古塔变形的数学模型大学生数学建模竞赛C课全国二等奖论文Word文档格式.docx

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日期：

2013年9月13日

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古塔变形的数学模型

摘要

古塔被誉为中国古代杰出的高层建筑物，历史悠久，值得并需要我们的保护。

本文研究了关于古塔变形的问题，古塔的变形与塔身的中心紧密相关，具体分析了古塔倾斜、弯曲、扭曲的变形情况及趋势。

对于问题1，建立中心位置模型，采用多边形组合形心的算法，求的结果是表6，7，8，9中的数据；

在问题2-1中，研究塔身的倾斜建立了古塔自身倾斜角的模型和古塔相对倾斜角模型两个数学模型，模型2-1.1利用三角函数相关知识确定倾斜角，结果是1986年的塔身倾斜了1.5308°

，1996年的塔身倾斜了1.5558°

，2009年的塔身倾斜了1.5564°

，2011年的塔身倾斜了1.5339°

；

模型2-1.2对各年份各层的中心点数据进行空间直线拟合，采用空间向量法计算两直线的夹角，结果是古塔1996年相对于1986年倾斜了0.049°

，2009年相对于1996年未发生倾斜，2011年相对于2009年倾斜了0.0245°

。

在问题2-2中，研究塔身的弯曲建立古塔弯曲的数学模型，采用三次多项式拟合的算法，得到了古塔每年每层的弯曲率。

在问题2-3中，研究塔身的扭曲建立古塔扭曲的数学模型，采用两点之间的距离公式和扭曲加权法，得出1996年总扭曲距离11.9399,2009年总扭曲距离8.4095，2011年总扭曲距离为3.8508。

在问题3中，采用层次分析法建立古塔变形趋势的数学模型，对古塔的变形程度和趋势做出综合量化评价，分析得到塔楼变形的趋势为从1986年到1996年变形程度加深，所以塔楼变形的趋势为从1996年到2009年变形程度减轻，从2009年到2011年变形程度稍有加深。

关键词：

组合图形的形心拟合中心变形曲线层次分析法扭曲加权

一．问题重述

古塔由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。

为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。

现有一古塔已上千年历史，是我国重点保护文物。

管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。

请根据题目提供的4次观测数据，讨论以下问题：

1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。

2.分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。

3.分析该塔的变形趋势。

二、问题分析

塔的变形趋势与塔身的中心有关，因此本题的主要目标是计算出塔中心的变化规律。

研究题中数据发现x轴坐标值逐渐偏大，y轴坐标值逐渐偏小，z轴坐标值逐渐偏小，可以由此联想到塔正向着x轴偏大的方向、y轴偏小的方向倾斜，且下沉。

说明x轴与y轴决定倾斜方向；

z轴和y轴数值变化越大，倾斜程度越大，反之则越小。

因此在求解层面中心点的z坐标点取八个点z值的平均。

问题1属于计算多边形组合形心的数学问题。

因为1986年受自然、社会影响度较小，最接近古塔的原始图样，所以图形较为有参考价值，用MATLAB画出1986年塔身的大致图样为八边形（图1-1），

图1-1

通过假设得出正多边形的形心就是中心，因此可运用组合图形形心公式计算出古塔各层中心坐标。

问题2-0塔的倾斜、弯曲、扭曲都与塔的中心有关。

从数据点上看，四年13组中心点的数据大致分布在空间的一个平面上（1986年图2-0-1，1996年图2-0-2，2009年图2-0-3，2011年图2-0-4），所以用空间直线的最小二乘法来拟合中心线。

图2-0-1图2-0-2

图2-0-3图2-0-4

问题2-1塔的倾斜程度用倾斜角W表示，塔身拟合后的中心线与地面的夹角为倾斜角（图2-1-1）。

图2-1-1

问题2-1.1塔自身倾斜情况。

观察图2-1-1得到Rt△OPQ，利用三角形正切公式确定自身倾斜角W。

1986、1996年题目分别给有4组塔尖坐标，分析数据结合实际生活我们将4组数据求平均值，得到1组数据用于计算塔的倾斜角W。

问题2-1.2年份的相对倾斜角△W可表现塔倾斜幅度。

两直线的方向向量的夹角（小于90O）叫做直线的夹角，现古塔的倾斜度一定小于90O，所以各年份中心线夹角可转化为两直线的方向向量的夹角，将每年各层中心和塔尖的数据用空间直线的最小二乘法进行拟合成中心线。

用法向量法得到各中心直线的方向向量，利用两向量的夹角的余弦公式确定相对倾斜角。

问题2-2塔的弯曲与空间直角坐标系的z轴有关。

以塔第一层楼面的中心为原点建立空间直角坐标系，拟合各年各层中心点竖坐标的直线，多次拟合后发现三次多项式的拟合效果较好（附录图2-2-1，图2-2-2，图2-2-3），

问题2-3塔的扭曲在空间直角坐标系中的x,y轴有关。

扭曲是相邻年份相对的物理量，以每层中心点偏移的平面距离作为扭曲距离，并用层次分析法对各层的扭曲距离赋予权重，得到总扭曲距离来衡量不同年份古塔的扭曲程度

问题3运用层次分析法对古塔的变形程度做综合量化评价，并根据组合权向量对古塔变形趋势做出大致分析。

3、模型假设

1，参照中国古塔的塔身样式假设塔身水平面是正八角形；

2，假设古塔是均质物体，形心就是中心；

3，以地平面为X轴，建立空间直角坐标系X，Y，Z；

4，假设塔尖面积极小，近视为一个点；

5，假设模型4中古塔所在地不存在地震等这种偶然事件；

6，假设古塔所在的地平面是水平面。

4．符号说明

Ci--第i个三角形的形心（i=1,2,……6）；

Si--第i个三角形的面积（单位：

m2）（i=1,2,……6）；

Ai--第i个三角形的形心坐标（单位：

m）；

Wt--第t年塔身的倾斜角（t=1986,1996,2009,2011）；

Dt--第t年塔身在地面上的水平投影（t=1986,1996,2009,2011）；

Ht--第t年塔上部与下部的相对位移（t=1986,1996,2009,2011）；

Lt--第t年塔的拟合直线（t=1986,1996,2009,2011）；

R--塔的倾斜率；

mt--第t年中心直线x轴的法向量（t=1986,1996,2009,2011）；

nt--第t年中心直线y轴的法向量（t=1986,1996,2009,2011）；

Jt--第t年的中心直线方向向量（t=1986,1996,2009,2011）；

K--塔的曲率；

5．模型的建立与求解

5.1、模型的准备

（1）给数据用图像形式表现出来题目所给的4次观测数据1986年、1996年塔13层的第五个点数据残缺。

参照其10层、11层、12层的数据知道第五个点的数值在第四个点和第六个点的数值之间，另外分析后发现这两组数据对题目结果的影响不大。

因此结合实际和理论，采取取相邻年份该层的第四个点和第六个点的平均值将两组数据补齐。

（2）用MATLAB软件将题中所给数据及补充的数据画图表现出来。

5.2问题1中心位置模型

问题一求古塔各层中心坐标，通过假设知道实质就是计算正多边形的中心，运用组合图形求形心的方法。

将每层正八边形的塔面都分为六个三角形（图1-2）S1、S2、S3、S4、S5、S6，

图5-1-2

每年各层六个三角形的形心：

C1（

，

）、

C2（

C3（

C4（

C5（

C6（

），

代入测量数据，运行MATLAB软件得出：

1986年各层分面积的形心

塔层

坐标（m）

A1

A2

A3

A4

A5

A6

1

565.6707，526.9707

564.3160，524.7823

565.1133，523.6693

567.8320，525.6177

570.8977，523.7220

570.3780，520.4057

2

565.7107，526.7563

564.4383，524.6417

565.2177，523.5770

567.8177，525.4710

570.7933，523.6700

570.3203，520.4773

3

565.7503，526.5460

564.5587，524.5040

565.3203，523.4870

567.8037，525.3273

567.6070，524.0603

567.1797，520.9890

4

565.7813，526.3787

564.6540，524.3940

565.4017，523.4147

567.7920，525.2127

570.6087，523.5783

570.2180，520.6037

5

565.8150，526.1987

564.7567，524.2760

565.4893，523.3370

567.7800，525.0893

570.5210，523.5347

570.1693，520.6640

6

565.8483，526.0230

564.8583，524.1610

565.5757，523.2620

567.2693，524.9697

570.4320，523.4920

570.1233，520.7217

7

565.9323，525.8013

565.0030，524.0360

565.6087，522.1230

568.3457，522.8950

568.9073，520.9863

567.9333，519.2110

8

566.0143，525.5857

565.1437，523.9140

565.7230，522.1233