高考数学考点通关练第七章平面解析几何53双曲线试题理Word文档格式.docx
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3．已知双曲线C：
＝1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为（ ）
＝1
解析 根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．
∵
＝1的焦距为10，
∴c＝5＝
.①
又双曲线渐近线方程为y＝±
x，且P（2,1）在渐近线上，
∴
＝1，即a＝2b.②
由①②解得a＝2
，b＝
，
则C的方程为
＝1，故应选A.
4．已知双曲线x2－
＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝（ ）
A．2
B．3C．4D．2
＋1
答案 C
解析 设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a＝1，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4，选C.
5．已知双曲线
0）的焦点分别为F1（－c,0），F2（c,0）（c>
0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设
＋
＝m，
＝n，则下列各式成立的是（ ）
A．|m|>
|n|B．|m|<
|n|
C．|m－n|＝0D．|m－n|>
解析 取过点F2且垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，则
＝m＝2
＝n＝2
，故|m－n|＝0，选C.
6．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（
，0），直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－
，则此双曲线的方程是（ ）
解析 依题意得a2＋b2＝c2＝7，
由此设双曲线方程为
＝1，
另设直线与双曲线的交点为M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为（x，y）．
则
＝1，①
＝1，②
①－②得：
（x1＋x2）（x1－x2）＝
（y1＋y2）（y1－y2），
又由x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y，x＝－
，y＝x－1，k＝
＝1，得a2＝2.
∴双曲线方程为
＝1，故选D.
7．已知双曲线C：
0）的离心率e＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．
答案 x2－
解析 由题意得
解得
则b＝
，故所求方程为x2－
＝1.
8．设F1，F2分别为双曲线
＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离为________．
答案 17
解析 解法一：
∵实轴长2a＝8，半焦距c＝6，
∴||PF1|－|PF2||＝8.
∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或|PF2|＝17.
又∵|PF2|的最小值为c－a＝6－4＝2，
∴|PF2|＝17.
解法二：
由题知，若P在右支上，
则|PF1|≥2＋8＝10>
9，∴P在左支上．
∴|PF2|－|PF1|＝2a＝8，∴|PF2|＝9＋8＝17.
二、高考小题
9．[2016·
全国卷Ⅰ]已知方程
＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A．（－1,3）B．（－1，
）C．（0,3）D．（0，
）
解析 ∵原方程表示双曲线，且焦距为4，
①
或
②
由①得m2＝1，n∈（－1,3）．②无解．故选A.
10．[2016·
天津高考]已知双曲线
＝1（b>
0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
解析 不妨设A（x0，y0）在第一象限，由题意得
由①③得x
，④
所以y
×
，⑤
由②④⑤可得b2＝12.
所以双曲线的方程为
＝1.故选D.
11．[2016·
浙江高考]已知椭圆C1：
＋y2＝1（m>
1）与双曲线C2：
－y2＝1（n>
0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m>
n且e1e2>
1B．m>
n且e1e2<
1
C．m<
1D．m<
解析 在椭圆中，a1＝m，c1＝
，e1＝
.在双曲线中，a2＝n，c2＝
，e2＝
.因为c1＝c2，所以n2＝m2－2.从而e
·
e
，令t＝m2－1，则t>
0，e
>
1，即e1e2>
1.结合图形易知m>
n，故选A.
12．[2016·
全国卷Ⅱ]已知F1，F2是双曲线E：
＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝
，则E的离心率为（ ）
B.
C.
由MF1⊥x轴，可得M
∴|MF1|＝
.由sin∠MF2F1＝
，可得cos∠MF2F1＝
，又tan∠MF2F1＝
，∴
，∴b2＝
ac，∵c2＝a2＋b2⇒b2＝c2－a2，∴c2－a2－
ac＝0⇒e2－
e－1＝0，∴e＝
.故选A.
由MF1⊥x轴，得M
，由双曲线的定义可得|MF2|＝2a＋|MF1|＝2a＋
，又sin∠MF2F1＝
⇒a2＝b2⇒a＝b，∴e＝
13．[2016·
北京高考]双曲线
0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
答案 2
解析 由OA、OC所在直线为渐近线，且OA⊥OC，知两条渐近线的夹角为90°
，从而双曲线为等轴双曲线，则其方程为x2－y2＝a2.OB是正方形的对角线，且点B是双曲线的焦点，则c＝2
，根据c2＝2a2可得a＝2.
三、模拟小题
14．[2017·
山西质量监测]设P为双曲线C：
x2－y2＝1上一点，F1、F2分别为双曲线C的左、右焦点，若cos∠F1PF2＝
，则△PF1F2的外接圆半径为（ ）
B．9C.
D．3
解析 由题意知双曲线中a＝1，b＝1，c＝
，所以|F1F2|＝2
.因为cos∠F1PF2＝
，所以sin∠F1PF2＝
.在△PF1F2中，
＝2R（R为△PF1F2的外接圆半径），即
＝2R，解得R＝
，即△PF1F2的外接圆半径为
，故选C.
15．[2017·
哈尔滨调研]已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点相同，若以点F为圆心，
为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为（ ）
－x2＝1B.
－y2＝1
解析 设双曲线C的方程为
0），而抛物线y2＝8x的焦点为（2,0），即F（2,0），∴4＝a2＋b2.又圆F：
（x－2）2＋y2＝2与双曲线C的渐近线y＝±
x相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为
，∴a2＝b2＝2，故双曲线C的方程为
16．[2016·
河南三市调研]若双曲线
0）和椭圆
＝1（m>
n>
0）有共同的焦点F1、F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·
|PF2|＝（ ）
A．m2－a2B.
C.
（m－a）D．m－a
解析 不妨设点P是第一象限内两曲线的交点，由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2
，由双曲线的定义可令|PF1|－|PF2|＝2
，两式联立得|PF1|＝
，|PF2|＝
，所以|PF1|·
|PF2|＝m－a.
17．[2016·
河北石家庄二模]已知直线l与双曲线C：
x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）
B．1C．2D．4
解析 由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±
x，设A（x1，x1），B（x2，－x2），则OA⊥OB，AB的中点为
，又因为AB的中点在双曲线上，所以
2－
2＝2，化简得x1x2＝2，所以S△AOB＝
|OA|·
|OB|＝
|
x1|·
x2|＝|x1x2|＝2，故选C.
18．[2016·
广东茂名二模]已知双曲线：
0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，直线y＝
（x＋c）与双曲线的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则双曲线的离心率为（ ）
C．2D.
解析 ∵直线y＝
（x＋c）过左焦点F1，且其倾斜角为60°
，∴∠MF1F2＝60°
，∠MF2F1＝30°
.∴∠F1MF2＝90°
，即F1M⊥F2M.∴|MF1|＝
|F1F2|＝c，|MF2|＝|F1F2|·
sin60°
c，由双曲线的定义有：
|MF2|－|MF1|＝
c－c＝2a，∴离心率e＝
＋1，故选D.
一、高考大题
1．[2014·
福建高考]已知双曲线E：
0）的两条渐近线分别为l1：
y＝2x，l2：
y＝－2x.
（1）求双曲线E的离心率；
（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且△OAB的面积恒为8.试探究：
是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？
若存在，求出双曲线E的方程；
若不存在，说明理由．
解
（1）因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，
y＝－2x，所以
＝2，所以
＝2，故c＝
a，
从而双曲线E的离心率e＝
（2）解法一：
由
（1）知，双曲线E的方程为
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，
则|OC|＝a，|AB|＝4a，
又因为△OAB的面积为8，
所以
|OC|·
|AB|＝8，因此
a·
4a＝8，解得a＝2，
此时双曲线E的方程为
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为
以下证明：
当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：
＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k
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