高中绝对值不等式 精华版 适合高三复习用可直接打印Word下载.docx

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}

（2）原不等式等价于－3<

－2－6<

即

2<

<

6

所以原不等式的解集是{|2<

6}

1．解不等式

（1）｜x-x2-2｜>

x2-3x-4；

（2）≤1

（1）分析一可按解不等式的方法来解.

原不等式等价于：

x-x2-2>

x2-3x-4①

或x-x2-2<

-（x2-3x-4）②

解①得：

1-<

x<

1+

解②得：

x>

-3

故原不等式解集为｛x｜x>

-3｝

分析二∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜

而x2-x+2＝（x-）2+>

所以｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.

故原不等式等价于x2-x+2>

x2-3x-4

解得：

∴原不等式解集为｛x>

（2）分析不等式可转化为-1≤≤1求解，但过程较繁，由于不等式≤1两边均为正，所以可平方后求解.

原不等式等价于≤1

9x2≤（x2-4）2（x≠±

2）

x4-17x2+16≥0

x2≤1或x2≥16

-1≤x≤1或x≥4或x≤-4

注意：

在解绝对值不等式时，若｜f（x）｜中的f（x）的值的范围可确定（包括恒正或恒非负，恒负或恒非正），就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.

第2变含两个绝对值的不等式

［变题2］解不等式

（1）|－1|<

|+|；

（2）｜x-2｜+｜x+3｜>

5.

［思路］

（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f（x）｜〈｜g（x）｜f2（x）〈g2（x）两边平方去掉绝对值符号。

（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。

［解题］

（1）由于|－1|≥0，|+|≥0，所以两边平方后有：

|－1|<

|+|

即有－2+1<

+2+，整理得（2+2）>

1－

当2+2>

0即>

－1时，不等式的解为>

（1－）；

当2+2=0即=－1时，不等式无解；

当2+2<

0即<

－1时，不等式的解为<

（2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>

当x≤-3时，原不等式化为（2-x）-（x+3）>

5-2x>

6x<

-3.

当-3<

2时，原不等式为（2-x）+（x+3）>

55>

5无解.

当x≥2时，原不等式为（x-2）+（x+3）>

52x>

4x>

2.

综合得：

原不等式解集为｛x｜x>

2或x<

-3｝.

［请你试试4—2］

1解关于的不等式（>

0且≠1）

解析：

易知－1<

1，换成常用对数得：

∴

于是

∵－1<

1

∴0<

1－<

∴（1－）<

∴<

解得0<

2．不等式|x+3|-|2x-1|<

+1的解集为。

|x+3|-|2x-1|=

∴当时∴x>

2

当-3<

时4x+2<

+1∴

当时∴

综上或x>

故填。

3．求不等式的解集.

因为对数必须有意义，即解不等式组

，解得

又原不等式可化为

（1）当时，不等式化为即

∴∴综合前提得：

。

（2）当1<

x≤2时，即.

∴。

（1）当时，

（2）∴∴，结合前提得：

综合得原不等式的解集为

第3变解含参绝对值不等式

［变题3］解关于x的不等式

［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。

若化简成，则解题过程更简单。

在解题过程中需根据绝对值定义对的正负进行讨论。

［解题］原不等式等价于

当即时，

当即时，∴x≠-6

当即时，x∈R

［请你试试4—3］

1．解关于的不等式：

分析：

本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。

本题的关键不是对参数进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。

当

2．关于的不等式|－1|≤5的解集为{|－3≤≤2}，求的值。

按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于值的不确定，要以的不同取值分类处理。

原不等式可化为－4≤≤6

当>

0时，进一步化为，依题意有，此时无解。

当=0时，显然不满足题意。

当<

0时，，依题意有

综上，=－2。

第4变含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题

［变题4］若不等式|－4|+|3－|<

的解集为空集，求的取值范围。

［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。

若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|+|≤||+||，便把问题简化。

［解题］解法一

（1）当≤0时，不等式的解集是空集。

（2）当>

0时，先求不等式|－4|+|3－|<

有解时的取值范围。

令－4=0得=4，令3－=0得=3

1当≥4时，原不等式化为－4+－3<

，即2－7<

解不等式组，∴>

2当3<

4时，原不等式化为4－+－3<

得>

3当≤3时，原不等式化为4－+3－<

即7－2<

解不等式，∴>

综合①②③可知，当>

1时，原不等式有解，从而当0<

≤1时，原不等式解集为空集。

由

（1）

（2）知所求取值范围是≤1

解法二由|－4|+|3－|的最小值为1得当>

1时，|－4|+|3－|<

有解

从而当≤1时，原不等式解集为空集。

解法三：

∵>

|－4|+|3－|≥|－4+3－|=1

∴当>

［请你试试4—4］

1．对任意实数，若不等式|+1|－|－2|>

恒成立，求的取值范围。

思维点拨：

要使|+1|－|－2|>

对任意实数恒成立，只要|+1|－|－2|的最小值大于。

因|+1|的几何意义为数轴上点到－1的距离，|－2|的几何意义为数轴上点到2的距离，|+1|－|－2|的几何意义为数轴上点到－1与2的距离的差，其最小值可求。

此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察的取值范围。

解法一根据绝对值的几何意义，设数，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|－|PB|>

成立

∵|AB|=3，即|+1|－|－2|≥－3

故当<

－3时，原不等式恒成立

解法二令=|+1|－|－2|，则

恒成立，从图象中可以看出，只要<

－3即可。

故<

－3满足题意。

2．对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|>

a恒成立，求实数a的取值范围。

经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。

由绝对值不等式：

|x+1|+|x-2||（x+1）-（x-2）|=3，当且仅当（x+1）（x-2）0,即

时取等号。

故a<

说明：

转化思想在解中有很重要的作用，比如：

恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题。

（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：

要使……，只要……）

3．已知a>

0,不等式|x-4|+|x-3|<

a在实数集R上的解集不是空集，求a的取值范围

分析

（一）|x-4|+|x-3||x-4—（x-3）|=1

当|x-4|+|x-3|<

a在实数R上非空时，a须大于|x-4|+|x-3|的最小值，即a>

（二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：

y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|

|PA|+|PB|1恒有y1

数按题意只须a>

1ABP

034x

（四）考虑|z-4|+|z-3|<

a（zc）的几何意义

（五）可利用零点分段法讨论.

以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>

1.

变题：

1、若不等式|x-4|+|x-3|>

a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围

2、若不等式|x-4|-|x-3|<

a的解集在R上不是空集，求a的取值范围

3、若不等式|x-4|-|x-3|>

a在R上恒成立，求a的取值范围

第5变绝对值三角不等式问题

［变题5］已知函数，当时，求证：

；

，则当时，求证：

［思路］本题中所给条件并不足以确定参数，的值，但应该注意到：

所要求的结论不是的确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用、、来表示,。

因为由已知条件得，，。

［解题］证明：

（1）由，从而有

（2）由

从而

将以上三式代入，并整理得

［请你试试4—5］

1．已知函数f（x）=，a,bR，且，求证|f（a）-f（b）|<

|a-b|。

要证，考察左边，是否能产生|a-b|。

证明：

|f（a）-f（b）|=

（其中，同理∴）

高中不等式习题精选精解

一、求取值范围

2、已知，且，求的取值范围。

由已知条件，显然

综上所述的取值范围是

3、正数满足，求的最小值。

（为正数）

5、已知函数满足，，求的取值范围。

由习已知得：

设：

所以的取值范围是

8、若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。

解一：

设，，原题转换为求方程在上有解。

共有两种情况，一种是有两个根，一种是只

有一个根（如图所示），由二次函数的图像和

性质，得方程在上

有实数解的充要条件为：

注：

两组不等式分别对应两个图

解得

解二：

由方程得

函数的值域就是的取值范围。

二、解不等式

1、

不等式与或同解，也可以这样理解：

符号“”是由符号“>

”“=”合成的，故不等式可转化为或。

解得：

原不等式的解集为

2、.

+

，用根轴法（零点分段法）画图如下：

原不等式的解集为。

3、

原式等价于

，即注：

此为关键

原不等式等价于不等式组解得：

4、

当时，原不等式化为，得；

当时，原不等式化为，得；

当时，原不等式化为，得

综合上面各式，得原不等式的解集为：

5、关于的不等式的解集为，求的解集。

由题意得：

，且

则不等式与不等式组同解

得所求解集为

6、已知且，关于的不等式的解集是，解关于的不等式的解集。

关于的不等式的解集是，