北师大八年级数学上册总复习知识点+例题Word格式.docx

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的直角三角形；

　　若时，△ABC是锐角三角形；

　　　若时，△ABC是钝角三角形．

2.勾股数

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.

常见的勾股数：

①3、4、5；

②5、12、13；

③8、15、17；

④7、24、25；

⑤9、40、41.

如果（）是勾股数，当t为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）

要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：

勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：

勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

类型一、勾股定理及逆定理的应用

例1、如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°

，E、F为AB上两点（E左F右），且∠ECF＝45°

，求证：

.

举一反三：

【变式】已知凸四边形ABCD中，∠ABC＝30°

，∠ADC＝60°

，AD＝DC，

求证：

例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．

类型二、勾股定理及逆定理的综合应用

例3、如图，已知四边形ABCD中，∠B=90°

，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．

例4、如图：

正方形ABCD中，E是DC中点，F是EC中点.求证：

∠BAF=2∠EAD.

【变式】如图所示，在△ABC中，AB：

BC：

CA=3：

4：

5，且周长为36cm，点P从点A开始沿边向B点以每秒1cm的速度移动；

点Q从点B沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果同时出发，问过3秒时，△BPQ的面积为多少？

类型三、勾股定理的实际应用

例5、如图所示，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC＝400米，BD＝200米，CD＝800米，牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走路程最短？

最短路程是多少？

【变式】如图所示，正方形ABCD的AB边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC上有一点P，使EP＋BP最短．求EP＋BP的最小值．

例6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B处，在沿海城市福州A的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东30°

方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响．试问：

（1）该城市是否会受到台风影响？

请说明理由．

（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？

（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

《实数和二次根式》全章复习与巩固

要点一、平方根和立方根

类型

项目

平方根

立方根

被开方数

非负数

任意实数

符号表示

性质

一个正数有两个平方根，且互为相反数；

零的平方根为零；

负数没有平方根；

一个正数有一个正的立方根；

一个负数有一个负的立方根；

零的立方根是零；

重要结论

要点二、无理数与实数

有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类

实数

（1）所有的实数分成三类：

有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．

（2）无理数分成三类：

①开方开不尽的数，如，等；

②有特殊意义的数，如π；

③有特定结构的数，如0.1010010001…

　（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

2.实数与数轴上的点一一对应

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3.实数的三个非负性及性质

　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；

（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；

　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即（）.

　　非负数具有以下性质：

（1）非负数有最小值零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

4.实数的运算

数的相反数是－；

一个正实数的绝对值是它本身；

一个负实数的绝对值是它的相反数；

0的绝对值是0.

　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：

先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较

　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

　　法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

　法则3.两个数比较大小常见的方法有：

求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

要点三、二次根式的相关概念和性质

1.二次根式

形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.

二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.

2.二次根式的性质

（1）；

（2）；

（3）.

（1）一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.

（2）中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.

（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.

（4）与的异同

不同点：

中可以取任何实数，而中的必须取非负数；

=，=（）.

相同点：

被开方数都是非负数，当取非负数时，=.

3.最简二次根式

（1）被开方数是整数或整式；

（2）被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.

最简二次根式有两个要求：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.

4.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.

要点四、二次根式的运算

1.乘除法

（1）乘除法法则：

类型

法则

逆用法则

二次根式的乘法

积的算术平方根化简公式：

二次根式的除法

商的算术平方根化简公式：

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.

（2）被开方数一定是非负数（在分母上时只能为正数）.

如.

2.加减法

将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.

二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.

例1、已知，求的值.

例2、已知实数x、y满足，求2x﹣的立方根．

类型二、与实数有关的问题

例3、已知是的整数部分，是它的小数部分，求的值．

【变式】已知5＋的小数部分为，5－的小数部分为，则＋的值是；

－的值是_______.

【变式】实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是：

；

例5、阅读材料：

学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：

估算的近似值.

小明的方法：

∵，设（）.∴.

∴.∴.解得.∴.

问题：

（1）请你依照小明的方法，估算的近似值；

（2）请结合上述具体实例，概括出估算的公式：

已知非负整数、、，若，且，则_________________（用含、的代数式表示）；

（3）请用

（2）中的结论估算的近似值.

类型四、二次根式概念及运算

例6、计算：

5+﹣×

+÷

．

【变式】.

例7、已知为△ABC的三边长，化简

例8、若，化简.

【变式】当.

《平面直角坐标系》全章复习与巩固

要点一、有序数对

把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用（13，2000），（17，190），（21，330）…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：

（4，5），（20，12），（13，2），…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.

要点二、平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：

（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：

x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.

（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.

（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：

①x轴上的点纵坐标为零；

y轴上的点横坐标为零．

②平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；

平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．

③关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；

关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；

关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．

④象限角平分线上的点的坐标特征：

一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；

二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．

注：

反之亦成立．

（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：

①坐标平面内点P（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．

②x轴上两点A（x1，0）、B（x2，0）的距离为AB=|x1-x2|；

y轴上两点C（0，y1）、D