13 导数法巧解单调性问题高考高三数学一轮复习.docx
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13导数法巧解单调性问题高考高三数学一轮复习
考纲要求:
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数不超过三次）．
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数不超过三次）.
基础知识回顾:
用导数研究函数的单调性
（1）用导数证明函数的单调性
证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内
（
）0
（2）用导数求函数的单调区间
求函数的定义域
→求导
→解不等式
＞
0得解集
→求
得函数的单调递增（减）区间。
一般地，函数
在某个区间可导，
＞0
在这个区间是增函数
一般地，函数
在某个区间可导，
＜0
在这个区间是减函数
（3）单调性的应用（已知函数单调性）
一般地，函数
在某个区间可导，
在这个区间是增（减）函数
≥
【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式
＞（＜）0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。
②已知函数的增（减）区间，应得到
≥（≤）0，必须要带上等号。
③求函数的单调增（减）区间，要解不等式
＞
0，此处不能带上等号。
④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“
”连接。
应用举例:
类型一、判断或证明函数的单调性
【例1】1．【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试】设函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）设
，当
时，
，求
的取值范围.
【答案】
（1）见解析
（2）
②当
时，
，所以
在
单调递增，
③当
时，
；
当
时，
；当
时，
；
∴
在
单调递增，在
单调递减；
（2）令
，有
，
令
，有
，
当
时，
单调递增．
∴
，即
．
当
，即
时，
在
单调递增，
，不等式
恒成立，
②当
时，
有一个解，设为
根，
∴有
单调递减；当
时，
单调递增，有
，∴当
时，
不恒成立；
综上所述，
的取值范围是
．
【例2】【2018年高考考前猜题卷之专家猜题卷】已知曲线
的一条切线过点
.
（Ⅰ）求
的取值范围；
（Ⅱ）若
，
.
①讨论函数
的单调性；
②当
时，求证：
.
【答案】
（1）
;
（2）①见解析.②见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出
，设切点为
，则切线方程为
，由切线过点
，可得
，利用导数可得
的最大值，从而可得结果；
（2）①求出
，分四种情况讨论
的范围，在定义域内，分别令
求得
的范围，可得函数
增区间，
求得
的范围，可得函数
的减区间；②要证明
，只需证明
，而
，所以
成立.
（2）当
时，
，∵
，
∴
，
.
①（i）当
时，
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数；
（ii）当
时，
在区间
上是减函数，在区间
，
上是增函数；
（iii）当
时，
在区间
上是增函数；
（iv）当
时，
在区间
上是减函数，在区间
，
上是增函数.
②证明：
当
时，
，要证明
，只需证明
，
而
，所以
成立.
【点睛】
本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性，属于难题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
（1）已知切点
求斜率
即求该点处的导数
；
（2）己知斜率
求切点
即解方程
；（3）巳知切线过某点
（不是切点）求切点,设出切点
利用
求解.
类型二、求函数的单调区间
【例3】【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试】设函数
，其中
N
，
≥2，且
R．
（1）当
，
时，求函数
的单调区间；
（2）当
时，令
，若函数
有两个极值点
，
，且
，求
的取值范围；
（3）当
时，试求函数
的零点个数，并证明你的结论．
【答案】
（1）见解析；
（2）
；（3）见解析
【详解】
（1）依题意得，
，
，
∴
．
令
，得
；令
，得
．
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（2）由题意知：
．
则
，
令
，得
，
故方程
有两个不相等的正数根
，
（
），
则
解得
．
由方程得
，且
．
由
，得
．
，
．
，即函数
是
上的增函数，
所以
，故
的取值范围是
．
∵
，∴
，
又∵
，
∴
，
根据零点存在性定理知函数
在
和
各有一个零点．
【点睛】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及零点存在性定理，是一道中档题.
【例4】【山东省临沂市沂水县第一中学2018届高三第三轮考试】已知函数
.
（1）若函数
在点
处切线的斜率为4，求实数
的值；
（2）求函数
的单调区间；
（3）若函数
在
上是减函数，求实数
的取值范围.
【答案】
（1）6；
（2）单调递减区间是
，单调递增区间是
；（3）
【详解】
（1）
，而
，即
，解得
.
（2）函数
的定义域为
.
①当
时，
，
的单调递增区间为
；
②当
时，
.
当
变化时，
的变化情况如下:
由此可知，函数
的单调递减区间是
，单调递增区间是
.
（3）
，于是
.
因为函数
在
上是减函数，所以
在
上恒成立，
即
在
上恒成立.
又因为函数
的定义域为
，所以有
在[
上恒成立.
于是有
，设
，则
，所以有
，
，
当
时，
有最大值
，于是要使
在
上恒成立，只需
，
即实数
的取值范围是
.
类型三、已知函数的单调性求参数的范围
【例5】【名校联盟2018年高考第二次适应与模拟】已知函数
.
（1）若函数
在定义域
内单调递增，求实数
的取值范围；
（2）对于任意的正实数
，且
，求证：
.
【答案】
（1）
;
（2）见解析.
【详解】
（1）依题意，导数
对于任意
恒成立，即不等式
对于任意
恒成立，即不等式
对于任意
恒成立;
又因为当
时
（当
时取等号），则
，故实数
的取值范围是
.
（2）由于目标不等式
中两个字母
与
可以轮换，则不妨设
.令
，则
.
欲证目标不等式
.（※）
根据
（1）的结论知，当
时
在
上递增.又因为
，则
，则不等式（※）正确，故原目标不等式得证.
【点睛】
本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、利用单调性证明不等式及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间
上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式
或
恒成立问题求参数范围.
【例6】【2017山西省长治二中等四校高三联考】已知函数f（x）＝alnx－ax－3（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f
（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g（x）＝x3＋x2·
在区间（t,3）上总不是单调函数，求m的取值范围．
【答案】a＝
；减区间为（－∞，－4）和（－1,0），增区间为（－4，－1）和（0，＋∞）．
方法、规律归纳:
1、利用导数求函数f（x）的单调区间的一般步骤：
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）求导数f′（x）；
（3）在函数f（x）的定义域内解不等式f′（x）>0和f′（x）<0；
（4）根据（3）的结果确定函数f（x）的单调区间．
2、求函数的单调区间的“两个”方法
方法一：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域；
（2）求导数y′＝f′（x）；
（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
方法二：
（1）确定函数y＝f（x）的定义域；
（2）求导数y′＝f′（x），令f′（x）＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；
（3）把函数f（x）的间断点（即f（x）的无定义点）的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间；
（4）确定f′（x）在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
实战演练:
1．【河北辛集中学2018届高三8月月考】已知函数f（x）=lnx+ln（2﹣x），则（ ）
A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减
C．y=f（x）的图象关于直线x=1对称D．y=f（x）的图象关于点（1，0）对称
【答案】C
【点睛】
（1）一般地，若
在区间
上可导，且
，则
在
上为单调增（减）函数；反之，若
在区间
上可导且为单调增（减）函数，则
．
（2）若
，则
的图像关于直线
对称；若
，则
的图像关于点
对称．
2．若函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
令
，
，
，
令
，解得
，令
，解得
，
在
递减，在
递增，
而
，故
，
实数
的取值范围为
，故选C.
【点睛】
本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题.利用单调性求参数的范围的常见方法：
①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间
上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;②利用导数转化为不等式
或
恒成立问题求参数范围
3．【河南省中原名校2018届高三高考预测金卷】函数
与
，这两个函数在区间
上都是减函数，则实数
（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
4．【安徽省六安市第一中学2018届高三下学期适应性考试】已知函数
，则
在
上不单调的一个充分不必要条件是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】分析：
求出函数的导数，问题转化为函数
与x轴在
有交点，通过分析整理，结合二次函数的性质判断即可.
解析：
，
若
在
上不单调，
令
，
则函数
与x轴在
有交点，
设其解为
，
则
，
因此方程的两解不可能都大于1，
其在
中只有一解，
其充要条件是
，
解得
或
，
因此选项C是满足要求的一个充分必要条件.
故选：
C.
点睛：
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质.
5．【浙江省台州中学2018届高三模拟考试】当
时，
，则下列大小关系正确的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
6．【福建省厦门市湖滨中学2018届高三下学期高考适应性考试】若函数
在区间
上不是单调函数，则实数
的取值范围是（）
A．
B．
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