圆过定点问题非常好文档格式.docx

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x=4，不在x轴上的动点M到定点F的距离是它到定直线l的距离的倍，设点M的轨迹为E，点C是轨迹E上的任一点，直线AC与BC分别交直线l与点P，Q．

（1）求点M的轨迹E的方程；

（2）试判断以线段PQ为直径的圆是否经过定点F，并说明理由．

4．如图，已知椭圆C：

+y2=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆上，且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：

y=﹣2分别交于点M、N，

（ⅰ）设直线AP、BP的斜率分别为k1、k2，求证：

k1•k2为定值；

（ⅱ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？

请证明你的结论．

5．如图所示，已知圆C：

x2+y2=r2（r＞0）上点处切线的斜率为，圆C与y轴的交点分别为A，B，与x轴正半轴的交点为D，P为圆C在第一象限内的任意一点，直线BD与AP相交于点M，直线DP与y轴相交于点N．

（1）求圆C的方程；

（2）试问：

直线MN是否经过定点？

若经过定点，求出此定点坐标；

6．二次函数f（x）=3x2﹣4x+c（x∈R）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为⊙C．

（1）求实数c的取值范围；

（2）求⊙C的方程；

（3）问⊙C是否经过某定点（其坐标与c的取值无关）？

7．如图，抛物线M：

y=x2+bx（b≠0）与x轴交于O，A两点，交直线l：

y=x于O，B两点，经过三点O，A，B作圆C．

（I）求证：

当b变化时，圆C的圆心在一条定直线上；

（II）求证：

圆C经过除原点外的一个定点；

（III）是否存在这样的抛物线M，使它的顶点与C的距离不大于圆C的半径？

8．在平面直角坐标系xoy中，点M到两定点F1（﹣1，0）和F2（1，0）的距离之和为4，设点M的轨迹是曲线C．

（1）求曲线C的方程；

（2）若直线l：

y=kx+m与曲线C相交于不同两点A、B（A、B不是曲线C和坐标轴的交点），以AB为直径的圆过点D（2，0），试判断直线l是否经过一定点，若是，求出定点坐标；

若不是，说明理由．

9．如图．直线l：

y=kx+1与椭圆C1：

交于A，C两点，A．C在x轴两侧，

B，D是圆C2：

x2+y2=16上的两点．且A与B．C与D的横坐标相同,纵坐标同号．

点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算||AB|﹣|CD||的取值范围；

（II）试问直线BD是否经过一个定点？

若是，求出定点的坐标：

10．已知A（﹣1，0），B（2，0），动点M（x，y）满足=，设动点M的轨迹为C．

（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹C是什么图形；

（2）求动点M与定点B连线的斜率的最小值；

（3）设直线l：

y=x+m交轨迹C于P，Q两点，是否存在以线段PQ为直径的圆经过A？

若存在，求出实数m的值；

若不存在，说明理由．

11．已知定直线l：

x=﹣1，定点F（1，0），⊙P经过F且与l相切．

（1）求P点的轨迹C的方程．

（2）是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；

若有，请求出M点的坐标；

若没有，请说明理由．

12．已知动圆P与圆M：

（x+1）2+y2=16相切，且经过M内的定点N（1，0）．

（1）试求动圆的圆心P的轨迹C的方程；

（2）设O是轨迹C上的任意一点（轨迹C与x轴的交点除外），试问在x轴上是否存在两定点A，B，使得直线OA与OB的斜率之积为定值（常数）？

若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；

13．已知在△ABC中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0），点C在x轴上方．

（Ⅰ）若点C的坐标为（2，3），求以A、B为焦点且经过点C的椭圆的方程；

（Ⅱ）若∠ACB=45°

，求△ABC的外接圆的方程；

（Ⅲ）若在给定直线y=x+t上任取一点P，从点P向（Ⅱ）中圆引一条切线，切点为Q．问是否存在一个定点M，恒有PM=PQ？

请说明理由．

2015年03月12日yinyongxia100的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共1小题）

考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有

专题：

圆锥曲线中的最值与范围问题．

分析：

（1）由已知条件推导出点E的轨迹是以G，C为焦点，长轴长为6的椭圆，由此能求出动点E的轨迹方程．

（2）假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其方程为y=x+m，由，得3x2+4mx+2m2﹣18=0．由此能求出符合题意的直线l存在，所求的直线l的方程为y=x或y=x﹣2．

解答：

解：

（1）由题知|EG|=|ES|，

∴|EG|+|EC|=|ES|+|EC|=6．

又∵|GC|=6，

∴点E的轨迹是以G，C为焦点，长轴长为6的椭圆，

∴动点E的轨迹方程为=1．…（4分）

（2）假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

其方程为y=x+m，

由消去y，化简得3x2+4mx+2m2﹣18=0．

∵直线l与椭圆C相交于A，B两点，

∴△=16m2﹣12（2m2﹣18）＞0，

化简得m2＜27，解得﹣3．…（6分）

∴x1+x2=﹣，x1•x2=．

∵以线段AB为直径的圆恰好经过原点，

∴=0，所以x1x2+y1y2=0．…（8分）

又y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2，

x1x2+y1y2=2x1x2+m（x1+x2）+m2=﹣+m2=0，

解得m=．…（11分）

由于（﹣3，3），

∴符合题意的直线l存在，

所求的直线l的方程为y=x或y=x﹣2．…（13分）

点评：

本题考查点的方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

二．解答题（共12小题）

直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有

直线与圆．

（Ⅰ）求出两圆的圆心距离，即可判断圆C1与圆C2的位置关系；

（Ⅱ）根据圆C同时平方圆周，建立条件方程即可得到结论．

（Ⅰ）C1：

（x+1）2+y2=1的圆心为（﹣1，0），半径r=1，圆C2：

（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心为（3，4），半径R=1，

则|C1C2|=，

∴圆C1与圆C2的位置关系是相离．

（Ⅱ）设圆心C（x，y），由题意得CC1=CC2，

即，

整理得x+y﹣3=0，

即圆心C在定直线x+y﹣3=0上运动．

设C（m，3﹣m），

则动圆的半径，

于是动圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣3+m）2=1+（m+1）2+（3﹣m）2，

整理得：

x2+y2﹣6y﹣2﹣2m（x﹣y+1）=0．

由，

解得或，

即所求的定点坐标为（1﹣，2﹣），（1+，2+）．

本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，以及与圆有关的综合应用，考查学生的计算能力．

轨迹方程；

圆的标准方程．菁优网版权所有

（1）由椭圆的第二定义即可知道点M的轨迹E为椭圆；

（2）设出椭圆上的点C的坐标，进而写出直线AC、BC的方程，分别求出点P、Q的坐标，只要判断kPF•kQF=﹣1是否成立即可．

（1）由椭圆的第二定义可知：

点M的轨迹E是以定点F（1，0）为焦点，离心率e=，直线l：

x=4为准线的椭圆（除去与x轴相交的两点）．

∴c=1，，∴a=2，b2=22﹣12=3，

∴点M的轨迹为椭圆E，其方程为（除去（±

2，0））．

（2）以线段PQ为直径的圆经过定点F．下面给出证明：

如图所示：

设C（x0，y0），（x0≠±

2），则直线AC的方程为：

，

令x=4，则yP=，∴，∴=；

直线BC的方程为：

，令x=4，则yQ=，∴，∴kQF==．

∴kPF•kQF==，

∵点C（x0，y0）在椭圆上，∴，∴=﹣1，

∴kPF•kQF=﹣1．

因此以线段PQ为直径的圆经过定点F．

熟练掌握椭圆的定义、直线垂直与斜率的关系是解题的关键．

椭圆的应用．菁优网版权所有

综合题；

圆锥曲线的定义、性质与方程．

（ⅰ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k1，k2，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；

（ⅱ）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由=0列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．

（ⅰ）证明：

由题设椭圆C：

：

+y2=1可知，点A（0，1），B（0，﹣1）．

令P（x0，y0），则由题设可知x0≠0．

∴直线AP的斜率k1=，PB的斜率为k2=．

又点P在椭圆上，∴+y02=1（x0≠1）

从而有k1•k2=•=﹣；

（ⅱ）解：

以MN为直径的圆恒过定点（0，﹣2+2）或（0，﹣2﹣2）．

事实上，设点Q（x，y）是以MN为直径圆上的任意一点，则=0，

故有+（y+2）（y+2）=0．

又k1•k2=﹣

∴以MN为直径圆的方程为x2+（y+2）2﹣12+=0．

令x=0，则（y+2）2=12，解得y=﹣2±

2．

∴以MN为直径的圆恒过定点（0，﹣2+2）或（0，﹣2﹣2）．