专题4 第1讲 三视图及空间几何体的计算问题.docx
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专题4第1讲三视图及空间几何体的计算问题
专题四 立体几何
第1讲 三视图及空间几何体的计算问题
（建议用时：
60分钟）
一、选择题
1．（2018·湖北卷）在如图所示的空间直角坐标系O－xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2,1），（2,2,2）．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）．
A．①和②B．③和①
C．④和③D．④和②
解析 由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是（0,0,2），（0,2,0），（0,2,2）且内有一个虚线（一个顶点与另一直角边中点的连线），故正视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是（0,0,0），（2,2,0），（1,2,0），故俯视图是②.
答案 D
2．（2018·东北三校第三次模拟）如图，多面体ABCDEFG的底面ABCD为正方形，FC＝GD＝2EA，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是（ ）．
解析 注意BE，BG在平面CDGF上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A，C选项，观察B，D选项，侧视图是指光线，从几何体的左面向右面正投影，则BG，BF的投影为虚线，故选D.
答案 D
3．（2018·安徽卷）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为
（ ）．
A．21＋
B．18＋
C．21D．18
解析 由三视图知，几何体的直观图如图所示．因此该几何体的表面积为6×2×2－6×
×1×1＋2×
×（
）2＝21＋
.
答案 A
4．（2018·广东卷）某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）．
A．4B．
C．
D．6
解析 由四棱台的三视图可知该四棱台的上底面是边长为1的正方形，下底面是边长为2的正方形，高为2.由棱台的体积公式可知该四棱台的体积V＝
（12＋
＋22）×2＝
，故选B.
答案 B
5．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥ABCD正视图和俯视图如图，则三棱锥ABCD侧视图的面积为（ ）．
A.
B．
C．
D．
解析 由正视图及俯视图可得，在三棱锥ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，该几何体的侧视图是腰长为
＝
的等腰直角三角形，其面积为
×
2＝
.
答案 B
6．在具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中，体积最大的几何体的表面积为（ ）．
A．13B．7＋3
C．
πD．14
解析 由正视图和俯视图可知，该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱或水平放置的圆柱．由图象可知四棱柱的体积最大．四棱柱的高为1，底面边长分别为1,3，所以表面积为2（1×3＋1×1＋3×1）＝14.
答案 D
7．（2018·湖南卷）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为
的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ）．
A.
B．1
C．
D．
解析 易知正方体是水平放置的，又侧视图是面积为
的矩形．所以正方体的对角面平行于投影面，此时正视图和侧视图相同，面积为
.
答案 D
二、填空题
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为____________．
解析 由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成．其中长方体的长、宽、高分别为4,2,2，圆柱的底面半径为2，高为4.所以V＝2×2×4＋
×22×π×4＝16＋8π.
答案 16＋8π
9．（2018·江苏卷）如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________.
解析 设三棱柱A1B1C1－ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝
×
S·
h＝
Sh＝
V2，即V1∶V2＝1∶24.
答案 1∶24
10．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．
解析 利用三棱锥的体积公式直接求解．
VD1－EDF＝VF－DD1F＝
S△D1DE·AB＝
×
×1×1×1＝
.
答案
11．（2018·重庆卷改编）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）截取得到的．在长方体中分析还原，如图
（1）所示，故该几何体的直观图如图
（2）所示．在图
（1）中，直角梯形ABPA1的面积为
×（2＋5）×4＝14，计算可得A1P＝5.直角梯形BCC1P的面积为
×（2＋5）×5＝
.因为A1C1⊥平面A1ABP，A1P⊂平面A1ABP，所以A1C1⊥A1P，故Rt△A1PC1的面积为
×5×3＝
.又Rt△ABC的面积为
×4×3＝6，矩形ACC1A1的面积为5×3＝15，故几何体ABC－A1PC1的表面积为14＋
＋
＋6＋15＝60.
答案 60
12．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为________．
解析 在Rt△ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝
＝
.同理，SB＝
.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因为△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，AD＝BD，故SC⊥平面ABD，且△ABD为等腰三角形．因为∠ASC＝30°，故AD＝
SA＝
，则△ABD的面积为
×1×
＝
，则三棱锥S－ABC的体积为
×
×2＝
.
答案
三、解答题
13．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的侧面积S.
解 由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥EABCD，AB＝8，BC＝6.
（1）V＝
×8×6×4＝64.
（2）四棱锥EABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h1＝
＝4
；
另两个侧面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h2＝
＝5.
因此S＝2×
＝40＋24
.
14．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA＝ED，FB＝FC.E′和F′是平面ABCD内的两点，EE′和FF′都与平面ABCD垂直．
（1）证明：
直线E′F′垂直且平分线段AD；
（2）若∠EAD＝∠EAB＝60°，EF＝2.求多面体ABCDEF的体积．
（1）证明 ∵EA＝ED且EE′⊥平面ABCD，
∴E′D＝E′A，∴点E′在线段AD的垂直平分线上．
同理，点F′在线段BC的垂直平分线上．
又四边形ABCD是正方形，
∴线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线，即点E′、F′都在线段AD的垂直平分线上．
∴直线E′F′垂直且平分线段AD.
（2）解 如图，连接EB、EC，由题意知多面体ABCDEF可分割成正四棱锥EABCD和正四面体EBCF两部分．设AD的中点为M，在Rt△MEE′中，由于ME′＝1，ME＝
，∴EE′＝
.
∴VEABCD＝
·S正方形ABCD·EE′＝
×22×
＝
.
又VEBCF＝VCBEF＝VCBEA＝VEABC＝
S△ABC·EE′＝
×
×22×
＝
，
∴多面体ABCDEF的体积为VEABCD＋VEBCF＝2
.
15．（2018·广东卷）如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝
.
（1）证明：
DE∥平面BCF；
（2）证明：
CF⊥平面ABF；
（3）当AD＝
时，求三棱锥F－DEG的体积VFDEG.
（1）证明 在等边三角形ABC中，AB＝AC.
∵AD＝AE，
∴
＝
，∴DE∥BC，
∴DG∥BF，如图2，DG⊄平面BCF，
∴DG∥平面BCF.
同理可证GE∥平面BCF.
∵DG∩GE＝G，∴平面GDE∥平面BCF，
∴DE∥平面BCF.
（2）证明 在等边三角形ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥FC，
∴BF＝FC＝
BC＝
.
在图2中，∵BC＝
，
∴BC2＝BF2＋FC2，∴∠BFC＝90°，
∴FC⊥BF.
∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.
（3）解 ∵AD＝
，
∴BD＝
，AD∶DB＝2∶1，
在图2中，AF⊥FC，AF⊥BF，
∴AF⊥平面BCF，
由
（1）知平面GDE∥平面BCF，
∴AF⊥平面GDE.
在等边三角形ABC中，AF＝
AB＝
，
∴FG＝
AF＝
，DG＝
BF＝
×
＝
＝GE，
∴S△DGE＝
DG·EG＝
，
∴VF－DEG＝
S△DGE·FG＝
.
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