数学人教版八年级上册中考最值与对称Word下载.docx

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解法：

连接AB与动直线l的交点即为点P；

此时，P′A＋P′B≥PA＋PB＝AB。

过程：

求出直线AB的解析式y＝mx＋n，与直线l：

y＝kx＋b联立成方程组

，解方程组，方程组的解就是点P的坐标。

分类：

①当l⊥x轴时，P′与P的横坐标相等；

②当l⊥y轴时，P′与P的纵坐标相等；

③当l不与坐标轴垂直时，求出AB的解析式后与直线l的解析式联立成方程组，解这个方程组，方程组的解就是点P的坐标。

2．两定点，一动点，两段和最小：

同侧（思想方法：

转化思想，将同侧转化为异侧来做）

y＝kx＋b同侧，点P是直线l上任意一点，当PA＋PB最短时，求P的坐标。

作一个定点如点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与动直线l的交点即为点P；

此时，P′A＋P′B≥PA＋PB′＝AB′。

先求点B的对称点B′的坐标，再求直线AB′的解析式y＝mx＋n，与直线l：

①当l⊥x轴时，P′与P的横坐标相等，点B与点B′的纵坐标相等，点C是BB′的中点，可用中点坐标公式求B′的坐标，也可由BC＝B′C，用平移法求B′的坐标；

②当l⊥y轴时，P′与P的纵坐标相等，点B与点B′的横坐标相等，点C是BB′的中点，可用中点坐标公式求B′的坐标，也可由BC＝B′C，用平移法求B′的坐标；

③当l不与坐标轴垂直时，

第一步：

由于BB′⊥l于点C，可得直线BB′的斜率m与直线l的斜率k互为负倒数，得m＝－

，得直线BB′：

y＝－

x＋n，再把已知点B的坐标代入得到n，从而得出直线BB′的解析式y＝mx＋n；

第二步：

把y＝mx＋n与直线l：

，解方程组，方程组的解就是点C的坐标；

第三步：

用中点公式

或平移法（B到C的平移规则与C到B′的平移规则一样）得到B′的坐标；

第四步：

连接AB′，求出直线AB′的解析式y＝px＋q；

第五步：

将直线AB′和直线l联立成方程组

，解这个方程组，解为点P的坐标。

3．两定点，两动点，两段和最小：

转化思想，转化为一个动点来做）

y＝kx＋b两侧，点P、Q是直线l上任意两点，PQ＝a，当PA＋QB最短时，求P的坐标。

将一个定点如点B沿QP方向平移a个单位得到点B′，连接AB′与动直线l的交点即为点P；

此时，PA＋QB＝PA＋PB′≥AB′。

由平移求出点B的对应点B′的坐标，再求直线AB′的解析式y＝mx＋n，与直线l：

①当l⊥x轴时，点P与点Q及点B与点B′的横坐标相等，点B′的纵坐标等于点B的纵坐标加或减a，从而得到点B′的坐标，再求出直线AB′的解析式与直线l的交点即为点P。

②当l⊥y轴时，点P与点Q及点B与点B′的纵坐标相等，点B′的横坐标等于点B的横坐标加或减a，从而得到点B′的坐标，再求出直线AB′的解析式与直线l的交点即为点P。

过点P作PS⊥x轴于S，过点Q作QR⊥PS于R，由直线l的｜k｜＝PR：

QR，用勾股定理得出PR与QR之间的比例关系，由平移知点B与点B′的坐标之间的关系同点P与点Q的坐标之间关系一致，从而得出点B′的坐标。

求出直线AB′的解析式y＝mx＋n，再与直线l：

，解方程组，方程组的解就是点P的坐标；

应用：

（1）如图，F、G两个村庄分别位于河流的两岸，现要在河上修一座桥MN，桥修在何处时，F、G两村之间的路程最短？

这个题目与类型①相同，将F村向河流方向平移河的宽度得到点F′，连接F′G，与G岸相交于点M，过M作MN垂直河岸，交另一岸于点N，连接FN，则MN就是就是修桥的位置。

　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2

（2）如图，直线l⊥x轴于点C，从点A出发先到达直线l上的任意一点M，再沿过M垂直于l的直线运动到达y轴上的点N，最后从N出发到达点B，当点M在何处时，所走过的路程最短？

这个题目与类型①相同，过点A作AD⊥y轴于点D，将A点沿AD方向平移OC个单位长度得到点A′，连接A′B，交y轴于点N，过N作NM⊥l于点M，连接AM，则折线A→M→N→B是最短路径。

4．两定点，两动点，两段和最小：

转化思想，转化为一个动点、异侧来做）

y＝kx＋b同侧，点P、Q是直线l上任意两点，PQ＝a，当PA＋QB最短时，求P的坐标。

作一个定点如点B的关于直线l的对称点B′，再把点B′沿QP方向平移a个单位得到点B″，连接AB″与动直线l的交点即为点P；

此时，PA＋QB＝PA＋PB″≥AB″。

由轴对称求了点B′的坐标，再由平移求出点B′的对应点B″的坐标，然后求直线AB″的解析式y＝mx＋n，与直线l：

①当l⊥x轴时，点P与点Q及点B″与点B′的横坐标相等，点B与点B′的纵坐标相等，点B″的纵坐标等于点B′的纵坐标加或减a，从而得到点B″的坐标，再求出直线AB″的解析式与直线l的交点即为点P。

②当l⊥y轴时，点P与点Q及点B″与点B′的纵坐标相等，点B与点B′的横坐标相等，点B″的横坐标等于点B′的横坐标加或减a，从而得到点B″的坐标，再求出直线AB″的解析式与直线l的交点即为点P。

QR，用勾股定理得出PR与QR之间的比例关系，由平移知点B′与点B″的坐标之间的关系同点P与点Q的坐标之间关系一致，从而得出点B″的坐标。

连接AB″，求出直线AB″的解析式y＝px＋q；

第六步：

将直线AB″和直线l联立成方程组

二、线段差最大问题：

5．两定点，一动点，两段差最大：

转化思想，转化到同一个三角形中来做）

y＝kx＋b同侧，点P是直线l：

y＝kx＋b上任意一点，当｜PA－QB｜最大时，求P的坐标。

三角形任意两边之差小于第三边。

作直线AB，与直线l的交点即为点P。

此时｜PA－PB｜≤AB。

当A、B、P三点共线时取等号，最大值为AB。

作直线AB，由A、B的坐标求出直线AB的解析式y＝mx＋n，与直线l：

①当AB∥l时，直线AB与直线l无交点，此时｜PA－PB｜无最大值。

②当AB与l不平行时，由A、B的坐标求出直线AB的解析式y＝mx＋n，与直线l：

6．两定点，一动点，两段差最大：

转化思想，转化到同侧来做）

y＝kx＋b两侧，点P是直线l：

作两定点中任意一点如点B关于直线l：

y＝kx＋b的对称点B′，作直线AB′，与直线l的交点即为点P。

此时｜PA－PB｜＝｜PA－PB′｜≤AB′。

当A、B′、P三点共线时取等号，最大值为AB′。

y＝kx＋b的对称点B′，作直线AB′，由A、B′的坐标求出直线AB′的解析式y＝mx＋n，与直线l：

①当AB′∥l时，直线AB′与直线l无交点，此时｜PA－PB｜无最大值。

②当AB′与l不平行时，

7．两定点，两动点，两段差最大：

y＝kx＋b同侧，点P、Q是直线l：

y＝kx＋b上任意两点，PQ＝a，当｜PA－QB｜最大时，求P的坐标。

将点A沿PQ方向平移a个单位长度得到点A′，作直线A′B，与直线l的交点即为点P。

此时｜PA－QB｜＝｜QA′－QB｜≤A′B。

当A′、B、P三点共线时取等号，最大值为A′B。

先求出点P与点Q坐标之间的变化规律，按这个规律求出点A平移后的对应点A′，

作直线A′B，由点A′、B的坐标求出直线A′B的解析式y＝mx＋n，

与直线l：

，

解方程组，方程组的解就是点Q的坐标，再平移得点P的坐标。

①当AB∥l时，直线AB与直线l无交点，此时｜PA－QB｜无最大值。

②当AB与l不平行时：

QR，

用勾股定理得出PR与QR之间的比例关系，

由平移知点A与点A′的坐标之间的关系同点P与点Q的坐标之间关系一致，

从而得出点A′的坐标。

由点A′、B的坐标求出直线A′B的解析式y＝mx＋n，

8．两定点，两动点，两段差最大：

转化思想，转化为一个动点、同侧来做）

y＝kx＋b两侧，点P、Q是直线l：

y＝kx＋b的对称点B′，将点B′按点P、Q坐标之间的关系平移到点B″，作直线AB″，与直线l的交点即为点P。

此时｜PA－QB｜＝｜PA－QB″