中考数学专题复习第二十三讲圆的有关概念及性质含详细参考答案Word下载.docx

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1、垂径定理：

垂直于弦的直径，并且平分弦所对的

2、推论：

平分弦（）的直径，并且平分弦所对的

1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：

⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用

2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线

3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】

三、圆心角、弧、弦之间的关系：

1、圆心角定义：

顶点在的角叫做圆心角

2、定理：

在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对应的其余各组量也分别

注意：

该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】

四、圆周角定理及其推论：

1、圆周角定义：

顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角

2、圆周角定理：

在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的

推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧

推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是900的圆周角所对的弦是

1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有个，它们的关系是

2、作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】

五、圆内接四边形：

定义：

如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做这个圆叫做

性质：

圆内接四边形的对角

圆内接平行四边形是圆内接梯形是】

考点一：

垂径定理

例1（2012•绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：

甲：

1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，

2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形 

乙：

1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．

2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形．

对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）

A．甲、乙均正确B．甲、乙均错误

C．甲正确、乙错误D．甲错误，乙正确

考点：

垂径定理；

等边三角形的判定与性质；

含30度角的直角三角形．

专题：

计算题．

分析：

由甲的思路画出相应的图形，连接OB，由BC为OD的垂直平分线，得到OE=DE，且BC与OD垂直，可得出OE为OD的一半，即为OB的一半，在直角三角形BOE中，根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30°

，得到∠OBE为30°

，利用直角三角形的两锐角互余得到∠BOE为60°

，再由∠BOE为三角形AOB的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角性质得到∠ABO也为30°

，可得出∠ABC为60°

，同理得到∠ACB也为60°

，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°

，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形；

由乙的思路画出相应的图形，连接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代换可得出三角形OBD三边相等，即为等边三角形，的长∠BOE=∠DBO=60°

，由BC垂直平分OD，根据三线合一得到BE为角平分线，可得出∠OBE为30°

，又∠BOE为三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°

，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形，进而得出两人的作法都正确．

解答：

解：

根据甲的思路，作出图形如下：

连接OB，

∵BC垂直平分OD，

∴E为OD的中点，且OD⊥BC，

∴OE=DE=OD，又OB=OD，

在Rt△OBE中，OE=OB，

∴∠OBE=30°

，又∠OEB=90°

，

∴∠BOE=60°

∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，

又∠BOE为△AOB的外角，

∴∠OAB=∠OBA=30°

∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°

同理∠C=60°

∴∠BAC=60°

∴∠ABC=∠BAC=∠C，

∴△ABC为等边三角形，

故甲作法正确；

根据乙的思路，作图如下：

连接OB，BD，

∵OD=BD，OD=OB，

∴OD=BD=OB，

∴△BOD为等边三角形，

∴∠OBD=∠BOD=60°

又BC垂直平分OD，∴OM=DM，

∴BM为∠OBD的平分线，

∴∠OBM=∠DBM=30°

又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，

∴∠BAO=∠ABO=30°

∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°

同理∠ACB=60°

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，

故乙作法正确，

故选A

点评：

此题考查了垂径定理，等边三角形的判定，含30°

直角三角形的判定，三角形的外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理及判定是解本题的关键．

对应训练

1．（2012•哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°

，OP⊥AC于点P，OP=2，则⊙O的半径为（　　）

A．4B．6C．8D．12

含30度角的直角三角形；

圆周角定理．

由∠B的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠AOC的度数，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形的内角和定理求出∠OAC=30°

，又OP垂直于AC，得到三角形AOP为直角三角形，利用30°

所对的直角边等于斜边的一半，根据OP的长得出OA的长，即为圆O的半径．

∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为，且∠B=60°

∴∠AOC=2∠B=120°

又OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°

∵OP⊥AC，

∴∠AOP=90°

在Rt△AOP中，OP=2，∠OAC=30°

∴OA=2OP=4，

则圆O的半径4．

此题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及含30°

直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．

考点二：

圆周角定理

例2（2012•青海）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C

（1）求证：

CB∥MD；

（2）若BC=4，sinM=，求⊙O的直径．

圆周角定理；

解直角三角形．

（1）由∠C与∠M是所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD；

（2）首先连接AC，AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°

，又由弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得=，继而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM=，即可求得⊙O的直径．

（1）证明：

∵∠C与∠M是所对的圆周角，

∴∠C=∠M，

又∵∠1=∠C，

∴∠1=∠M，

∴CB∥MD；

（2）解：

连接AC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°

又∵CD⊥AB，

∴=，

∴∠A=∠M，

∴sinA=sinM，

在Rt△ACB中，sinA=，

∵sinM=，BC=4，

∴AB=6，

即⊙O的直径为6．

此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

37．（2012•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD

BD平分∠ABC；

（2）当∠ODB=30°

时，求证：

BC=OD．

垂径定理．

证明题．

（1）由OD⊥ACOD为半径，根据垂径定理，即可得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；

（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°

，继而可证得BC=OD．

证明：

（1）∵OD⊥AC 

OD为半径，

∴，

∴∠CBD=∠ABD，

∴BD平分∠ABC；

（2）∵OB=OD，

∴∠OBD=∠0DB=30°

∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°

+30°

=60°

又∵OD⊥AC于E，

∴∠OEA=90°

∴∠A=180°

-∠OEA-∠AOD=180°

-90°

-60°

=30°

又∵AB为⊙O的直径，

在Rt△ACB中，BC=AB，

∵OD=AB，

∴BC=OD．

此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

考点三：

圆内接四边形的性质

例3（2012•深圳）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°

，则⊙C的半径长为（　　）

A．6B．5C．3D．3

圆内接四边形的性质；

坐标与图形性质；

探究型．

先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数，由圆周角定理可知∠AOB=90°

，故可得出∠ABO的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB的长，进而得出结论．

∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°

∴∠BAO=60°

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AOB=90°

∴∠ABO=90°

-∠BAO=90°

∵点A的坐标为（0，3），

∴OA=3，

∴AB=2OA=6，

∴⊙C的半径长==3．

故选C．

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．

3．（2011•肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°

，则∠DCE的大小是（　　）

A．115°

B．l05°

C．100°

D．95°

圆内接四边形的性质．

根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°

，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°

．

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠BAD+∠BCD=180°

而∠BCD+∠DCE=180°

∴∠DCE=∠BAD，

而∠BAD=105°

∴∠DCE=105°

故选B．

本题考查了圆内接四边形的性质：

圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．

【聚焦山东中考】

1．（2012•泰安）如图，AB是⊙O的直径，