13 导数法巧解单调性问题高考高三数学一轮复习.docx

1、13 导数法巧解单调性问题高考高三数学一轮复习 考纲要求:1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).基础知识回顾:用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域求导解不等式0得解集求,得函数的单调递增（减）区间。一般地，函数在某个区间可导，0在这个区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，0在这个区间是减函数（3）单调性的应用（已知

2、函数单调性）一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数【注】求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式（)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。已知函数的增（减）区间，应得到（）0，必须要带上等号。求函数的单调增（减）区间，要解不等式0，此处不能带上等号。单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“”连接。应用举例:类型一、判断或证明函数的单调性【例1】1【河南省郑州市第一中学2019届高三上学期入学摸底测试】设函数.（1）讨论的单调性；（2）设，当时，求的取值范围.【答案】(1)见

3、解析(2) 当时，所以在单调递增，当时，；当时，；当时，；在单调递增，在单调递减；（2）令，有，令，有，当时，单调递增，即当，即时，在单调递增，不等式恒成立，当时，有一个解，设为根，有单调递减；当时，单调递增，有，当时，不恒成立；综上所述，的取值范围是【例2】【2018年高考考前猜题卷之专家猜题卷】已知曲线的一条切线过点.（）求的取值范围；（）若，.讨论函数的单调性；当时，求证：.【答案】(1);(2)见解析.见解析.【解析】【分析】(1) 求出，设切点为，则切线方程为，由切线过点，可得，利用导数可得的最大值，从而可得结果；（2）求出，分四种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函

4、数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；要证明，只需证明，而，所以成立.（2）当时， .（i）当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数；（ii）当时，在区间上是减函数，在区间，上是增函数；（iii）当时，在区间上是增函数；（iv）当时，在区间上是减函数，在区间，上是增函数.证明：当时，要证明，只需证明，而，所以成立.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及利用导数研究函数的单调性，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 类

5、型二、求函数的单调区间【例3】【江苏省苏州市第五中学校2018届高三上学期期初考试】设函数，其中N，2，且R（1）当，时，求函数的单调区间；（2）当时，令，若函数有两个极值点，且，求的取值范围；（3）当时，试求函数的零点个数，并证明你的结论【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【详解】（1）依题意得， 令，得；令，得 则函数在上单调递减，在上单调递增 （2）由题意知：则， 令，得，故方程有两个不相等的正数根，（），则 解得 由方程得，且 由，得 ， ，即函数是上的增函数，所以，故的取值范围是 ， 又，根据零点存在性定理知函数在和各有一个零点【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数

6、的应用以及零点存在性定理，是一道中档题.【例4】【山东省临沂市沂水县第一中学2018届高三第三轮考试】已知函数.（1）若函数在点处切线的斜率为4，求实数的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.【答案】（1）6；（2）单调递减区间是，单调递增区间是；（3）【详解】（1），而，即，解得.（2）函数的定义域为.当时，的单调递增区间为；当时，.当变化时，的变化情况如下:由此可知，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（3），于是.因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立. 又因为函数的定义域为，所以有在上恒成立.于是有，设，则，所以有，当时，有最大值，于是要

7、使在上恒成立，只需，即实数的取值范围是.类型三、已知函数的单调性求参数的范围【例5】【名校联盟2018年高考第二次适应与模拟】已知函数.（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）对于任意的正实数，且，求证：.【答案】(1);(2)见解析.【详解】（1）依题意，导数 对于任意恒成立，即不等式对于任意恒成立，即不等式对于任意恒成立;又因为当时（当时取等号），则，故实数的取值范围是. (2)由于目标不等式中两个字母与可以轮换，则不妨设.令，则. 欲证目标不等式 . （）根据（1）的结论知，当时在上递增.又因为，则，则不等式（）正确，故原目标不等式得证. 【点睛】本题主要考查“分离常数”

8、在解题中的应用、利用单调性证明不等式及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.【例6】【2017山西省长治二中等四校高三联考】已知函数f(x)alnxax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1,2，函数g(x)x3x2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围【答案】

9、a；减区间为(，4)和(1,0)，增区间为(4，1)和(0，)方法、规律归纳:1、利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0和f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间方法二：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数yf(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若

10、干个小区间；(4)确定f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性实战演练:1【河北辛集中学2018届高三8月月考】已知函数f（x）=lnx+ln（2x），则（）A f（x）在（0，2）单调递增 B f（x）在（0，2）单调递减C y=f（x）的图象关于直线x=1对称 D y=f（x）的图象关于点（1，0）对称【答案】C【点睛】（1）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则（2）若，则的图像关于直线对称；若，则的图像关于点对称2若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）A B C D 【答案】C令，令，解得

11、，令，解得，在递减，在递增，而，故，实数的取值范围为，故选C.【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围3【河南省中原名校2018届高三高考预测金卷】函数与，这两个函数在区间上都是减函数，则实数（ ）A B C D 【答案】D4【安徽省六安市第一中学2018届高三下学期适应性考试】已知函数，则在上不单调

12、的一个充分不必要条件是（ ）A B C D 【答案】C 【解析】分析：求出函数的导数，问题转化为函数与x轴在有交点，通过分析整理，结合二次函数的性质判断即可.解析：，若在上不单调，令，则函数与x轴在有交点，设其解为，则，因此方程的两解不可能都大于1，其在中只有一解，其充要条件是，解得或，因此选项C是满足要求的一个充分必要条件.故选：C. 点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质.5【浙江省台州中学2018届高三模拟考试】当时，则下列大小关系正确的是（ ）A B C D 【答案】D 6【福建省厦门市湖滨中学2018届高三下学期高考适应性考试】若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是 （ ）A B