习题四矩阵三角分解Word格式文档下载.docx

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　　由此回代解出　

2.用Gauss列主元消去法解方程组

　解：

选择列主元，得

　　　由消去法得

　　　再得

　　　解得　

3.举例说明一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。

设显然A是非奇异矩阵，若A存在LU分解，则

　　　比较两边，有则或者

　　　　若则可知其与相矛盾；

　　　　若则可知其与相矛盾。

　　　所以可知不存在LU分解。

4.下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵）？

若能分解，那么分解是否唯一？

设A能分解，则有

　　　由分解公式可知，

　　　　但与相矛盾，

　　　因此A不能进行LU分解。

　　　设B能分解，则有

　　　　但得　　可知可任意选择，

　　　因此B能进行LU分解，但分解并不唯一。

　　　对矩阵C来说，其顺序主子式分别为

　　　则由矩阵的LU分解的定理1.3可知，C可分解为一个单位下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的。

5.对下面给定的矩阵A作LU分解，并利用分解结果计算

6.用Doolittle分解法解方程组

用分解公式计算得

　　　求解

　　　　　　得　

　　　　　　得　

7.用Crout分解法解方程组

用Crout分解公式计算得

　　　计算

　　　　　　　　得　

8.用平方根法求解方程组

将A分解为LLT的形式

　　　　　　　得　

9.求改进的平方根法求解下列方程组

（1）将A分解为LDLT形式

　　　依次解方程组

　　　　　　　　得　

　　　　　解方程组　

　　　　　　　　　　解　

　　　　　解方程组

　　　　　　　　　解　

（2）将A分解为LDLT形式

　　　　　　　　得　

10.用追赶法求解三对角方程组

将A分解为LU的形式

　　　解方程组　得到　　

　　　再解方程组　求得　

11.已知求

12．已知求

13.求证

　　　　　因此有

　　　由

　　　　　　从而有

　　　　又由

　　　　　　因为矩阵的特征值之和等于其对角元素之和，因此由上式可得

　　　　　综上可证得　

14.设计算A的条件数

　因A是实对称正定矩阵，所以

　　　解得

　　因此　

因则

15.设矩阵A非奇异，求证

证明：

因　故

　　　于是有

16.设矩阵A可逆，为误差，试证当也可逆。

　　　因当时，可知可逆，

　　　则　

　　　故从而矩阵可逆。

17.设有方程组其中

　　已知它有解如果右端有小扰动试估计由此引起的解的相对误差。

则

　　　因此　

　　　由定理3.9可得

18.设其中为非奇异矩阵，证明：

　为对称正定矩阵；

　因　可得是对称矩阵；

　　　　　因A为非奇异矩阵，因此A线性无关。

对任一给定n维向量恒有

可得是正定矩阵。

综上，可证得为对称正定矩阵。