判断矩阵的最大特征值Word格式.docx
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例1.2求矩阵
的特征值与特征向量.
输入
A=Table[i+j,{i,3},{j,3}]
（1）计算矩阵A的全部（准确解）特征值,输入
则输出
{0,
}
（2）计算矩阵A的全部（数值解）特征值,输入
Eigenvalues[N[A]]
{12.4807,-0.480741,-1.3483
（3）计算矩阵A的全部（准确解）特征向量,输入
Eigenvectors[A]//MatrixForm
（4）计算矩阵A的全部（数值解）特征向量,输入
Eigenvectors[N[A]]//MatrixForm
（5）同时计算矩阵A的全部（准确解）特征值和特征向量,输入
OutputForm[Eigensystem[A]]
则输出所求结果
（6）计算同时矩阵A的零空间,输入
NullSpace[A]
{{1,-2,1}}
（7）调入程序包<
<
LinearAlgebra`Orthogonalization`后,还可以做以下的运算:
GramSchmidt[]:
用Gram-Schmidt过程将向量组单位正交化;
Normalize[]:
将向量组单位化;
Projection[vect1,vect2]:
求从向量组vect1到vect2的正交映射.
输入
LinearAlgebra’Orthogonalization’
GramSchmidt[Eigenvectors[N[A]]]//MatrixForm
例1.3求方阵
的特征值和特征向量.
Clear[M];
M={{1,2,3,},{2,1,3}{3,3,6}};
Eigenvalues[M]
Eigenvectors[M]
Eigensystem[M]
则分别输出
{-1,0,9}
{{-1,1,0},{-1,-1,1}{1,1,2}}
{{-1,0,9},{{-1,1,0},{-1,-1,1}{1,1,2}}}
例1.4（教材例1.2）求矩阵
的特征值和特征向量的近似值.
A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6,1,-2}};
则屏幕输出的结果很复杂,原因是矩阵
的特征值中有复数且其精确解太复杂.此时,可采用
近似形式输入矩阵
则输出结果也采用近似形式来表达.
A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6.0,1,-2}};
{{-0.748989+1.27186i,-0.748989-1.27186i,0.831311},
{{0.179905+0.192168i,0.116133+0.062477I,0.955675+0.i},
{0.179905-0.192168i,0.116133-0.062477i,0.955675+0.i},
{-0.0872248,-0.866789,-0.490987}}}
从中可以看到
有两个复特征值与一个实特征值.属于复特征值的特征向量也是复的;
属于实
特征值的特征向量是实的.
例1.5（教材例1.3）已知2是方阵
的特征值,求
.
Clear[A,q];
A={{2-3,0,0},{-1,2-t,-3},{-1,-2,2-3}};
q=Det[A]
Solve[q==0,t]
{{t
8}}
即当
时,2是方阵
的特征值.
例1.6（教材例1.4）已知
是方阵
的一个特征向量,求参数
及特征向量
所属的特征值.
设所求特征值为
输入
Clear[A,B,v,a,b,t];
A={{t-2,1,-2},{-5,t-a,-3},{1,-b,t+2}};
v={1,1,-1};
B=A.v;
Solve[{B[[1]]==0,B[[2]]==0,B[[3]]==0},{a,b,t}]
{{a
-3,b
0,t
-1}}
即
时,向量
的属于特征值-1和特征向量.
矩阵的相似变换
例1.7（教材例1.5）设矩阵
求一可逆矩阵
使
为对角矩阵.
方法1输入
Clear[A,P];
A={{4,1,1},{2,2,2},{2,2,2}};
P=Eigenvectors[A]//Transpose
{0,2,6}
{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}}
即矩阵A的特征值为0,2,6.特征向量为
与
矩阵
可验证
为对角阵,事实上,输入
Inverse[P].A.P
{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}
因此,矩阵
在相似变换矩阵
的作用下,可化作对角阵.
方法2直接使用JordanDecomposition命令,输入
jor=JordanDecomposition[A]
{{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}},{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}}
可取出第一个矩阵
和第二个矩阵
事实上,输入
jor[[1]]
jor[[2]]
输出结果与方法1的得到的结果完全相同.
例1.8方阵
是否与对角阵相似?
Clear[A];
A={{1,0},{2,1}};
输出为
{{1,1},{{0,1}{0,0}}}
于是,1是二重特征值,但是只有向量{0,1}是特征向量,因此,矩阵A不与对角阵相似.
例1.9（教材例1.6）已知方阵
相似,求
注意矩阵
是对角矩阵,特征值是
.又矩阵
是分块下三角矩阵,-2是矩阵
的特
征值.矩阵
相似,则
且-1,2也是矩阵
Clear[c,v];
v={{4,0,0},{-2,2-x,-2},{-3,-1,1}};
Solve[Det[v]==0,x]
{{x
0}}
所以,在题设条件,
例1.10对实对称矩阵
求一个正交阵
为对角阵.
LinearAlgebra\Orthogonalization
Clear[A,P]
A={{0,1,1,0},{1,0,1,0},{1,1,0,0},{0,0,0,2}};
输出的特征值与特征向量为
{-1,-1,2,2}
{{-1,0,1,0},{-1,1,0,0},{0,0,0,1},{1,1,1,0}}
再输入
P=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]//Transpose
输出为已经正交化和单位化的特征向量并且经转置后的矩阵
为了验证
是正交阵，以及
是对角阵，输入
Transpose[P].P
Inverse[P].A.P//Simplify
Transpose[P].A.P//simplify
{{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}}
{{-1,0,0,0},{0,-1,0,0},{0,0,2,0},{0,0,0,2}}
第一个结果说明
因此
是正交阵;
第二个与第三个结果说明
例1.11求一个正交变换,化二次型
为标准型.
二次型的矩阵为
这恰好是例1.10的矩阵,因此，用例1.10中的正交矩阵
作正交变换
即
将
化作标准型.输入
f=Table[x[j],{j,4}].A.Table[x[j],{j,4}]//Simplify
2（x[2]x[3]+x[1]（x[2]+x[3]）+x[4]2）
这是原来的二次型
.把上式中的x[1],x[2],x[3],x[4]用y[1],y[2],y[3],y[4]表示,输入代换命令
f/.Table[x[j]
（P.Table[y[j],{j,4}]）[[j]],{j,4}]//
Simplify
-y[1]2-y[2]2+2（y[3]2+y[4]2）
这就是二次型
的标准型.
例1.12（教材例1.7）已知二次型
（1）求标准形;
（2）求正惯性指数;
（3）判断二次型是否正定.
A={{1,1,-2},{1,-2,1},{-2,1,1}}
则输出矩阵A的特征值为
{-3,0,3}
所以二次型的标准形为
;
正惯性指数为1;
该二次型不是正定的.
例1.13（教材例1.8）求正交变换将二次型
化为标准形.
A={{1,1,0,-1},{1,1,1,0},{0,1,1,-1},{-1,0,-1,1}}
X={x1,x2,x3,x4};
Expand[X.A.X]
LinearAlgebra\Orthogonalization.m
P=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]
P.A.Inverse[P]//MatrixForm
则输出所求的正交变换矩阵P与二次型矩阵A标准形.从结果知,所求二次型的标准型为
实验2层次分析法
通过应用层次分析法解决一个实际问题,学习层次分析法的基本原理与方法;
掌握用层次
分析法建立数学模型的基本步骤;
学会用Mathematica解决层次分析法中的数学问题.
基本原理
层次分析法是系统分析的重要工具之一,其基本思想是把问题层次化、数量化,并用数学
方法为分析、决策、预报或控制提供定量依据.它特别适用于难以完全量化,又相互关联、
相互制约的众多因素构成的复杂问题.它把人的思维过程层次化、数量化,是系统分析的一中
新型的数学方法.
运用层次分析法建立数学模型,一般可按如下四个基本步骤进行.
1.建立层次结构
首先对所面
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