第六章 近独立粒子的最概然分布习题课汇总Word文档下载推荐.docx

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在宏观短，微观长时间内（一瞬间）系统经历了所有的微观状态----各态历经假说。

且各微观态出现的概率相等

---玻耳慈曼分布。

此分布（宏观态）的概率为

即：

最概然分布几乎就是孤立系统的平衡态分布。

4、热力学第一定律的统计解释：

比较可知：

从统计热力学观点看，

做功：

通过改变粒子能级引起内能变化；

传热：

通过改变粒子分布引起内能变化。

二、相关公式

1、分布与微观状态数

1、

2、

3、

4、

2、最概然分布

玻耳兹曼分布

玻色-爱因斯坦分布

费米-狄拉克分布

※、第一类是求粒子运动状态在空间的相轨迹:

关键是由已知条件写出广义坐标和广义动量满足的函数关系。

※、第二类是求粒子能态密度；

已知粒子的哈密顿量与广义坐标和广义动量满足的函数关系，求粒子能态密度。

不同方法有不同步骤，方法有：

方法一：

量子力学方法。

第一步，解薛定谔方程，求能量本证值

第二步，求出粒子能量小于的量子态数

第三步，求出粒子能量在到范围的量子态数。

方法二：

半经典近似法。

该方法的依据是：

对自由度为的一个粒子，对每一个可能的状态对于空间中大小为的一个相体积元，因此，粒子能量小于的量子态数为

由此求得粒子能量在到范围的量子态数。

计算步骤：

第一步、写出粒子自由度和粒子哈密顿。

第二步、由求出粒子能量小于的状态数。

第三步、求出粒子态密度。

[例1]、对于二维自由粒子，在长度L2内，求粒子在到的能量范围内量子态数。

解，量子力学方法:

边长为L的正方形平面内，粒子哈密顿算符的能量本征方程为

设：

则

解得：

利用周期性边界条件：

得：

由上式可知，量子数完全决定了粒子的量子状态。

以为直角坐标轴，构成二维量子数空间，每一组数对应一个点，它代表一个量子态，这种点成为代表点，此空间中边长为1的一个正方形（面积为1）内有1个代表点，即相应于1个量子态。

由可知，在数空间中能量的等能线为半径的圆，它所包围的面积为，而单位面积对应1个量子态，所以粒子能量小于的量子态数为，所以粒子在到的能量范围内的量子态数

其中：

为态密度，显然此情况在数空间态密度是均匀的。

解，半经典方法:

由可知，在二维动量空间中，等能线满足，等能线为半径等于的圆，由此求得粒子能量小于的量子态数：

所以粒子在到的能量范围内的量子态数

※、第三类确定孤立系统的粒子分布和与一个分布相对应的系统的微观状态数及各分布出现的几率或求最概然分布。

[例2]：

（1）假设某种类型分子的许可能级为0、、、、……，而且都是非简并的，如果体系含有6个分子，问与总能量相联系的是什么样的分布？

并根据公式计算每种分布的微观态数,并由此确定各种分布的几率（设各种微观态出现的几率相等）。

（2）、在题

（1）中，如0和两能级是非简并的，而和两个能级分别是6度和10度简并。

试重复上面的计算。

解：

（1）粒子的在各能级的分布可以描述如下：

能级

能量值

简并度

分布数

分布要满足的条件是：

，

满足上述限制条件的分布可以有：

则各分布所对应的微观态数为：

所以此种情况下体系的总的微观状态数为

各分布的几率为：

（2）粒子的在各能级的分布可以描述如下：

[例3]：

设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N和N’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。

假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。

试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：

和

其中和是两种粒子的能级，和是能级简并度。

证：

粒子A能级，粒子数分布：

——{al}——简并度

粒子B能级，粒子数分布：

——{a’l}——简并度

体系两种粒子分布要满足的条件为：

，

分布，对应的微观状态数为

则系统的微观态数为

上式表明：

当第一类粒子的分布为{al}，而同时第二类粒子的分布为{a’l}时系统的微观态数。

在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件，下使为极大的分布。

利用斯特林公式可得：

由，得

而由限制条件可得：

，

引入拉氏不定乘子，得

根据拉格朗日未定乘子法原理，每个及的系数都等于零，所以得：

讨论：

（1）、上面的推导表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布，两分布的，不同，但有共同的，原因在于开始就假设两种粒子的粒子数和能量具有确定值，这意味着在相互作用中两粒子可以交换能量，但不会相互转化。

从上述结果还可看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两子系统有相同的

（2）、如果把每一种粒子看作是一个子系统，则总系统是由两个子系统组成，在热平衡时，两子系统的温度相等。

由于在热平衡时，两子系统的温度相等。

从上面打推导中可看出，在热平衡时，两子系统的是相同的，由此可见，参数是一个与温度有关的量。

[例4]：

如果粒子玻色子或费米子。

试导出，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别。

考虑一般性，系统由N个玻色子和N’.个费米子组成，总能量为，体积为时，粒子的分布和必须满足

才有可能实现。

玻粒子A能级，粒子数分布：

费米粒子B能级，粒子数分布：

玻色子处于分布时，对应的微观状态数为

费米子处于分布时，对应的微观状态数为

拉氏不定乘子由限制条件，确定。

上式表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中，不同，但相等。

《第六章近独立粒子的最概然分布》习题解答

习题6.1试证明，在体积V内，在到的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为：

证明：

∵

（1）

进行变量代换：

，

代入

（1）式

对积分

证毕。

习题6.2试证明，对子一维自由粒子，再长度L内，在到的能量范围内，量子态数为：

一维自由粒子，附近的量子态为

；

于是。

而±

Px对应同一能量，于是：

习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在长度L2内，在到的能量范围内，量子态数为

二维；

在Px,Py附近dPxdPy区间上内的粒子数。

（s－面积）

因只与P有关（P>

0）,故对积分可得：

，

（s=L2）

习题6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为。

试求在体积V内，在到的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。

由于只与有关，与、无关，于是

以上已经代入了

于是，

补充习题

1、求一个一维线性谐振子，在的能量范围内粒子可能的状态数。

方法一、用量子力学方法求

一维谐振子的能量本征值为，能级非故能量范围粒子可能的状态数、；

方法二，用相空间方法求

由测不准关系有，即一个状态对应相空间面积元的面积为h。

一维谐振子、当能量为的相轨道为

即

在相空间中能量小于ε的相面积为，能量小于ε+dε的面积为；

能量在的相面积为，

由此得到能量范围的状态数为

2、设有某种气体分子，其能量和动量的关系是，其中为常量。

试求这种粒子的能量在范围的状态数。

解首先计算粒子能量小于某一数值的状态数

在粒子能量范围内的量子态数为

例如，对于光子气体，为光速，且计及光子自旋有两个投影，则得

若将代入，得光子频率在内的量子态数为