届高三数学一轮复习经典学案文理通用第8章 平面解析几何 第7讲抛物线Word文档下载推荐.docx

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过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p.

[考点自测]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（　　）

（2）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．（　　）

（3）方程y＝ax2（a≠0）表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.（　　）

（4）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（　　）

（5）AB为抛物线y2＝2px（p>

0）的过焦点F的弦，若A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.（　　）

答案　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）×

　（5）√

2．[2018·

江西八校联考]已知抛物线y＝ax2（a>

0）的焦点到准线的距离为2，则a＝（　　）

A．4B．2C.D.

答案　C

解析　化为标准方程x2＝y，据题意＝2×

2，∴a＝.

3．[课本改编]设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（　　）

A．4B．6C．8D．12

答案　B

解析　抛物线准线方程x＝－2，∴点P到准线的距离为6，∴P到焦点的距离也为6，选B.

4．[课本改编]已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（　　）

A．y2＝±

2xB．y2＝±

2x

C．y2＝±

4xD．y2＝±

4x

答案　D

解析　由已知知双曲线的焦点为（－，0），（，0）．设抛物线方程为y2＝±

2px（p>

0），则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±

4x.故选D.

5．已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是（　　）

A．2B.C.D.

解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，∴x1＋x2＝3，∴点C的横坐标是＝.故选C.

6．[2018·

唐山模拟]若抛物线x2＝ay过点A，则点A到此抛物线的焦点的距离为________．

答案　

解析　由题意可知，点A在抛物线x2＝ay上，所以1＝a，解得a＝4，得x2＝4y.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线的焦点的距离为yA＋1＝＋1＝.

板块二　典例探究·

考向突破

考向　抛物线的方程及几何性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　

（1）[2016·

全国卷Ⅱ]设F为抛物线C：

y2＝4x的焦点，曲线y＝（k>

0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝（　　）

A.B．1C.D．2

解析　易知抛物线的焦点为F（1,0），设P（xP，yP），由PF⊥x轴，可得xP＝1，代入抛物线方程，得yP＝2（－2舍去），把P（1,2）代入曲线y＝（k>

0），得k＝2.

（2）已知过抛物线y2＝2px（p>

0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1<

x2）两点，且|AB|＝9.

①求该抛物线的方程；

②O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．

解　①由题意得直线AB的方程为y＝2，与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.

由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.

②由①得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，从而A（1，－2），B（4，4）．设C（x3，y3），则＝（x3，y3）＝（1，－2）＋λ（4,4）＝（4λ＋1,4λ－2）．

又y＝8x3，所以[2（2λ－1）]2＝8（4λ＋1），整理得（2λ－1）2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.

触类旁通

求抛物线方程的三个注意点

（1）当坐标系已建立时，要注意根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；

（2）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；

（3）要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．

【变式训练1】　

（1）已知抛物线y2＝2px（p>

0），过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（　　）

A．x＝1B．x＝2

C．x＝－1D．x＝－2

解析　设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝－，与抛物线方程联立得消去y整理得：

x2－3px＋＝0，可得x1＋x2＝3p.根据中点坐标公式，有＝3，p＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1.

（2）过抛物线C：

y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线的准线的距离为4，则|AB|＝________.

解析　设A（xA，yA），B（xB，yB），

∵y2＝4x，∴抛物线的准线为x＝－1，F（1,0），

又A到抛物线准线的距离为4，

∴xA＋1＝4，∴xA＝3，

∵xAxB＝＝1，∴xB＝，

∴|AB|＝xA＋xB＋p＝3＋＋2＝.

考向　抛物线定义及应用

命题角度1　到焦点与到定点距离之和最小问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例2　[2018·

赣州模拟]若点A的坐标为（3,2），F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为（　　）

A．（0,0）B.

C．（1，）D．（2,2）

解析　过M点作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M（2,2）．

命题角度2　到点与准线的距离之和最小问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例3　[2018·

邢台模拟]已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：

（x＋1）2＋（y－5）2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．

答案　5

解析　依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：

y＝－1引垂线，垂足为M1，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C（－1,5）到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.

命题角度3　到定直线的距离最小问题

例4　已知直线l1：

4x－3y＋6＝0和直线l2：

x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）

A.B．2C.D．3

解析　由题可知l2：

x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F（1,0），则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：

4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.

命题角度4　焦点弦中距离之和最小问题

例5　已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）

A.B．1C.D.

解析　如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，MM1⊥l于M1，由抛物线的定义知p＝，|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，

则点M到y轴的距离为|MM1|－＝（|AA1|＋|BB1|）－＝.

与抛物线有关的最值问题的两个转化策略

（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．

（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．

考向　抛物线在实际生活中的应用

例6　一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸（单位：

m）如图所示，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？

说明理由．

解　建立如图所示的直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A，B，则A（－3，－3），B（3，－3）．

设抛物线方程为x2＝－2py（p>

0），

将B点坐标代入得9＝－2p·

（－3），所以p＝.

所以抛物线方程为x2＝－3y（－3≤y≤0）．

因为车与箱共高4.5m，

所以集装箱上表面距抛物线隧道拱顶0.5m.

设抛物线上点D的坐标为（x0，－0.5），则x＝，

所以|x0|＝＝，所以2|x0|＝<

3.

此车不能通过隧道．

与抛物线有关的桥的跨度、隧道高低等问题，通常建立直角坐标系，利用抛物线的标准方程解决，注意建立直角坐标系后坐标的正负及其实际意义．

考向　直线与抛物线的综合问题

例7　[2017·

全国卷Ⅰ]设A，B为曲线C：

y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.

（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．

解　

（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），

则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，

于是直线AB的斜率k＝＝＝1.

（2）由y＝，得y′＝.

设M（x3，y3），由题设知＝1，解得x3＝2，于是M（2,1）．

设直线AB的方程为y＝x＋m，

故线段AB的中点为N（2,2＋m），|MN|＝|m＋1|.

将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.

当Δ＝16（m＋1）>

0，

即m>

－1时，x1,2＝2±

2.

从而|AB|＝|x1－x2|＝4.

由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2（m＋1），解得m＝7.

所以直线AB的方程为y＝x＋7.

求解抛物线综合问题的方法

（1）研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是用方程法，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用．

（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p（焦点在x轴正半轴），若不过焦点，则必须用弦长公式．

【变式训练2】[2016·

江苏高考]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：

x－y－2＝0，抛物线C：

y2＝2px（p>

0）．

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：

线段PQ的中点坐标为（2－p，－p）；

②求p的取值范围．

解　

（1）抛物线C：

0）的焦点为，由点在直线l：

x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点M（x0，y0）．因为