届北京市东城区高三下学期二模考试数学理试题解析版.docx

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届北京市东城区高三下学期二模考试数学理试题解析版

2017年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合A={x|x2﹣4＜0}，则∁RA=（　　）

A．{x|x≤﹣2或x≥2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|﹣2≤x≤2}

2．下列函数中为奇函数的是（　　）

A．y=x+cosxB．y=x+sinxC．

D．y=e﹣|x|

3．若x，y满足

，则x+2y的最大值为（　　）

A．﹣1B．0C．

D．2

4．设

，

是非零向量，则“

，

共线”是“|

+

|=|

|+|

|”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．已知等比数列{an}为递增数列，Sn是其前n项和．若a1+a5=

，a2a4=4，则S6=（　　）

A．

B．

C．

D．

6．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，v=1，x=2，则程序框图计算的是（　　）

A．25+24+23+22+2+1B．25+24+23+22+2+5

C．26+25+24+23+22+2+1D．24+23+22+2+1

7．动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A，P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

8．据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1，a2，a3，…，an，和b1，b2，b3，…，bn，令M={m|am＜bm，m=1，2，…，n}，若M中元素个数大于

n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：

A𡿨B，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是（　　）

A．若A𡿨B，B𡿨C，则A𡿨C

B．若A𡿨B，B𡿨C同时不成立，则A𡿨C不成立

C．A𡿨B，B𡿨A可同时不成立

D．A𡿨B，B𡿨A可同时成立

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．复数i（2﹣i）在复平面内所对应的点的坐标为　　．

10．在极坐标系中，直线ρcosθ+

ρsinθ+1=0与圆ρ=2acosθ（a＞0）相切，则a=　　．

11．某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门，若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有　　种．（用数字作答）

12．如图，在四边形ABCD中，∠ABD=45°，∠ADB=30°，BC=1，DC=2，cos∠BCD=

，则BD=　　；三角形ABD的面积为　　．

13．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则|OA|=　　．

14．已知函数

①若f（x）=a有且只有一个根，则实数a的取值范围是　　．

②若关于x的方程f（x+T）=f（x）有且仅有3个不同的实根，则实数T的取值范围是　　．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．已知函数f（x）=

sin2x+a•cos2x（a∈R）．

（Ⅰ）若f（

）=2，求a的值；

（Ⅱ）若f（x）在[

，

]上单调递减，求f（x）的最大值．

16．小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%﹣60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天．

（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；

（Ⅱ）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？

（结论不要求证明）

17．如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，EA=ED=AB=2EF，EF∥AB，M为BC中点．

（Ⅰ）求证：

FM∥平面BDE；

（Ⅱ）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱CF上是否存在点G，使BG⊥DE？

若存在，求

的值；若不存在，说明理由．

18．设函数f（x）=（x2+ax﹣a）•e﹣x（a∈R）．

（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程；

（Ⅱ）设g（x）=x2﹣x﹣1，若对任意的t∈[0，2]，存在s∈[0，2]使得f（s）≥g（t）成立，求a的取值范围．

19．已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的短轴长为2

，右焦点为F（1，0），点M是椭圆C上异于左、右顶点A，B的一点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线AM与直线x=2交于点N，线段BN的中点为E．证明：

点B关于直线EF的对称点在直线MF上．

20．对于n维向量A=（a1，a2，…，an），若对任意i∈{1，2，…，n}均有ai=0或ai=1，则称A为n维T向量．对于两个n维T向量A，B，定义d（A，B）=

．

（Ⅰ）若A=（1，0，1，0，1），B=（0，1，1，1，0），求d（A，B）的值．

（Ⅱ）现有一个5维T向量序列：

A1，A2，A3，…，若A1=（1，1，1，1，1）且满足：

d（Ai，Ai+1）=2，i∈N*．求证：

该序列中不存在5维T向量（0，0，0，0，0）．

（Ⅲ）现有一个12维T向量序列：

A1，A2，A3，…，若

且满足：

d（Ai，Ai+1）=m，m∈N*，i=1，2，3，…，若存在正整数j使得

，Aj为12维T向量序列中的项，求出所有的m．

2017年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合A={x|x2﹣4＜0}，则∁RA=（　　）

A．{x|x≤﹣2或x≥2}B．{x|x＜﹣2或x＞2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|﹣2≤x≤2}

【考点】1F：

补集及其运算．

【分析】解不等式求出集合A，根据补集的定义计算∁RA．

【解答】解：

集合A={x|x2﹣4＜0}={x|﹣2＜x＜2}，

则∁RA={x|x≤﹣2或x≥2}．

故选：

A．

2．下列函数中为奇函数的是（　　）

A．y=x+cosxB．y=x+sinxC．

D．y=e﹣|x|

【考点】3K：

函数奇偶性的判断．

【分析】分别确定函数的奇偶性，可得结论．

【解答】解：

对于A非奇非偶函数，不正确；

对于B，计算，正确，

对于C，非奇非偶函数，不正确；

对于D，偶函数，不正确，

故选：

B．

3．若x，y满足

，则x+2y的最大值为（　　）

A．﹣1B．0C．

D．2

【考点】7C：

简单线性规划．

【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，判断最优解，然后求解z取得的最大值．

【解答】解：

作出x，y满足

表示的平面区域，

得到如图的三角形及其内部，由

，

解得A（﹣

，

），

设z=F（x，y）=x+2y，将直线l：

z=x+2y进行平移，

当l经过点A时，目标函数z达到最大值

∴z最大值=F（

，

）=

．

故选：

C．

4．设

，

是非零向量，则“

，

共线”是“|

+

|=|

|+|

|”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【考点】2L：

必要条件、充分条件与充要条件的判断．

【分析】“|

+

|=|

|+|

|”⇒“

，

共线”，反之不成立，例如

．

【解答】解：

“|

+

|=|

|+|

|”⇒“

，

共线”，反之不成立，例如

．

∴

，

是非零向量，则“

，

共线”是“|

+

|=|

|+|

|”的必要不充分条件．

故选：

B．

5．已知等比数列{an}为递增数列，Sn是其前n项和．若a1+a5=

，a2a4=4，则S6=（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】89：

等比数列的前n项和．

【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．

【解答】解：

设递增的等比数列{an}的公比为q，∵a1+a5=

，a2a4=4=a1a5，

解得a1=

，a5=8．

解得q=2，

则S6=

=

．

故选：

D．

6．我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202﹣1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法．如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的n=5，v=1，x=2，则程序框图计算的是（　　）

A．25+24+23+22+2+1B．25+24+23+22+2+5

C．26+25+24+23+22+2+1D．24+23+22+2+1

【考点】EF：

程序框图．

【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为63，即可得解．

【解答】解：

模拟程序的运行，可得

n=5，v=1，x=2，i=4

满足条件i≥0，执行循环体，v=3，i=3

满足条件i≥0，执行循环体，v=7，i=2

满足条件i≥0，执行循环体，v=15，i=1

满足条件i≥0，执行循环体，v=31，i=0

满足条件i≥0，执行循环体，v=63，i=﹣1

不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为63．

由于25+24+23+22+2+1=63．

故选：

A．

7．动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周，A，P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

【考点】3O：

函数的图象．

【分析】本题考查的是函数的图象与图象变化的问题．在解答时首先要充分考查所给四个图形的特点，包括对称性、圆滑性等，再结合所给A，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数图象即可直观的获得解答．

【解答】解：

由题意可知：

对于A、B，当P位于A，B图形时，函数变化有部分为直线关系，不可能全部是曲线，

由此即可排除A、B，

对于D，其图象变化不会是对称的，由此排除D，

故选C．

8．据统计某超市两种蔬菜A，B连续n天价格分别为a1，a2，a3，…，an，和b1，b2，b3，…，bn，令M={m|am＜bm，m=1，2，…，n}，若M中元素个数大于

n，则称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价格，记作：

A𡿨B，现有三种蔬菜A，B，C，下列说法正确的是（　　）

A．若A𡿨B，B𡿨C，则A𡿨C

B．若A𡿨B，B𡿨C同时不成立，则A𡿨C不成立

C．A𡿨B，B𡿨A可同时不成立

D．A𡿨B，B𡿨A可同时成立

【考点】F4：

进行简单的合情推理．

【分析】令ai=bi，i=1，2，…n，即可判断C正确．

【解答】解：

若ai=bi，i=1，2，…n，

则A𡿨B，B𡿨A同时不成立，

故选C．

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．复数i（2﹣i）在复平面内所对应的点的坐标为　（1，2）　．

【考点】A4：

复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】利