中考数学 圆的综合 培优 易错 难题练习含答案含详细答案Word文档下载推荐.docx
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(3)①设AB=5k、AC=3k,由BC2-AC2=AB•AC知BC=2k,连接ED交BC于点M,Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=BC=k求得DM==k,可知OM=OD-DM=3-k,在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2可得答案.②设OM=d,则MD=3-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,继而知BC2=(2MC)2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)2+9-d2,由
(2)得AB•AC=BC2-AC2,据此得出关于d的二次函数,利用二次函数的性质可得答案.
详解:
(1)∵四边形EBDC为菱形,
∴∠D=∠BEC,
∵四边形ABDC是圆的内接四边形,
∴∠A+∠D=180°
,
又∠BEC+∠AEC=180°
∴∠A=∠AEC,
∴AC=CE;
(2)以点C为圆心,CE长为半径作⊙C,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则CF=CG,
由
(1)知AC=CE=CD,
∴CF=CG=AC,
∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形,
∴∠G+∠AEF=180°
又∵∠AEF+∠BEF=180°
∴∠G=∠BEF,
∵∠EBF=∠GBA,
∴△BEF∽△BGA,
∴,即BF•BG=BE•AB,
∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,
∴(BC﹣AC)(BC+AC)=AB•AC,即BC2﹣AC2=AB•AC;
(3)设AB=5k、AC=3k,
∵BC2﹣AC2=AB•AC,
∴BC=2k,
连接ED交BC于点M,
∵四边形BDCE是菱形,
∴DE垂直平分BC,
则点E、O、M、D共线,
在Rt△DMC中,DC=AC=3k,MC=BC=k,
∴DM=,
∴OM=OD﹣DM=3﹣k,
在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2得(3﹣k)2+(k)2=32,
解得:
k=或k=0(舍),
∴BC=2k=4;
②设OM=d,则MD=3﹣d,MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2,
∴BC2=(2MC)2=36﹣4d2,
AC2=DC2=DM2+CM2=(3﹣d)2+9﹣d2,
由
(2)得AB•AC=BC2﹣AC2
=﹣4d2+6d+18
=﹣4(d﹣)2+,
∴当d=,即OM=时,AB•AC最大,最大值为,
∴DC2=,
∴AC=DC=,
∴AB=,此时.
点睛:
本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点.
2.如图,AB为⊙O的直径,点E在⊙O上,过点E的切线与AB的延长线交于点D,连接BE,过点O作BE的平行线,交⊙O于点F,交切线于点C,连接AC
AC是⊙O的切线;
(2)连接EF,当∠D= °
时,四边形FOBE是菱形.
(1)见解析;
(2)30.
【分析】
(1)由等角的转换证明出,根据圆的位置关系证得AC是⊙O的切线.
(2)根据四边形FOBE是菱形,得到OF=OB=BF=EF,得证为等边三角形,而得出,根据三角形内角和即可求出答案.
【详解】
(1)证明:
∵CD与⊙O相切于点E,
∴,
又∵,
∴,∠OBE=∠COA
∵OE=OB,
又∵OC=OC,OA=OE,
又∵AB为⊙O的直径,
∴AC为⊙O的切线;
(2)解:
∵四边形FOBE是菱形,
∴OF=OB=BF=EF,
∴OE=OB=BE,
∴为等边三角形,
而,
∴.
故答案为30.
【点睛】
本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题,熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.
3.如图,△ABC的内接三角形,P为BC延长线上一点,∠PAC=∠B,AD为⊙O的直径,过C作CG⊥AD于E,交AB于F,交⊙O于G.
(1)判断直线PA与⊙O的位置关系,并说明理由;
AG2=AF·
AB;
(3)若⊙O的直径为10,AC=2,AB=4,求△AFG的面积.
(1)PA与⊙O相切,理由见解析;
(3)3.
试题分析:
(1)连接CD,由AD为⊙O的直径,可得∠ACD=90°
,由圆周角定理,证得∠B=∠D,由已知∠PAC=∠B,可证得DA⊥PA,继而可证得PA与⊙O相切.
(2)连接BG,易证得△AFG∽△AGB,由相似三角形的对应边成比例,证得结论.
(3)连接BD,由AG2=AF•AB,可求得AF的长,易证得△AEF∽△ABD,即可求得AE的长,继而可求得EF与EG的长,则可求得答案.
试题解析:
解:
(1)PA与⊙O相切.理由如下:
如答图1,连接CD,
∵AD为⊙O的直径,∴∠ACD=90°
.
∴∠D+∠CAD=90°
∵∠B=∠D,∠PAC=∠B,∴∠PAC=∠D.
∴∠PAC+∠CAD=90°
,即DA⊥PA.
∵点A在圆上,
∴PA与⊙O相切.
(2)证明:
如答图2,连接BG,
∵AD为⊙O的直径,CG⊥AD,∴.∴∠AGF=∠ABG.
∵∠GAF=∠BAG,∴△AGF∽△ABG.
∴AG:
AB=AF:
AG.∴AG2=AF•AB.
(3)如答图3,连接BD,
∵AD是直径,∴∠ABD=90°
∵AG2=AF•AB,AG=AC=2,AB=4,∴AF=.
∵CG⊥AD,∴∠AEF=∠ABD=90°
∵∠EAF=∠BAD,∴△AEF∽△ABD.∴,即,解得:
AE=2.
∴.
∵,∴.
考点:
1.圆周角定理;
2.直角三角形两锐角的关系;
3.相切的判定;
4.垂径定理;
5.相似三角形的判定和性质;
6.勾股定理;
7.三角形的面积.
4.如图,已知AB是⊙O的直径,点C为圆上一点,点D在OC的延长线上,连接DA,
交BC的延长线于点E,使得∠DAC=∠B.
DA是⊙O切线;
△CED∽△ACD;
(3)若OA=1,sinD=,求AE的长.
(2)
(1)由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线;
(2)由∠DAC=∠DCE,∠D=∠D可知△DEC∽△DCA;
(3)由题意可知AO=1,OD=3,DC=2,由勾股定理可知AD=2,故此可得到DC2=DE•AD,故此可求得DE的长,于是可求得AE的长.
(1)∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°
,∴∠CAB+∠B=90°
.
∵∠DAC=∠B,∴∠CAB+∠DAC=90°
,∴AD⊥AB.
∵OA是⊙O半径,∴DA为⊙O的切线;
(2)∵OB=OC,∴∠OCB=∠B.
∵∠DCE=∠OCB,∴∠DCE=∠B.
∵∠DAC=∠B,∴∠DAC=∠DCE.
∵∠D=∠D,∴△CED∽△ACD;
(3)在Rt△AOD中,OA=1,sinD=,∴OD==3,∴CD=OD﹣OC=2.
∵AD==2.
又∵△CED∽△ACD,∴,∴DE==,
∴AE=AD﹣DE=2﹣=.
本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定,证得△DEC∽△DCA是解题的关键.
5.已知:
AB是⊙0直径,C是⊙0外一点,连接BC交⊙0于点D,BD=CD,连接AD、AC.
(1)如图1,求证:
∠BAD=∠CAD
(2)如图2,过点C作CF⊥AB于点F,交⊙0于点E,延长CF交⊙0于点G.过点作EH⊥AG于点H,交AB于点K,求证AK=2OF;
(3)如图3,在
(2)的条件下,EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL的长.
图1图2图3
(1)见解析
(2)见解析(3)
(1)由直径所对的圆周角等于90°
,得到∠ADB=90°
,再证明△ABD≌△ACD即可得到结论;
(2)连接BE.由同弧所对的圆周角相等,得到∠GAB=∠BEG.再证△KFE≌△BFE,得到BF=KF=BK.由OF=OB-BF,AK=AB-BK,即可得到结论.
(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设∠GAB=.先证CM垂直平分AG,得到AM=GM,∠AGC+∠GCM=90°
.再证∠GAF=∠GCM=.通过证明△AGB≌△CMG,得到BG=GM=AG.再证明∠BGC=∠MCG=.设BF=KF=a,GF=2a,AF=4a.
由OK=1,得到OF=a+1,AK=2(a+1),AF=3a+2,得到3a+2=4a,解出a的值,得到AF,AB,GF,FC的值.由tanα=tan∠HAK=,AK=6,可以求出AH的长.再由,利用公式tan∠GAD=,得到∠GAD=45°
,则AL=AH,即可得到结论.
(1)∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°
,∴∠ADC=90°
∵BD=CD,∠BDA=∠CDA,AD=AD,∴△ABD≌△ACD,∴∠BAD=∠CAD.
(2)连接BE.∵BG=BG,∴∠GAB=∠BEG.
∵CF⊥AB,∴∠KFE=90°
∵EH⊥AG,∴∠AHE=∠KFE=90°
,∠AKH=∠EKF,∴∠HAK=∠KEF=∠BEF.
∵FE=FE,∠KFE=∠BFE=90°
,∴△KFE≌△BFE,∴BF=KF=BK.
∵OF=OB-BF,AK=AB-BK,∴AK=2OF.
(3)连接CO并延长交AG于点M,连接BG.设∠GAB=.
∵AC=CG,∴点C在AG的垂直平分线上.∵OA=OG,∴点O在AG的垂直平分线上,
∴CM垂直平分AG,∴AM=GM,∠AGC+∠GCM=90°
∵AF⊥CG,∴∠AGC+∠GAF=90°
,∴∠GAF=∠GCM=.
∵AB为⊙O的直径,∴∠AGB=90°
,∴∠AGB=∠CMG=90°
∵AB=AC=CG,∴△AGB≌△CMG,∴BG=GM=AG.
在Rt△AGB中,.
∵∠AMC=∠AGB=90°
,∴BG∥CM,∴∠BGC=∠MCG=.
设BF=KF=a,,∴GF=2a,,AF=4a.
∵OK=1,∴OF=a+1,AK=2OF=2(a+1),∴AF=AK+KF=a+2(a+1)=3a+2,∴3a+2=4a,∴a=2,AK=6,∴AF=4a=8,AB=AC=CG=10,GF=2a=4,FC=CG-GF=6.
∵tanα=tan∠HAK=,设KH=m,则AH=2m,∴AK==6,解得:
m=,∴AH=2m=.在Rt△BFC中,.∵∠BAD+∠ABD=90°
,∠FBC+∠BCF=90°
,∴∠BCF=∠BAD,,∴tan∠GAD==,∴∠GAD=45°
,∴HL=AH,AL=AH=.
6.四边形ABCD内接于⊙O,点E为AD上一点,连接AC