中考数学 圆的综合 培优 易错 难题练习含答案含详细答案Word文档下载推荐.docx

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（3）①设AB=5k、AC=3k，由BC2-AC2=AB•AC知BC=2k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=BC=k求得DM==k，可知OM=OD-DM=3-k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=3-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（3-d）2+9-d2，由

（2）得AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．

详解：

（1）∵四边形EBDC为菱形，

∴∠D=∠BEC，

∵四边形ABDC是圆的内接四边形，

∴∠A+∠D=180°

，

又∠BEC+∠AEC=180°

∴∠A=∠AEC，

∴AC=CE；

（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，

由

（1）知AC=CE=CD，

∴CF=CG=AC，

∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，

∴∠G+∠AEF=180°

又∵∠AEF+∠BEF=180°

∴∠G=∠BEF，

∵∠EBF=∠GBA，

∴△BEF∽△BGA，

∴，即BF•BG=BE•AB，

∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，

∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；

（3）设AB=5k、AC=3k，

∵BC2﹣AC2=AB•AC，

∴BC=2k，

连接ED交BC于点M，

∵四边形BDCE是菱形，

∴DE垂直平分BC，

则点E、O、M、D共线，

在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=BC=k，

∴DM=，

∴OM=OD﹣DM=3﹣k，

在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（3﹣k）2+（k）2=32，

解得：

k=或k=0（舍），

∴BC=2k=4；

②设OM=d，则MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，

∴BC2=（2MC）2=36﹣4d2，

AC2=DC2=DM2+CM2=（3﹣d）2+9﹣d2，

由

（2）得AB•AC=BC2﹣AC2

=﹣4d2+6d+18

=﹣4（d﹣）2+，

∴当d=，即OM=时，AB•AC最大，最大值为，

∴DC2=，

∴AC=DC=，

∴AB=，此时．

点睛：

本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．

2．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，过点E的切线与AB的延长线交于点D，连接BE，过点O作BE的平行线，交⊙O于点F，交切线于点C，连接AC

AC是⊙O的切线；

（2）连接EF，当∠D=　　°

时，四边形FOBE是菱形．

（1）见解析；

（2）30.

【分析】

（1）由等角的转换证明出，根据圆的位置关系证得AC是⊙O的切线.

（2）根据四边形FOBE是菱形，得到OF=OB=BF=EF，得证为等边三角形，而得出，根据三角形内角和即可求出答案.

【详解】

（1）证明：

∵CD与⊙O相切于点E，

∴，

又∵，

∴，∠OBE=∠COA

∵OE=OB，

又∵OC=OC，OA=OE，

又∵AB为⊙O的直径，

∴AC为⊙O的切线；

（2）解：

∵四边形FOBE是菱形，

∴OF=OB=BF=EF，

∴OE=OB=BE，

∴为等边三角形，

而，

∴．

故答案为30．

【点睛】

本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.

3．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．

（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；

AG2=AF·

AB；

（3）若⊙O的直径为10，AC=2，AB=4，求△AFG的面积.

（1）PA与⊙O相切，理由见解析；

（3）3.

试题分析：

（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°

，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．

（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.

（3）连接BD，由AG2=AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．

试题解析：

解：

（1）PA与⊙O相切．理由如下：

如答图1，连接CD，

∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°

.

∴∠D+∠CAD=90°

∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D.

∴∠PAC+∠CAD=90°

，即DA⊥PA.

∵点A在圆上，

∴PA与⊙O相切．

（2）证明：

如答图2，连接BG，

∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴.∴∠AGF=∠ABG.

∵∠GAF=∠BAG，∴△AGF∽△ABG.

∴AG：

AB=AF：

AG.∴AG2=AF•AB.

（3）如答图3，连接BD，

∵AD是直径，∴∠ABD=90°

∵AG2=AF•AB，AG=AC=2，AB=4，∴AF=.

∵CG⊥AD，∴∠AEF=∠ABD=90°

∵∠EAF=∠BAD，∴△AEF∽△ABD.∴，即，解得：

AE=2.

∴.

∵，∴.

考点：

1.圆周角定理；

2.直角三角形两锐角的关系；

3.相切的判定；

4.垂径定理；

5.相似三角形的判定和性质；

6.勾股定理；

7.三角形的面积.

4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，

交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．

DA是⊙O切线；

△CED∽△ACD；

（3）若OA=1，sinD=，求AE的长．

（2）

（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；

（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；

（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．

（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°

，∴∠CAB+∠B=90°

．

∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°

，∴AD⊥AB．

∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；

（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．

∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．

∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．

∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；

（3）在Rt△AOD中，OA=1，sinD=，∴OD==3，∴CD=OD﹣OC=2．

∵AD==2．

又∵△CED∽△ACD，∴，∴DE==，

∴AE=AD﹣DE=2﹣=．

本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．

5．已知：

AB是⊙0直径,C是⊙0外一点,连接BC交⊙0于点D，BD=CD,连接AD、AC．

（1）如图1,求证:

∠BAD=∠CAD

（2）如图2,过点C作CF⊥AB于点F,交⊙0于点E,延长CF交⊙0于点G.过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K,求证AK=2OF；

（3）如图3,在

（2）的条件下,EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL的长.

图1图2图3

（1）见解析

（2）见解析（3）

（1）由直径所对的圆周角等于90°

，得到∠ADB=90°

，再证明△ABD≌△ACD即可得到结论；

（2）连接BE．由同弧所对的圆周角相等，得到∠GAB=∠BEG．再证△KFE≌△BFE，得到BF=KF=BK．由OF=OB-BF，AK=AB-BK，即可得到结论．

（3）连接CO并延长交AG于点M，连接BG．设∠GAB=．先证CM垂直平分AG，得到AM=GM，∠AGC+∠GCM=90°

．再证∠GAF=∠GCM=．通过证明△AGB≌△CMG，得到BG=GM=AG．再证明∠BGC=∠MCG=．设BF=KF=a，GF=2a，AF=4a．

由OK=1，得到OF=a+1，AK=2（a+1），AF=3a+2，得到3a+2=4a，解出a的值，得到AF，AB，GF，FC的值．由tanα=tan∠HAK=，AK=6，可以求出AH的长．再由，利用公式tan∠GAD=，得到∠GAD=45°

，则AL=AH，即可得到结论．

（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°

，∴∠ADC=90°

∵BD=CD，∠BDA=∠CDA，AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD．

（2）连接BE．∵BG=BG，∴∠GAB=∠BEG．

∵CF⊥AB，∴∠KFE=90°

∵EH⊥AG，∴∠AHE=∠KFE=90°

，∠AKH=∠EKF，∴∠HAK=∠KEF=∠BEF．

∵FE=FE，∠KFE=∠BFE=90°

，∴△KFE≌△BFE，∴BF=KF=BK．

∵OF=OB-BF，AK=AB-BK，∴AK=2OF．

（3）连接CO并延长交AG于点M，连接BG．设∠GAB=．

∵AC=CG，∴点C在AG的垂直平分线上．∵OA=OG，∴点O在AG的垂直平分线上，

∴CM垂直平分AG，∴AM=GM，∠AGC+∠GCM=90°

∵AF⊥CG，∴∠AGC+∠GAF=90°

，∴∠GAF=∠GCM=．

∵AB为⊙O的直径，∴∠AGB=90°

，∴∠AGB=∠CMG=90°

∵AB=AC=CG，∴△AGB≌△CMG，∴BG=GM=AG．

在Rt△AGB中，．

∵∠AMC=∠AGB=90°

，∴BG∥CM，∴∠BGC=∠MCG=．

设BF=KF=a，，∴GF=2a，，AF=4a．

∵OK=1，∴OF=a+1，AK=2OF=2（a+1），∴AF=AK+KF=a+2（a+1）=3a+2，∴3a+2=4a，∴a=2，AK=6，∴AF=4a=8，AB=AC=CG=10，GF=2a=4，FC=CG-GF=6．

∵tanα=tan∠HAK=，设KH=m，则AH=2m，∴AK==6，解得：

m=，∴AH=2m=．在Rt△BFC中，．∵∠BAD+∠ABD=90°

，∠FBC+∠BCF=90°

，∴∠BCF=∠BAD，，∴tan∠GAD==，∴∠GAD=45°

，∴HL=AH，AL=AH=．

6．四边形ABCD内接于⊙O，点E为AD上一点，连接AC