1、由此回代解出2.用Gauss列主元消去法解方程组解：选择列主元，得由消去法得再得解得3.举例说明一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。设显然A是非奇异矩阵，若A存在LU分解，则比较两边，有则或者若则可知其与相矛盾；若则可知其与相矛盾。所以可知不存在LU分解。4.下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵）？若能分解，那么分解是否唯一？ 设A能分解，则有由分解公式可知，但与相矛盾，因此A不能进行LU分解。设B能分解，则有但得可知可任意选择，因此B能进行LU分解，但分解并不唯一。对矩阵C来说，其顺序主子式分别为则由矩阵的LU分解的定理1.3可知，C可分解为一个单位下三角矩阵L和一个
2、上三角矩阵U的乘积，且这种分解是唯一的。5.对下面给定的矩阵A作LU分解，并利用分解结果计算6.用Doolittle分解法解方程组用分解公式计算得求解得 得7.用Crout分解法解方程组用Crout分解公式计算得计算 得8.用平方根法求解方程组将A分解为LLT的形式得9.求改进的平方根法求解下列方程组（1）将A分解为LDLT形式依次解方程组得解方程组解解方程组 解（2）将A分解为LDLT形式 得10.用追赶法求解三对角方程组将A分解为LU的形式解方程组得到再解方程组求得11.已知求12已知求13.求证因此有由从而有 又由因为矩阵的特征值之和等于其对角元素之和，因此由上式可得综上可证得14.设计算A的条件数因A是实对称正定矩阵，所以解得因此因则15.设矩阵A非奇异，求证证明：因故于是有16.设矩阵A可逆，为误差，试证当也可逆。因当时，可知可逆，则故从而矩阵可逆。17.设有方程组其中已知它有解如果右端有小扰动试估计由此引起的解的相对误差。则因此由定理3.9可得18.设其中为非奇异矩阵，证明：为对称正定矩阵；因可得是对称矩阵； 因A为非奇异矩阵， 因此A线性无关。 对任一给定n维向量恒有 可得是正定矩阵。 综上，可证得为对称正定矩阵。
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