1996第十三届 全国 初中数学联赛含答案Word文档格式.docx

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A．内心B．外心C．重心D．垂心

6．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有（）

A．4个B．8个C．12个D．24个

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1．已知实数，是方程组的解，则__________．

2．如图2，在中，，，，，则点到边的距离等于________．

3．设，，

且，

则________．

4．如图3，将边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转至的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是_________．

第二试

一、（本题满分20分）

某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和个女生的捐款总数相等，都是元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数．

二、（本题满分25分）

设凸四边形的对角线，的交点为，过点作的平行线分别交，于点，，交的延长线于点，是以为圆心为半径的圆上一点（位置如图4所示），求证：

．

三、（本题满分25分）

已知，，都是正整数，且抛物线与轴有两个不同的交点，，若，到原点的距离都小于1，求的最小值．

解答

1．B

【解析】，

又由，得到．

选B．

【点评】这道题不能一上来就通分计算，观察出的分子有，所以把上下同乘以再利用条件化简．

2．A

【解析】解法一：

将原式两边平方得到

由于都是正整数，所以．

又，仅当时为正整数．

所以共有1组解，选A．

【点评】这道题的方法比较明显，两边平方就可以，关键要小心的是隐藏条件.

3．B

【解析】如题图连结因为平行于所以．

从而阴影部分面积即为扇形的面积；

又因为为圆的切线，所以垂直，在中，，所以．

故．

因此扇形面积为：

故选B．

【点评】注意同底等高的三角形的面积相等，在做面积的时候可以利用它来转化成其他的面积来求．

4．D

【解析】由题意得，即．

代入到．

再由韦达定理知．

所以原式．

故选D．

【点评】这是一道综合性较强的一元二次方程的题目，只其中要用到根的定义及韦达定理，化简得过程中需要仔细观察，用最简便的方法．

5．A

【解析】我们首先要了解各种三角形的面积的算法，正弦公式，底乘高公式以及利用三角形内切圆半径来计算三角形的面积公式．

如果内切圆的半径为，三角形的周长为，则三角形的面积为：

如图6：

上面一部分的面积为，

下面一部分的面积为,

由于直线分三角形周长为两半，即，

所以上下两部分的面积相等，因此直线过内心．

故选A．

【点评】对于这道题来说，首先是要从面积的方法去猜想这道题与内心有关，然后是假设直线过内心，这样很容易得出结论．

6．C

【解析】设正边形满足条件，则除去个顶点外的个点均匀的分布在正边形各边所对的劣弧上，则有：

于是是整数，故能整除20，同时．

所以或或10或20，

故所求正多边形的个数为．

故选C．

【点评】本道题关键是要确定正多边形所要满足的条件．

1．

很显然应该联立两式，消去可得：

由于，以下分两种情况讨论：

当时，方程变为，即，解方程可得：

，

当时，方程变为，即，方程无实根．

综上所述，．

【点评】碰到有绝对值的方程的时候，首先应该消去绝对值，一般情况下消去绝对值的时候都要找出绝对值的零点分情况讨论．同时，应该注意的一点是在一种情况下得出的解必须要带到条件里面去检验，如题中的第二解就不符合条件，应该舍去．

2．

【解析】本题考查的是三角形角度计算的知识，要求点到边的距离，首先我们做垂直于，且交边于设，

∵，

∴．

若令，则：

．，

∴，即：

所以：

【点评】对于本题来说，由于本文所给出的条件都是线段的相等，而只给出了一条线段的长度，要求另外的一条线段的长度，显然应该通过角度的计算得出确定的值，再利用三角形中两条线段的关系和相应的三角函数知识就能得出本题的结果．

3．1

【解析】设，显然，所以：

带入方程可得：

即：

由已知可得，，，

∴.

【点评】由于题中多次出现1995，1996，1997，用换元法去代替它们可使计算简便，同时应该用题目所给出的等式来构造出我们应该求的，然后再通过进一步的计算求出结果．

4．

【解析】如图，过作平行于分别交于两点，设交于，

则，

∴，．

同时有：

∴，，

故可得：

，,

从而和，

∴，

所以重叠部分的面积为：

【点评】对于含有正方形，正三角形的几何题来说，一个是要充分的利用图形中的角相等以及边相等，同时，要注意一些特殊角的三角函数值，作辅助线的时候也应该多考虑作平行以及垂直，构造全等以及特殊度数的角．

一、

【解析】根据题意甲班的个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和个女生的捐款总数相等有整除，而，

所以都整除46，．

又是正整数所以：

只可能，或者．

或．

时，捐款总数，

所以每人捐元．

时，

捐款数

所以每人捐47元．

综上可知，每人捐款数为25元或47元．

【点评】这是一道应用题，作应用题首先要读清楚题，然后将已知条件转化为代数条件，在对代数条件进行分析求解，对于本题来讲解题的方法并不复杂，弄清题意更显关键．

二、

【解析】如图，延长与相交于，

由于平行于，

所以有：

因为在圆上，所以，得：

又∵．

所以相似于．

【点评】通常穿过一个三角形的平行线会导致很多的角相等，很多的三角形相似，要清楚地了解各个角的对应关系，各个边的对应关系，同时要搞清楚相应线段的比例关系，能利用这些复杂的关系求出要求的线段之间的关系．

三、

【解析】由都是正整数知道：

所以两根都是负数，又由两个点到原点距离小于1．得到．

由于，抛物线开口向上，所以从图象中可以看到．

即，

是正整数进而有．

又由于两根不等所以判别式，即．

联合上两式有．

即．

所以最小为5．

而，而．

所以最小为5，

当时经检验，符合题意，

∴最小．

【点评】这道题的解法比较复杂，关键是用好给出的二次函数与交点在之间，由此得出的不等关系，将所有的条件用上，可在不等中消去，从而得到突破口，求出的最小值，结下来的计算就很容易了．