高考数学理科一轮复习抛物线学案附答案文档格式.docx
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x=0
焦点
F
离心率
e=1
准线方程
x=-p2
x=p2
y=-p2
y=p2
范围
x≥0,
y∈R
x≤0,
y≥0,
x∈R
y≤0,
开口方向
向右
向左
向上
向下
自我检测
.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是
A.1
B.2
c.4
D.8
2.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x26+y22=1的右焦点重合,则p的值为
A.-2
c.-4
D.4
3.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是
A.y2=-8x
B.y2=8x
c.y2=-4x
D.y2=4x
4.已知抛物线y2=2px的焦点为F,点P1,P2,P3在抛物线上,且2x2=x1+x3,则有
A.|FP1|+|FP2|=|FP3|
B.|FP1|2+|FP2|2=|FP3|2
c.2|FP2|=|FP1|+|FP3|
D.|FP2|2=|FP1|&
#8226;
|FP3|
5.已知抛物线方程为y2=2px,过该抛物线焦点F且不与x轴垂直的直线AB交抛物线于A、B两点,过点A、点B分别作Am、BN垂直于抛物线的准线,分别交准线于m、N两点,那么∠mFN必是
A.锐角
B.直角
c.钝角
D.以上皆有可能
探究点一 抛物线的定义及应用
例1 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A,求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最小值时P点的坐标.
变式迁移1 已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为
A.14,-1
B.14,1
c.
D.
探究点二 求抛物线的标准方程
例2 已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点m到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程.
变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程:
抛物线的焦点F是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;
过点P.
探究点三 抛物线的几何性质
例3 过抛物线y2=2px的焦点F的直线和抛物线相交于A,B两点,如图所示.
若A,B的纵坐标分别为y1,y2,求证:
y1y2=-p2;
若直线Ao与抛物线的准线相交于点c,求证:
Bc∥x轴.
变式迁移3 已知AB是抛物线y2=2px的焦点弦,F为抛物线的焦点,A,B.求证:
x1x2=p24;
1|AF|+1|BF|为定值.
分类讨论思想的应用
例 过抛物线y2=2px焦点F的直线交抛物线于A、B两点,过B点作其准线的垂线,垂足为D,设o为坐标原点,问:
是否存在实数λ,使Ao→=λoD→?
多角度审题 这是一道探索存在性问题,应先假设存在,设出A、B两点坐标,从而得到D点坐标,再设出直线AB的方程,利用方程组和向量条件求出λ.
【答题模板】
解 假设存在实数λ,使Ao→=λoD→.
抛物线方程为y2=2px
,
则Fp2,0,准线l:
x=-p2,
当直线AB的斜率不存在,即AB⊥x轴时,
交点A、B坐标不妨设为:
Ap2,p,Bp2,-p.
∵BD⊥l,∴D-p2,-p,
∴Ao→=-p2,-p,oD→=-p2,-p,∴存在λ=1使Ao→=λoD→.[4分]
当直线AB的斜率存在时,
设直线AB的方程为y=kx-p2,
设A,B,则D-p2,y2,x1=y212p,x2=y222p,
由y=kx-p2y2=2px 得ky2-2py-kp2=0,∴y1y2=-p2,∴y2=-p2y1,[8分]
Ao→==-y212p,-y1,oD→=-p2,y2=-p2,-p2y1,
假设存在实数λ,使Ao→=λoD→,则-y212p=-p2λ-y1=-p2y1λ,解得λ=y21p2,∴存在实数λ=y21p2,使Ao→=λoD→.
综上所述,存在实数λ,使Ao→=λoD→.[12分]
【突破思维障碍】
由抛物线方程得其焦点坐标和准线方程,按斜率存在和不存在讨论,由直线方程和抛物线方程组成方程组,研究A、D两点坐标关系,求出Ao→和oD→的坐标,判断λ是否存在.
【易错点剖析】
解答本题易漏掉讨论直线AB的斜率不存在的情况,出现错误的原因是对直线的点斜式方程认识不足.
.关于抛物线的定义
要注意点F不在定直线l上,否则轨迹不是抛物线,而是一条直线.
2.关于抛物线的标准方程
抛物线的标准方程有四种不同的形式,这四种标准方程的联系与区别在于:
参数p是焦点到准线的距离,所以p恒为正数.
方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同,一次项系数的符号决定抛物线的开口方向.
3.关于抛物线的几何性质
抛物线的几何性质,只要与椭圆、双曲线加以对照,很容易把握,但由于抛物线的离心率等于1,所以抛物线的焦点弦具有很多重要性质,而且应用广泛.例如:
已知过抛物线y2=2px的焦点的直线交抛物线于A、B两点,设A,B,则有下列性质:
|AB|=x1+x2+p或|AB|=2psin2α,y1y2=-p2,x1x2=p24等.
一、选择题
.已知抛物线c:
y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与c交于A,B两点,则cos∠AFB等于
A.45
B.35
c.-35
D.-45
2.将两个顶点在抛物线y2=2px上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则
A.n=0
B.n=1
c.n=2
D.n≥3
3.已知抛物线y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是
A.相离
B.相交
c.相切
D.不确定
4.已知点A,y2=-4x的焦点是F,P是y2=-4x上的点,为使|PA|+|PF|取得最小值,则P点的坐标是
A.-14,1
B.
c.-14,-1
5.设o为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,若oA→&
AF→=-4,则点A的坐标为
A.
二、填空题
6.设圆c位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成的封闭区域内,则圆c的半径能取到的最大值为________.
7.已知A、B是抛物线x2=4y上的两点,线段AB的中点为m,则|AB|=________.
8.设抛物线y2=2px的焦点为F,点A.若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为________.
三、解答题
9.已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15,求抛物线方程.
10.已知抛物线c:
x2=8y.AB是抛物线c的动弦,且AB过F,分别以A、B为切点作轨迹c的切线,设两切线交点为Q,证明:
AQ⊥BQ.
11.已知定点F和直线l1:
y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点c.
求动点c的轨迹方程;
过点F的直线l2交轨迹c于两点P、Q,交直线l1于点R,求RP→&
RQ→的最小值.
学案53 抛物线
.相等 焦点 准线
.c
2.B [因为抛物线的准线方程为x=-2,所以p2=2,所以p=4,所以抛物线的方程是y2=8x.所以选B.]
3.B 4.c 5.B
课堂活动区
例1 解题导引 重视定义在解题中的应用,灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化,是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.
解
将x=3代入抛物线方程
y2=2x,得y=±
6.
∵6&
gt;
2,∴A在抛物线内部.
设抛物线上点P到准线l:
x=-12的距离为d,由定义知
|PA|+|PF|=|PA|+d,
当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为72,
即|PA|+|PF|的最小值为72,
此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,
∴点P坐标为.
变式迁移1 A [
点P到抛物线焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离,如图,|PF|+|PQ|=|PS|+|PQ|,故最小值在S,P,Q三点共线时取得,此时P,Q的纵坐标都是-1,点P的坐标为14,-1.]
例2 解题导引 求抛物线方程时,若由已知条件可知所求曲线是抛物线,一般用待定系数法.若由已知条件可知所求曲线的动点的轨迹,一般用轨迹法;
待定系数法求抛物线方程时既要定位,又要定量.解题关键是定位,最好结合图形确定方程适合哪种形式,避免漏解;
解决抛物线相关问题时,要善于用定义解题,即把|PF|转化为点P到准线的距离,这种“化斜为直”的转化方法非常有效,要注意领会和运用.
解 方法一 设抛物线方程为
x2=-2py,
则焦点为F0,-p2,准线方程为y=p2.
∵m在抛物线上,且|mF|=5,
∴m2=6p,m2+-3+p22=5, 解得p=4,m=±
26.
∴抛物线方程为x2=-8y,m=±
26,
准线方程为y=2.
方法二 如图所示,
设抛物线方程为x2=-2py,
则焦点F0,-p2,
准线l:
y=p2,作mN⊥l,垂足为N.
则|mN|=|mF|=5,而|mN|=3+p2,
∴3+p2=5,∴p=4.∴抛物线方程为x2=-8y,
准线方程为y=2.由m2=×
,得m=±
变式迁移2 解 双曲线方程化为x29-y216=1,
左顶点为,由题意设抛物线方程为y2=-2px且-p2=-3,∴p=6.∴方程为y2=-12x.
由于P在第四象限且对称轴为坐标轴,可设方程为y2=mx或x2=ny,代入P点坐标求得m=8,n=-1,
∴所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y.
例3 解题导引 解决焦点弦问题时,抛物线的定义有着广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质.焦点弦有以下重要性质为例):
①y1y2=-p2,x1x2=p24;
②|AB|=x1+x2+p.
证明 方法一 由抛物线的方程可得焦点坐标为Fp2,0.设过焦点F的直线交抛物线于A,B两点的坐标分别为、.
①当斜率存在时,过焦点的直线方程可设为
y=kx-p2,由y=kx-p2,y2=2px,
消去x,得ky2-2py-kp2=0.
当k=0时,方程只有一解,