分布函数Distribution function数学期望Expectation金融计量Word文档下载推荐.docx

1、（iii）若，i=1,2，且两两互不相容，则性质（iii）称为可列可加性（conformable addition）或完全可加性。推论1：对任何事件A有；推论2：不可能事件的概率为0，即推论3：。2、条件概率（Conditional Probability）如果P（B）0，记，称P（A|B）为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。转化后有：如果（P（A）0），称为概率的乘法原理。推广后的乘法原理：其中0。3、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式设事件A1，A2，An是样本空间的一个分割，即AiAj=，ij，而且：从而，这里AiB也两两互不相容。则这个公式称为全概率公式。由于故再利用全概率公

2、式即得这个公式称为贝叶斯公式。贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的应用，假定A1，A2，是导致试验结果的“原因”，P（Ai）称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道，现在若试验产生了事件B，这个信息将有助于探讨事件发生的“原因”，条件概率P（Ai|B）称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知识。4、事件（Random event）独立性（Independence）1）两个事件的独立性定义 对事件A及B，若P（AB）=P（A）P（B）则称它们是统计独立的，简称独立的。推论1 若事件独立，且P（B）0，则P（A|

3、B）=P（A）证明由条件概率定义因此，若事件A，B相互独立，由A关于B的条件概率等于无条件概率P（A），这表示B的发生对于事件A是否发生没有提供任何消息，独立性就是把这种关系从数学上加以严格定义。推论2 若事件A与B独立，则下列各对事件也相互独立：证明 由于 所以与B相互独立，由它立刻推出与相互独立，由又推出A，相互独立。2）多个事件的独立性定义 对n个事件A1，A2，An，若对于所有可能的组合1ijn成立着则称A1，A2，An相互独立。这里第一行有个式子，第二行有个式子，等等，因此共应满足个等式。二、随机变量（Random Variable）和概率分布函数（Probability Distr

4、ibution Function）1、随机变量（Random Variable）如果A为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系：这样试验的结果就能有一个数来表示，这个数是随着试验的结果的不同而变化，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量，随机变量可分为离散型随机变量和连续型随机变量。2、概率分布函数（ density function）称F（x）=Px，x为随机变量的分布函数cdf，对于连续型随机变量，存在可能函数f（x），使，f（x）称为随机变量的（分布）密度函数（density function）。3、随机向量（Random Vector）及其分布在有些随机现

5、象中，每次试验的结果不能只用一个数来描述，而要同时用几个数来描述。试验的结果将是一个向量（1，2，n），称n维随机向量。随机向量的联合分布函数也有离散型与连续型的分别，在离散型场合，概率分布集中在有限或可列个点上，多项分布，就是一个例子；在连续型场合，存在着非负函数f（x1,x2,xn），使这里的f（x1，xn）称为密度函数，满足如下两个条件0一般地，若（,）是二维随机向量，其分布函数为F（x,y），我们能由F（x,y）得出或的分布函数，事实上，同理F1（x）及F2（y）称为F（x,y）的边际分布函数（Marginal Distribution Function）。例 若F（x,y）是连续型分

6、布函数，有密度函数f（x,y），那么因此F1（x）是连续型分布函数，其密度函数为同理F2（x）是连续型分布函数，其密度函数为f1（x）及f2（y）的边际分布密度函数。二元正态分布 函数这里a,b,，r为常数，0，0，|r|1，称为二元正态分布密度函数。定理：二元正态分布的边际分布仍为正态分布。条件分布（Conditional Distribution）离散型：若已知=xi，（p1（xi）0）则事件=yi的条件概率为这式子定义了随机变量关于随机变量的条件分布。连续型：在给定=x的条件下，的分布密度函数为同理可行在给定=y的条件下，的分布密度函数为这里当然也要求f2（y）0二元正态分布的条件分布仍

7、然是正态分布其均值 是x的线性函数，这个结论在一些统计问题中很重要。4、随机变量的独立性定义 设1，n为n个随机变量，若对于任意的x1，xn成立 （1）则称是相互独立的。若的分布函数为，它们的联合分布函数为，则（1）等价于对一切x1,xn成立在这种场合，由每个随机变量的（边际）分布函数可以唯一地确定联合分布函数（Joint Distribution Function）。对于离散型随机变量，（1）等价于任何一组可能取的值（x1,xn）成立对于连续型随机变量，条件（1）的等价形式是对一切x1,xn成立这里f（x1,xn）是联合分布密度函数（Joint density function），而fi（x

8、i）是各随机变量的密度函数。此外，注意到若相互独立，则其中的任意r（2rn）个随机变量也相互独立，例如，我们证明随机变量的独立性概念是概率论中最基本的概念之一，也是最重要的概念之一。5、随机向量变换（Transformation）及其分布的密度函数为，求的分布，这时有若对存在唯一的反函数，且，那么 （2）比较（1）与（2）可知其中J为坐标变换的雅可比行列式（Jacobian Determinant）这里，我们假定上述偏导数存在而且连续。随机变量的函数的独立性定理 若1，n是相互独立的随机变量，则也是相互独立的，这里是任意的一元函数。三、数字期望及方差1、数学期望一般地，如果X是随机变量，它的概

9、率密度函数为f（x），那么它的期望值为在许多问题中我们不仅需要知道EX，而且还想知道X的某个函数g（X）的数学期望。我们可以用同样的方法定义多元随机变量的函数的数学期望。假设随机变量X1，X2，Xn的联合概率密度函数为，如果随机变量是离散的，那么上面公式里的积分号用和号代替。利用这个定义我们可以得到下列结果（1）如果a0,a1,an是常数，那么（2）如果X1，X2，Xn是相互独立的随机变量，那么2、方差（Variance）与协方差（Covariance）一个随机变量X的r阶中心矩被定义为记为如果被称为X的分布的方差或X的方差，常常记为的正平方根被称为X的标准差。关于方差，我们有一个有用的公式X

10、和Y之间的协方差，记为或X和Y之间的协方差是对它们之间的相关性的一个测度。如果X和Y是相互独立的，那么=0。这导致下面的相关系数的定义，X和Y之间的相关系数记为被定义为由这个定义，的取值一定在-1和1之间。如果Y=aX+b，这里a,b是不等于0的常数，那么|XY|=1，此时，我们说X和Y是完全相关的。X和Y的值越接近线性关系，|XY|值接近1。利用这些定义，我们可以得到下面的结果：如果a0,a1,an是常数，X1，X2，Xn是随机变量，那么特别地，有3、随机向量的协方差矩阵对于随机向量而言，我们可以相似地定义它的期望和协方差矩阵。用X表示随机变量组成的向量，即假设那么X的期望值为也即是一个随机

11、向量的期望值等于它的各个分量的期望值组成的向量。我们定义一个随机向量X的协方差矩阵（Covariance Matrix）如下X的协方差矩阵常常记为，它是一个正定矩阵，如下是证明：对于任意的不为零的向量， 我们构造一个变量那么Y的方差，即证明了是非负定的。线性变换后的向量的均值与协方差如果P是一个mn常数矩阵，mn，那么Z=PX是一个m维随机向量，可以得到a）b）四、条件分布（Conditional Distribution）、条件数学期望（Conditional Expectation）及其条件方差（Conditional Variance）条件均值（Conditional Mean）是条件分布的均值，其定义为条件均值函数条件方差（Conditional Variance）条件方差是条件分布的方差：（离散时）利用下式可以简化计算并且有：记号Ex表示对X的值的期望。几个重要的公式1）、思考：是否成立？2）、3）、方差分解公式（Decomposition of Variance ） 推导：分两步