某少儿电视节目组邀请了三组明星家庭（明星爸爸及其孩子）一起参加50米趣味赛跑活动.已知这三组家庭的各方面情况几乎相同，要求从比赛开始明星爸爸必须为自己的孩子领跑，直至完成比赛.记这三位爸爸分别为A、B、C，其孩子相应记为.
（I）若A、B、C、为前四名,求第二名为孩子的概率；
（II）设孩子的成绩是第名，求随机变量的分布列与数学期望.
19．（本小题满分12分）
如图，已知中，，，，，交于，为上点，且，将沿折起，使平面平面
（Ⅰ）求证：
∥平面；
（Ⅱ）设点是直线上的点，且，求与平面所成角的正弦值；
20．（本小题满分13分）
如图，设P是圆x2＋y2＝2上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|PD|＝|MD|,当P在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.
（I）求证：
曲线C是焦点在x轴上的椭圆，并求其方程;
（II）设椭圆C的右焦点为F2，直线与椭圆C交于A、B两点，直线F2A与F2B的倾斜角互补，求证：
直线过定点，并求该定点的坐标.
21．（本小题满分14分）
已知，，且直线与曲线相切．
（I）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（II）（ⅰ）当时，求最大的正整数，使得任意个实数（是自然对数的底数）都有成立；
（ⅱ）求证：
.
答案
1.A
2．D
解析：
本题考查正弦函数的值域、分式不等式的解法.
,故.
3.B
4.B
5.C．
解析：
设，则，∴在为减函数，增函数，，且当时，．由知．由得．
6.A
作出三角形的区域如图，由图象可知当直线经过点时，截距最大，此时，当直线经过点C时，截距最小.因为轴，所以.又的边长为2，设点，则，解得.因为顶点C在第一象限，所以.即点.将点代入直线，得，所以的取值范围是.选A.
7.C
由双曲线的方程，得，所以.又由双曲线的定义，得，所以.
所以.
8.D
9.C
设棱长都为1，连接AC,BD交于点O，连接OE.因为所有棱长都相等，不放设ABCD是正方形，所以O是BD的中点，且OE//PD，故为异面直线AE与PD所成的角.易知.在中，由余弦定理得.
10.A
以E为原点，CD为x轴，过点E垂直于CD的直线为y轴建立平面直角坐标系如下图所示.设正方形的长为2a，宽为b，则，设抛物线方程为，代入点B，得，所以.阴影面积，矩形ABCD的面积,故由几何概型得，所求事件的概率为为常数.故选A.
12.
,
,所以的夹角的余弦值为,所以
13：
-1
由得可知函数的周期为4,又函数为偶函数,所以,即函数的对称轴为,所以,所以函数在处的切线的斜率
14：
抛物线的焦点坐标为,由题意知,,所以,即,所以,所以.
15.
（1）（坐标系与参数方程选做题）：
曲线的普通方程为，曲线可化为，表示圆心在，半径的圆，则圆心到直线的距离为，所以
（2）（不等式选做题）
解析:
即解集为
16.解析：
（1）
（2）由正弦定理得，
由余弦定理得：
17.解析：
∴
所以
（2）由
所以，，
所以是等比数列且，
∴
∴
利用错位相减法，可以求得.
18.解析：
（1）由题意，可将上述问题转化为：
A、B、C、的成绩进行了四步骤排序，
分类列举（不考虑D、F）：
若第2名，则A必在第一名，故有种.
若第3名，则A在前，故有种.
若第4名，则有种.
故第二名为孩子的概率是.
（2）由题意，可将上述问题转化为A、B、C、、b、c进行了排序，且要求A在前，B在b前，C在c前.孩子的成绩可以是第2名、第3名、第4名、第5名、第6名.
即
，，，，.
2
3
4
5
6
19.
（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则
，，，，，.
则,,
设平面SCD的法向量是则
即
令，则，于是.
，.AM∥平面SCD.
（Ⅱ）
由（Ⅰ）知平面SCD的法向量
设与平面所成角为
所以与平面所成角的正弦值为
20.
（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（xP，yP），
由已知得，
∵P在圆上，∴x2＋＝2，即，
∴曲线C是焦点在x轴上的椭圆，其方程为.
（2）由题意，知直线AB斜率存在，其方程为
由，消去
△=（4km）2—4（2k2+1）（2m2—2）>
0.
设则
且，
由已知直线F2A与F2B的倾斜角互补得，
化简得，，，
整理得，
所以直线MN的方程为，
故直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）
21.
（1）设点为直线与曲线的切点，
则有．（*）
，．（**）
由（*）（**）两式，解得，．
由整理，得，
，要使不等式恒成立，必须恒成立．
设，，
，当时，，则是增函数，
，是增函数，，．
（2）（ⅰ）当时，，
，在上是增函数，在上的最大值为．
要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．
，解得．因此，的最大值为．
（ⅱ）当时，根据
（1）的推导有时，，
即．令，得，
化简得，
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