教案中考数学压轴题.doc
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中考数学压轴题
1.在△ABC中,分别以AB、AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2,其中O1和O2分别为两个半圆的圆心.F是边BC的中点,点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.
(1)如图1,连接O1F,O1D,DF,O2F,O2E,EF,证明:
△DO1F≌△FO2E;
(2)如图2,过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线,交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q,连接PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求线段PQ的长;
(3)如图3,过点A作半圆O2的切线,交CE的延长线于点Q,过点Q作直线FA的垂线,交BD的延长线于点P,连接PA.求证:
PA是半圆O1的切线.
A
O1
C
B
O2
E
D
F
P
Q
图2
A
O1
C
B
O2
E
D
F
图1
图3
A
O1
C
B
O2
E
D
F
P
Q
(1)证明:
∵O1,O2,F分别是AB,AC,BC边的中点
A
O1
C
B
O2
E
D
F
∴O1F∥AC且O1F=AO2,O2F∥AB且O2F=AO1
∴∠BO1F=∠BAC,∠CO2F=∠BAC
∴∠BO1F=∠CO2F
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点
∴O1F=AO2=O2E,O2F=AO1=O1D,∠BO1D=90°,∠CO2E=90°
∴∠BO1D=∠∠CO2E,∴∠DO1F=∠FO2E
∴△DO1F≌△FO2E
A
O1
C
B
O2
E
D
F
P
Q
G
(2)解:
延长CA至G,使AG=AQ,连接BG、AE
∵点E是半圆O2圆弧的中点,∴AE=CE=3
∵AC为半圆O2的直径,∴∠AEC=90°
∴∠ACE=∠CAE=45°,AC=3
∵AQ是半圆O2的切线,∴CA⊥AQ,∴∠CAQ=90°
∴∠AQE=∠ACE=45°,∠GAQ=90°,∴AQ=AC=AG=3
同理:
∠BAP=90°,AB=AP=5
∴CG=6,∠GAB=∠QAP
∴△AQP≌△AGB,∴PQ=BG
∵∠ACB=90°,∴BC==4
∴BG==2,∴PQ=2
(3)设直线FA与PQ的垂足为M,过C作CG⊥MF于G,过B作BH⊥MF于H,连接DH、AD、DM
∵F是BC边的中点,∴S△ABF=S△ACF,∴BH=CG
由
(2)知,∠CAQ=90°,AC=AQ,∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ,∴∠2+∠1=90°,∴∠1=∠3
同理:
∠2=∠4
A
O1
C
B
O2
E
D
F
P
Q
M
G
H
∴△AMQ≌△CGA,∴AM=CG,∴AM=BH
同
(2)可证AD=BD,∠ADB=∠ADP=90°
∴∠ADB=∠AHB=90°,∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、H四点在以AB为直径的圆上
A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上
且∠DBH+∠DAH=180°
∴∠5=∠8,∠6=∠7
∵∠DAM+∠DAH=180°,∴∠DBH=∠DAM
∴△DBH≌△DAM,∴∠5=∠9
∴∠HDM=90°,∴∠5+∠7=90°
∴∠6+∠8=90°,∴∠PAB=90°,∴PA⊥AB
又AB是半圆O1的直径,∴PA是半圆O1的切线
2.如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是上的一个动点(不与点A、B重合),OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长;
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?
如果存在,请指出并求其长度;如果不存在,请说明理由;
(3)设BD=x,△DOE的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域.
A
E
C
D
O
B
解:
(1)∵OD⊥BC,∴BD=BC=
在Rt△BOD中,OD==
A
E
C
D
O
B
(2)存在,长度保持不变的边为DE。
连接AB
∵OA=OB=2,∠AOB=90°,∴AB==2
∵OD⊥BC,OE⊥AC,∴D是BC中点,E是AC中点
∴DE=AB=
(3)连接OC,过D作DF⊥OE于F
∵OD=2,BD=x,∴OD=
∵OA=OB=OC,OD⊥BC,OE⊥AC,A
E
C
D
O
B
F
∴∠1=∠2,∠3=∠4
∵∠AOB=90°,∴∠DOE=45°
在Rt△DOF中,DF=OF=
在Rt△DFE中,EF===x
∴y=OE·DF=(+x)·
即y=(0<x<)
3.B
A
C
N
P
M
如图,已知在△ABC中,AB=15,AC=20,cotA=2,P是边AB上的一个动点,⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时,⊙P恰好与边AC相切;当点P与点B不重合,且⊙P与边AC相交于点M和点N时,设AP=x,MN=y.
(1)求⊙P的半径;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;
(3)当AP=6时,试比较∠CPN与∠A的大小,并说明理由.
解:
(1)过B作BD⊥AC于D
∵⊙P与边AC相切,∴BD是⊙P的半径B
A
C
N
P
M
D
H
,∵cotA=2,∴sinA=
又∵sinA=,AB=15,∴BD=3
(2)过P作PH⊥MN于H
则PH=x,PM=BD=3
∴MH==
∴y=2MH=2,即y=(3≤x<15)
(3)当AP=6时,∠CPN=∠A
理由如下:
当AP=6时,PH=6,MH=3,AH=12,∴AM=9
∵AC=20,MN=6,∴CN=5
∵==,=,∴=
又∵PM=PN,∴∠PMN=∠PNM
∴∠AMP=∠PNC,∴△AMP∽△PNC∴∠CPN=∠A
4.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,∠B=60°,AB=10,AD=4,⊙M与∠BAD的两边相切,点N在射线AB上,⊙N与⊙M是等圆,且两圆外切.
(1)设AN=x,⊙M的半径为y,求y关于x的函数关系式;
(2)当x为何值时,⊙M与CD相切?
(3)直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等?
如果能,求出符合要求的x的值;如果不能,请说明理由.
A
M
C
B
D
N
解:
(1)连接AM、MN,设⊙M与AB相切于点E,连接ME
A
M
C
B
D
N
E
∵⊙N与⊙M是等圆,且两圆外切
∴在Rt△MNE中,MN=2ME,∴∠ANM=30°
∵AD∥BC,∠B=60°,∴∠BAD=120°
∵⊙M与∠BAD的两边相切
∴∠NAM=60°,∴∠AMN=90°
∴在Rt△AMN中AM=AN=x
∴ME=AM·sin60°=x即y=x(x>0)
A
M
C
B
D
N
G
F
(2)设⊙M分别与AD、CD相切于点F、G,连接MA、MF、MG
则MF=FD=MG=y
且AF=MF·cot60°=y=·x=x
∵AD=4,AF+FD=AD,∴x+x=4
∴x=8(-1)
(3)作NH⊥BC于点H
若直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等,则弦心距MG=NH
A
M
C
B
D
N
H
F
G
①当点N在线段AB上时
∵AB=10,∴BN=10-x
∴FD=MG=NH=BN·sin60°=(10-x)
A
M
C
B
D
N
H
F
G
∵AF=x,AF+FD=AD,∴x+(10-x)=4
∴x=
②当点N在AB延长线上时
则FD=MG=NH=BN·sin60°=(x-10)
x+(x-10)=4
∴x=
∴当x=或x=时,直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长相等。
5.已知:
半圆O的半径OA=4,P是OA延长线上一点,过线段OP的中点B作OP的垂线交半圆O于点C,射线PC交半圆O于点D,连接OD.
(1)当=时,求弦CD的长;
(2)设PA=x,CD=y,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(3)设CD的中点为E,射线BE与射线OD交于点F,当DF=1时,求tan∠P的值.
B
A
O
P
C
D
A
O
备用图
A
O
备用图
解:
(1)连接OCB
A
O
P
C
D
E
,当=时,∠POC=∠DOC
∵BC垂直平分OP,∴PC=OC=4
∴∠P=∠POC=∠DOC
∴△DOC∽△DPO,∴=
即=,解得CD=2-2
(2)作OE⊥CD于E,则CE=DE=y
①当点C在上时
∵∠PBC=∠PEO=90°,∠P=∠P
∴△PBC∽△PEO,∴=,即=,∴y=x2+2x-4
显然,B不与A重合,∴x<4
当D与C重合时,PC是半圆O的切线
∴PC⊥OC,∠PCO=90°,此时△PCO是等腰直角三角形
∴OP=OC,即x+4=4,x=4-4
∵D不与C重合,∴x>4-4
∴4-4<x<4∴y=x2+2x-4(4-4<x<4)
②当点C在外时,
B
A
O
P
C
D
E
同理,△PBC∽△PEO,∴=
即=,∴y=-x2-2x+4(0<x<4-4)
(3)①当点C在上时,过D作DG∥OP交BF于G
则△DEG∽△PEB,△DEF∽△OBF
B
A
O
P
C
D
E
F
G
∴====
∴=,即=,解得=1
∴CE=1,PE=5,OE==,∴tan∠P==
②当点C在外时,过D作DG∥OP交BE于G
B
A
O
P
C
D
E
F
G
则△DEG∽△PEB,△DFG∽△BFO
∴====
∴=,即=,解得=1
∴CE=1,PE=3,OE==,∴tan∠P==
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,sinB=,⊙B的半径长为1,⊙B交边BC于点P,点O是边AB上的动点.
(1)如图1,将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M,请判断⊙M与直线AB的位置关系;
(2)在
(1)的条件下,当△OMP是等腰三角形时,求OA的长;
(3)如图2,点N是边BC上的动点,如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切,设NB=y,OA=x,求y关于x的函数关系式及定义域.
A
B
C
N
图2
O
A
B
C
P
图1
A
B
C
P
M
D
解:
(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,sinB=
∴AB=10,BC===8
过点M作MD⊥AB于D
在Rt△MDB中,∠MDB=90°,∴sinB==
∵MB=2,∴MD=×2=>1,∴⊙M与直线AB相离
A
B
C
P
M
O
(2)∵MD=>1=MP,∴OM>MP
若OP=MP,易得∠MOB=90°
∴cosB===,∴OB=
∴OA=10-=
A
B
C
P
M
O
E
若OM=OP,过O作OE⊥BC于E
∴cosB===,∴OB=
∴OA=10-=
∴当△