四川高考理科数学试题及答案文档格式.docx
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b<
cB.b<
a<
cC.b<
c<
aD.c<
b
18.(12分)
某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:
天):
锻炼人次
空气质量等级
[0,200]
(200,400]
(400,600]
1(优)
2
16
25
2(良)
5
10
12
3(轻度污染)
6
7
8
4(中度污染)
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;
若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×
2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?
人次≤400
人次>
400
空气质量好
空气质量不好
附:
K2=,
P(K2≥k)
0.0500.0100.001
k
3.8416.63510.828
.
19.(12分)
如图,在长方体中,点分别在棱上,且,.
(1)证明:
点在平面内;
(2)若,,,求二面角的正弦值.
20.(12分)
已知椭圆的离心率为,,分别为的左、右顶点.
(1)求的方程;
(2)若点在上,点在直线上,且,,求的面积.
21.(12分)
设函数,曲线在点(,f())处的切线与y轴垂直.
(1)求b.
(2)若有一个绝对值不大于1的零点,证明:
所有零点的绝对值都不大于1.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1),C与坐标轴交于A、B两点.
(1)求;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
设a,b,c∈R,,.
;
(2)用表示a,b,c的最大值,证明:
≥.
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
选择题答案
一、选择题
1.C2.D3.B4.C
5.B6.D7.A8.C
9.D10.D11.A12.A
非选择题答案
二、填空题
13.714.24015.16.②③
三、解答题
17.解:
(1)猜想由已知可得
,
……
.
因为,所以
(2)由
(1)得,所以
.①
从而
.②
得
所以
18.解:
(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率的估计值如下表:
1
3
4
概率的估计值
0.43
0.27
0.21
0.09
(2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为
(3)根据所给数据,可得列联表:
33
37
22
根据列联表得
由于,故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.
19.解:
设,,,如图,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系.
(1)连结,则,,,,,,得.
因此,即四点共面,所以点在平面内.
(2)由已知得,,,,,,,.
设为平面的法向量,则
即可取.
同理可取.
因为,所以二面角的正弦值为.
20.解:
(1)由题设可得,得,
所以的方程为.
(2)设,根据对称性可设,由题意知,
由已知可得,直线BP的方程为,所以,,
因为,所以,将代入的方程,解得或.
由直线BP的方程得或8.
所以点的坐标分别为.
,直线的方程为,点到直线的距离为,故的面积为.
综上,的面积为.
21.解:
(1).
依题意得,即.
故.
(2)由
(1)知,.
令,解得或.
与的情况为:
x
+
–
因为,所以当时,只有大于1的零点.
因为,所以当时,f(x)只有小于–1的零点.
由题设可知,
当时,只有两个零点和1.
当时,只有两个零点–1和.
当时,有三个等点x1,x2,x3,且,,.
综上,若有一个绝对值不大于1的零点,则所有零点的绝对值都不大于1.
22.解:
(1)因为t≠1,由得,所以C与y轴的交点为(0,12);
由得t=2,所以C与x轴的交点为.
(2)由
(1)可知,直线AB的直角坐标方程为,将代入,
得直线AB的极坐标方程
23.解:
(1)由题设可知,a,b均不为零,所以
(2)不妨设max{a,b,c}=a,因为,所以a>
0,b<
0,c<
0.由,可得,故,所以.