备考中考压轴题专项突破训练圆附解析Word格式.docx

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∴KC∥NF

∵NK∥CF

∴四边形NKCF是平行四边形

（3）如图3，作CM⊥HO，垂足为M

设半径为r，∠EDH＝α

则∠HDC＝3α

∴∠HOC＝6α，∠EOH＝2α，∠COB＝∠GOD＝4α

∴∠EOB＝12α

∴∠EAB＝6α

∴△AEB∽△MOC

∴

＝

∴MO＝

在Rt△HMC和Rt△MOC中

HC2﹣HM2＝OC2﹣OM2

（2

）2﹣（r﹣

）2＝r2﹣（

）2

解得r1＝﹣4，r2＝

在Rt△AEB中

BE2＝AB2﹣AE2

∴BE＝

2．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是弧AB上任一点（点P不与点A、B重合），连接AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．

（1）求∠APC的度数．

（2）求证：

△PCM为等边三角形．

（3）若PA＝1，PB＝3，求△PCM的面积．

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°

，

∴∠APC＝∠ABC＝60°

；

（2）∵∠BPC＝∠BAC＝60°

∵CM∥BP，

∴∠PCM＝∠BPC＝60°

又由

（1）得∠APC＝60°

∴△PCM为等边三角形；

（3）解：

∵△ABC是等边三角形，△PCM为等边三角形，

∴∠PCA+∠ACM＝∠BCP+∠PCA，

∴∠BCP＝∠ACM，

在△BCP和△ACM中，

∴△BCP≌△ACM（SAS），

∴CM＝CP，AM＝BP＝3，

∴CM＝PM＝1+3＝4，

作PH⊥CM于H，

在Rt△PMH中，∠PMH＝60°

，PM＝4，

∴PH＝2

∴S△PCM＝

PH•CM＝

×

4×

2

＝4

．

3．以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D．

（1）如图1，过点D作⊙O的切线交AC于E，若点E为线段AC中点，求证：

AC与⊙O相切．

（2）在

（1）的条件下，若BD＝6，AB＝10，求△ABC的面积．

（3）如图2，连OC交⊙O于E，BE的延长线交AC于F，若AB＝AC，CE＝AF＝4，求CF的长．

证明：

（1）连接OD，OE，AD，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°

∴∠ADC＝90°

∵点E为线段AC中点，

∴AE＝EC，

∴AE＝DE，

在△ODE与△OAE中

∴△ODE≌△OAE（SSS），

∴∠ODE＝∠OAE，

∵⊙O的切线交AC于E，

∴∠ODE＝90°

∴∠OAE＝90°

∴OA⊥AC，

即AC与⊙O相切；

（2）如图3，连接AD，AE

∵△ABD∽△ADC

∴CD＝

，AC＝

∴S△ABC＝

（3）∵△CEF∽△ACE

∴CE2＝CF×

AC

∴42＝CF×

（CF+4）

∴CF1＝

，CF2＝

∴CF＝

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点F．连接AE．

（1）求证：

AE平分∠CAD；

（2）连接DF，交AE于点G，若⊙O的直径是12，AE＝10，求EG的长；

（3）连接CD，若∠B＝30°

，CE＝2

，求CD的长．

（1）连接OE，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠OEA，

∵BC是⊙O切线

∴OE⊥BC

∴∠OEB＝90°

，且∠ACB＝90°

∴OE∥AC

∴∠CAE＝∠AEO

∴∠CAE＝∠EAO

∴AE平分∠CAD

（2）连接DE，

∵AD是直径

∴∠AED＝90°

∵AD＝12，AE＝10

∴DE＝

＝2

∵∠EDF＝∠EAC＝∠EAD，∠AED＝∠AED

∴△DEG∽△AED

∴DE2＝AE×

EG

∴44＝10×

∴EG＝4.4

（3）如图，过点D作DP⊥BC于点P

∵∠B＝30°

，∠ACB＝90°

∴∠BAC＝60°

，AB＝2AC

∵AE平分∠CAB

∴∠CAE＝∠BAE＝30°

∴∠B＝∠EAB＝30°

∴AE＝BE，

∵∠CAE＝30°

，CE

∴AE＝2CE＝4

CE＝6，

∴AB＝2AC＝12

∵∠AED＝90°

，∠EAD＝30°

，AE＝4

∴DE＝4，AD＝8

∴BD＝AB﹣AD＝12﹣8＝4

∵PD⊥BC，∠B＝30°

，BD＝4

∴PD＝2，PB＝2

∴CP＝CE+BE﹣PB＝2

+4

﹣2

在Rt△CDP中，CD＝

5．已知：

在△MAB中，C、D分别为BM、AM上的点，四边形ABCD内

接于⊙O，连接AC，∠MCD＝∠ACD；

（1）如图①，求证：

弧AD＝弧BD；

（2）如图②，若AB为直径，CD＝

BC，求tan∠DAC值；

（3）如图③，在

（2）的条件下，E为弧CD上一点（不与C、D重合），F为AB上一点，连接EF交AC于点N，连接DN、DE，若DN＝DE，AB＝10，∠ABC﹣45°

＝∠ANF，求AN的长．

（1）∵∠MCD+∠DCB＝180°

，∠DCB+∠DAB＝180°

∴∠DAB＝∠MCD

又∵∠MCD＝∠ACD

∴∠DAB＝∠ACD

∴弧AD＝弧BD

（2）

作DG⊥MB于点G，连结BD（如图2）

∵AB为直径

弧AD＝弧BD＝45°

∴∠MCD＝∠DAB＝45°

∴DG＝GC＝

CD

又∵CD＝

BC

∴BC＝

∴DG＝GC＝BC

∴tan∠DBC＝

又∵∠DAC＝∠DBC

∴tan∠DAC＝tan∠DBC＝

（3）

连结BD交AC，EF分别为点P，点L，连结OP，OE，PE，再作OH⊥EF于点H，NM⊥AD于点M（如图3所示）

∵∠ABC﹣45°

＝∠ANF，∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝∠ABC45°

∴∠ANF＝∠DBC＝∠DAC

∴EF∥AD

∴EF⊥BD

由

（2）得tan∠DAP＝

即P为BD的中点

∴OP⊥BD

∴四边形OPLH为矩形

设HO＝d，则PL＝d．

又∵DN＝DE

∴BD垂直平分NE

∴PE＝PN

∴∠LEP＝∠LNP＝∠DAP

∴LE＝2d

又∵△OPB为等腰直角三角形

∴OP＝

BO＝

∴LH＝OP＝

∴HE＝LH+LE＝

+2d

∵OH2+HE2＝OE2

解得d＝

∴DL＝DP﹣LP＝

∴MN＝DL＝

∴AM＝2MN＝

6．如图，Rt△ABC中，∠B

＝90°

，它的内切圆分别与边BC，CA，AB相切于点D、E、F．

（1）设AB＝c，BC＝a，AC＝b，求证：

内切圆半径r＝

（a+b﹣c）

（2）若AD交圆于P，PC交圆于H，FH∥BC，求∠CPD；

（3）若r＝3

，PD＝18，PC＝27

，求△ABC各边长．

（1）证明：

设圆心为O，连接OD、OE、OF，

∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F

∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE＝AF，BD＝BF，CD＝CE

∴∠B＝∠ODB＝∠OFB＝90°

∴四边形BDOF是矩形

∵OD＝

OF＝r

∴矩形BDOF是正方形

∴BD＝BF＝r

∴AE＝AF＝AB﹣BF＝c﹣r，CE＝CD＝BC﹣BD＝a﹣r

∵AE+CE＝AC

∴c﹣r+a﹣r＝b

整理得：

r＝

（2）连接OD

∵FH∥BC

∴∠DOH＝∠ODB＝90°

∴∠CPD＝

∠DOH＝45°

（3）过点D作DG⊥PC于G

∴∠DGP＝∠DGC＝90°

∵PD＝18，∠CPD＝45°

∴PG＝DG＝

PD＝

∵PC＝

∴CG＝PC﹣PG＝

∴CE＝CD＝

∵BD＝r＝

∴BC＝BD+CD＝

设AE＝AF＝x，则AB＝x+

，AC＝x+

∵AB2+BC2＝AC2

∴（x+

）2+（

）2＝（x+

解得：

x＝

∴AB＝

∴△ABC

各边长AB＝

，BC＝

7．已知：

△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BO平分∠ABC．

△ABC为等边三角形．

（2）如图2，BD为⊙O直径，点E在AB上，EH⊥BC于点H，BD交EH、AC于点F、M，连接AF、CD，将AF绕点A逆时针旋转使点F落在CD上的点G处，求证：

BF＝CG；

（3）如图3，在

（2）的条件下，CE与FG交于点N，AG与BD交于点Q，连接MN，若3AQ＝5QG，△AFG的面积

，求MN的长．

（1）如图1，连接OA、OC，

∵OA＝OB＝OC，

∴∠OAB＝∠OBA∠OBC＝∠OCB，

又∵OB平分∠ABC，

∴∠ABO＝∠OBC＝∠OAB＝∠OCB，

∵OB＝OB，

∴△OAB≌△OBC（AAS），

∴AB＝BC，

又∵AB＝AC，

∴△ABC为等边三角形；

（2）如图2，过点A作AL⊥CD于H，

∵BD平分∠ABC，

∴BD⊥AC，∠ABM＝30°

∵BD是直径，

∴∠BCD＝90°

∴∠ACL＝30°

∵AB＝AC，

∴△ABM≌△ACL（AAS），

∴BM＝CL，AM＝AL，

又∵AF＝AG，

∴Rt△AFM≌Rt△AGL（HL），

∴FM＝GH，

∴BM﹣FM＝CL﹣GL，即BF＝CG．

（3）如图3，延长CD至S使得DS＝DA，

则△ADS为等边三角形，

∵∠ADB＝∠BDC＝∠S＝60°

∴DQ∥AS，

∴AQ：

QG＝SD：

DG＝5：

3，

∴DA：

设DA＝DC＝5k，DG＝3k，则CG＝BF＝2k，

∴EF＝FB＝2k，FH＝k，BE＝2

k，

∴BD＝2DA＝10k，FD＝8k，AB＝5

k，AE＝3

由∠ABF＝∠ACG知△ABF≌△ACG（SAS），

∴∠BAF＝∠CAG，

∴∠FAG＝∠FAC+∠CAG＝∠FAC+∠BAF＝60°

∴△AFG等边三角形，

在△DFG中，∠FDG＝60°

，DG＝3k，DF＝8k，

解△DFG得FG＝7k，

∵∠FBE＝∠FEB＝30°

∴FE＝FB，

又∵EH⊥BC，DC⊥BC，

∴可证EF∥CG，

由

（2）知EF＝FB＝CG，

∴△NEF≌△NCG（ASA），

∴CN＝EN，

又∵CM＝AM，

∴MN＝AE＝

等边△AFG的面积

FG2＝

∴FG＝7k＝7，

∴k＝1，

∴MN＝

k＝

8．如图，四边形ABCD内接于⊙O．AC为直径，AC、BD交于E，

AD+CD＝

BD；

（2）过B作AD的平行线