分布函数Distribution function数学期望Expectation金融计量Word文档下载推荐.docx
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（iii）若
，i=1,2…，且两两互不相容，则
性质（iii）称为可列可加性（conformableaddition）或完全可加性。
推论1：
对任何事件A有
；
推论2：
不可能事件的概率为0，即
推论3：
。
2、条件概率（ConditionalProbability）
如果P（B）＞0，记
，称P（A|B）为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。
转化后有：
如果（P（A）＞0），称为概率的乘法原理。
推广后的乘法原理：
其中
＞0。
3、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式
设事件A1，A2，…，An……是样本空间Ω的一个分割，即AiAj=φ，i≠j，而且：
从而
，这里AiB也两两互不相容。
则
这个公式称为全概率公式。
由于
故
再利用全概率公式即得
这个公式称为贝叶斯公式。
贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的应用，假定A1，A2，…是导致试验结果的“原因”，P（Ai）称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道，现在若试验产生了事件B，这个信息将有助于探讨事件发生的“原因”，条件概率P（Ai|B）称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知识。
4、事件（Randomevent）独立性（Independence）
1）两个事件的独立性
定义对事件A及B，若
P（AB）=P（A）P（B）
则称它们是统计独立的，简称独立的。
推论1若事件独立，且P（B）＞0，则
P（A|B）=P（A）
[证明]由条件概率定义
因此，若事件A，B相互独立，由A关于B的条件概率等于无条件概率P（A），这表示B的发生对于事件A是否发生没有提供任何消息，独立性就是把这种关系从数学上加以严格定义。
推论2若事件A与B独立，则下列各对事件也相互独立：
[证明]由于
所以
与B相互独立，由它立刻推出
与
相互独立，由
又推出A，
相互独立。
2）多个事件的独立性
定义对n个事件A1，A2，…，An，若对于所有可能的组合1≤i＜j＜…≤n成立着
则称A1，A2，…An相互独立。
这里第一行有
个式子，第二行有
个式子，等等，因此共应满足
个等式。
二、随机变量（RandomVariable）和概率分布函数（ProbabilityDistributionFunction）
1、随机变量（RandomVariable）
如果A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系：
这样试验的结果就能有一个数
来表示，这个数是随着试验的结果的不同而变化，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量，随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。
2、概率分布函数（densityfunction）
称F（x）=P{
＜x}，
＜x＜
为随机变量
的分布函数cdf，对于连续型随机变量，存在可能函数f（x），使
，f（x）称为随机变量的（分布）密度函数（densityfunction）。
3、随机向量（RandomVector）及其分布
在有些随机现象中，每次试验的结果不能只用一个数来描述，而要同时用几个数来描述。
试验的结果将是一个向量（Χ1，Χ2，…Χn），称n维随机向量。
随机向量的联合分布函数也有离散型与连续型的分别，在离散型场合，概率分布集中在有限或可列个点上，多项分布，就是一个例子；
在连续型场合，存在着非负函数f（x1,x2,…xn），使
这里的f（x1，…，xn）称为密度函数，满足如下两个条件
≥0
一般地，若（ξ,η）是二维随机向量，其分布函数为F（x,y），我们能由F（x,y）得出ξ或η的分布函数，事实上，
＜
同理
F1（x）及F2（y）称为F（x,y）的边际分布函数（MarginalDistributionFunction）。
[例]若F（x,y）是连续型分布函数，有密度函数f（x,y），那么
因此F1（x）是连续型分布函数，其密度函数为
同理F2（x）是连续型分布函数，其密度函数为
f1（x）及f2（y）的边际分布密度函数。
[二元正态分布]函数
这里a,b,
，r为常数，
＞0，
＞0，|r|＜1，称为二元正态分布密度函数。
定理：
二元正态分布的边际分布仍为正态分布。
条件分布（ConditionalDistribution）
离散型：
若已知ξ=xi，（p1（xi）＞0）则事件{η=yi}的条件概率为
这式子定义了随机变量η关于随机变量ξ的条件分布。
连续型：
在给定ξ=x的条件下，η的分布密度函数为
同理可行在给定η=y的条件下，ξ的分布密度函数为
这里当然也要求f2（y）≠0
二元正态分布的条件分布仍然是正态分布
其均值
是x的线性函数，这个结论在一些统计问题中很重要。
4、随机变量的独立性
定义设ξ1，…，ξn为n个随机变量，若对于任意的x1，…，xn成立
（1）
则称
是相互独立的。
若
的分布函数为
，它们的联合分布函数为
，则
（1）等价于对一切x1,…,xn成立
在这种场合，由每个随机变量的（边际）分布函数可以唯一地确定联合分布函数（JointDistributionFunction）。
对于离散型随机变量，
（1）等价于任何一组可能取的值（x1,…,xn）成立
对于连续型随机变量，条件
（1）的等价形式是对一切x1,…,xn成立
这里f（x1,…,xn）是联合分布密度函数（Jointdensityfunction），而fi（xi）是各随机变量的密度函数。
此外，注意到若
相互独立，则其中的任意r（2≤r＜n）个随机变量也相互独立，例如，我们证明
随机变量的独立性概念是概率论中最基本的概念之一，也是最重要的概念之一。
5、随机向量变换（Transformation）及其分布
的密度函数为
，求
的分布，这时有
若对
存在唯一的反函数
，且
，那么
（2）
比较
（1）与
（2）可知
其中J为坐标变换的雅可比行列式（JacobianDeterminant）
这里，我们假定上述偏导数存在而且连续。
随机变量的函数的独立性
定理若ξ1，…，ξn是相互独立的随机变量，则
也是相互独立的，这里
是任意的一元函数。
三、数字期望及方差
1、数学期望
一般地，如果X是随机变量，它的概率密度函数为f（x），那么它的期望值为
在许多问题中我们不仅需要知道E[X]，而且还想知道X的某个函数g（X）的数学期望。
我们可以用同样的方法定义多元随机变量的函数的数学期望。
假设随机变量X1，X2，…Xn的联合概率密度函数为
，
如果随机变量是离散的，那么上面公式里的积分号用和号代替。
利用这个定义我们可以得到下列结果
（1）如果a0,a1…,an是常数，那么
（2）如果X1，X2…，Xn是相互独立的随机变量，那么
2、方差（Variance）与协方差（Covariance）
一个随机变量X的r阶中心矩被定义为
记为
如果
被称为X的分布的方差或X的方差，常常记为
的正平方根
被称为X的标准差。
关于方差，我们有一个有用的公式
X和Y之间的协方差，记为
或
X和Y之间的协方差是对它们之间的相关性的一个测度。
如果X和Y是相互独立的，那么
=0。
这导致下面的相关系数的定义，X和Y之间的相关系数记为
被定义为
由这个定义，
的取值一定在-1和1之间。
如果Y=aX+b，这里a,b是不等于0的常数，那么|ρXY|=1，此时，我们说X和Y是完全相关的。
X和Y的值越接近线性关系，|ρXY|值接近1。
利用这些定义，我们可以得到下面的结果：
如果a0,a1…,an是常数，X1，X2…，Xn是随机变量，那么
特别地，有
3、随机向量的协方差矩阵
对于随机向量而言，我们可以相似地定义它的期望和协方差矩阵。
用X表示随机变量组成的向量，即
假设
那么X的期望值为
也即是一个随机向量的期望值等于它的各个分量的期望值组成的向量。
我们定义一个随机向量X的协方差矩阵（CovarianceMatrix）如下
X的协方差矩阵常常记为
，它是一个正定矩阵，如下是证明：
对于任意的不为零的向量
，我们构造一个变量
那么Y的方差
，即证明了
是非负定的。
线性变换后的向量的均值与协方差
如果P是一个m×
n常数矩阵，m≤n，那么Z=PX是一个m维随机向量，可以得到
a）
b）
四、条件分布（ConditionalDistribution）、条件数学期望（ConditionalExpectation）及其条件方差（ConditionalVariance）
条件均值（ConditionalMean）是条件分布的均值，其定义为
条件均值函数
条件方差（ConditionalVariance）
条件方差是条件分布的方差：
（离散时）
利用下式可以简化计算
并且有：
记号Ex[·
]表示对X的值的期望。
几个重要的公式
1）、
思考：
是否成立？
2）、
3）、方差分解公式（DecompositionofVariance）
推导：
分两步
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