备考中考压轴题专项突破训练圆附解析Word格式.docx
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∴KC∥NF
∵NK∥CF
∴四边形NKCF是平行四边形
(3)如图3,作CM⊥HO,垂足为M
设半径为r,∠EDH=α
则∠HDC=3α
∴∠HOC=6α,∠EOH=2α,∠COB=∠GOD=4α
∴∠EOB=12α
∴∠EAB=6α
∴△AEB∽△MOC
∴
=
∴MO=
在Rt△HMC和Rt△MOC中
HC2﹣HM2=OC2﹣OM2
(2
)2﹣(r﹣
)2=r2﹣(
)2
解得r1=﹣4,r2=
在Rt△AEB中
BE2=AB2﹣AE2
∴BE=
2.如图,等边△ABC内接于⊙O,P是弧AB上任一点(点P不与点A、B重合),连接AP、BP,过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.
(1)求∠APC的度数.
(2)求证:
△PCM为等边三角形.
(3)若PA=1,PB=3,求△PCM的面积.
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°
,
∴∠APC=∠ABC=60°
;
(2)∵∠BPC=∠BAC=60°
∵CM∥BP,
∴∠PCM=∠BPC=60°
又由
(1)得∠APC=60°
∴△PCM为等边三角形;
(3)解:
∵△ABC是等边三角形,△PCM为等边三角形,
∴∠PCA+∠ACM=∠BCP+∠PCA,
∴∠BCP=∠ACM,
在△BCP和△ACM中,
∴△BCP≌△ACM(SAS),
∴CM=CP,AM=BP=3,
∴CM=PM=1+3=4,
作PH⊥CM于H,
在Rt△PMH中,∠PMH=60°
,PM=4,
∴PH=2
∴S△PCM=
PH•CM=
×
4×
2
=4
.
3.以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D.
(1)如图1,过点D作⊙O的切线交AC于E,若点E为线段AC中点,求证:
AC与⊙O相切.
(2)在
(1)的条件下,若BD=6,AB=10,求△ABC的面积.
(3)如图2,连OC交⊙O于E,BE的延长线交AC于F,若AB=AC,CE=AF=4,求CF的长.
证明:
(1)连接OD,OE,AD,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°
∴∠ADC=90°
∵点E为线段AC中点,
∴AE=EC,
∴AE=DE,
在△ODE与△OAE中
∴△ODE≌△OAE(SSS),
∴∠ODE=∠OAE,
∵⊙O的切线交AC于E,
∴∠ODE=90°
∴∠OAE=90°
∴OA⊥AC,
即AC与⊙O相切;
(2)如图3,连接AD,AE
∵△ABD∽△ADC
∴CD=
,AC=
∴S△ABC=
(3)∵△CEF∽△ACE
∴CE2=CF×
AC
∴42=CF×
(CF+4)
∴CF1=
,CF2=
∴CF=
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,点D在AB上,以AD为直径的⊙O与BC相切于点E,与AC相交于点F.连接AE.
(1)求证:
AE平分∠CAD;
(2)连接DF,交AE于点G,若⊙O的直径是12,AE=10,求EG的长;
(3)连接CD,若∠B=30°
,CE=2
,求CD的长.
(1)连接OE,
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA,
∵BC是⊙O切线
∴OE⊥BC
∴∠OEB=90°
,且∠ACB=90°
∴OE∥AC
∴∠CAE=∠AEO
∴∠CAE=∠EAO
∴AE平分∠CAD
(2)连接DE,
∵AD是直径
∴∠AED=90°
∵AD=12,AE=10
∴DE=
=2
∵∠EDF=∠EAC=∠EAD,∠AED=∠AED
∴△DEG∽△AED
∴DE2=AE×
EG
∴44=10×
∴EG=4.4
(3)如图,过点D作DP⊥BC于点P
∵∠B=30°
,∠ACB=90°
∴∠BAC=60°
,AB=2AC
∵AE平分∠CAB
∴∠CAE=∠BAE=30°
∴∠B=∠EAB=30°
∴AE=BE,
∵∠CAE=30°
,CE
∴AE=2CE=4
CE=6,
∴AB=2AC=12
∵∠AED=90°
,∠EAD=30°
,AE=4
∴DE=4,AD=8
∴BD=AB﹣AD=12﹣8=4
∵PD⊥BC,∠B=30°
,BD=4
∴PD=2,PB=2
∴CP=CE+BE﹣PB=2
+4
﹣2
在Rt△CDP中,CD=
5.已知:
在△MAB中,C、D分别为BM、AM上的点,四边形ABCD内
接于⊙O,连接AC,∠MCD=∠ACD;
(1)如图①,求证:
弧AD=弧BD;
(2)如图②,若AB为直径,CD=
BC,求tan∠DAC值;
(3)如图③,在
(2)的条件下,E为弧CD上一点(不与C、D重合),F为AB上一点,连接EF交AC于点N,连接DN、DE,若DN=DE,AB=10,∠ABC﹣45°
=∠ANF,求AN的长.
(1)∵∠MCD+∠DCB=180°
,∠DCB+∠DAB=180°
∴∠DAB=∠MCD
又∵∠MCD=∠ACD
∴∠DAB=∠ACD
∴弧AD=弧BD
(2)
作DG⊥MB于点G,连结BD(如图2)
∵AB为直径
弧AD=弧BD=45°
∴∠MCD=∠DAB=45°
∴DG=GC=
CD
又∵CD=
BC
∴BC=
∴DG=GC=BC
∴tan∠DBC=
又∵∠DAC=∠DBC
∴tan∠DAC=tan∠DBC=
(3)
连结BD交AC,EF分别为点P,点L,连结OP,OE,PE,再作OH⊥EF于点H,NM⊥AD于点M(如图3所示)
∵∠ABC﹣45°
=∠ANF,∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=∠ABC45°
∴∠ANF=∠DBC=∠DAC
∴EF∥AD
∴EF⊥BD
由
(2)得tan∠DAP=
即P为BD的中点
∴OP⊥BD
∴四边形OPLH为矩形
设HO=d,则PL=d.
又∵DN=DE
∴BD垂直平分NE
∴PE=PN
∴∠LEP=∠LNP=∠DAP
∴LE=2d
又∵△OPB为等腰直角三角形
∴OP=
BO=
∴LH=OP=
∴HE=LH+LE=
+2d
∵OH2+HE2=OE2
解得d=
∴DL=DP﹣LP=
∴MN=DL=
∴AM=2MN=
6.如图,Rt△ABC中,∠B
=90°
,它的内切圆分别与边BC,CA,AB相切于点D、E、F.
(1)设AB=c,BC=a,AC=b,求证:
内切圆半径r=
(a+b﹣c)
(2)若AD交圆于P,PC交圆于H,FH∥BC,求∠CPD;
(3)若r=3
,PD=18,PC=27
,求△ABC各边长.
(1)证明:
设圆心为O,连接OD、OE、OF,
∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F
∴OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,AE=AF,BD=BF,CD=CE
∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°
∴四边形BDOF是矩形
∵OD=
OF=r
∴矩形BDOF是正方形
∴BD=BF=r
∴AE=AF=AB﹣BF=c﹣r,CE=CD=BC﹣BD=a﹣r
∵AE+CE=AC
∴c﹣r+a﹣r=b
整理得:
r=
(2)连接OD
∵FH∥BC
∴∠DOH=∠ODB=90°
∴∠CPD=
∠DOH=45°
(3)过点D作DG⊥PC于G
∴∠DGP=∠DGC=90°
∵PD=18,∠CPD=45°
∴PG=DG=
PD=
∵PC=
∴CG=PC﹣PG=
∴CE=CD=
∵BD=r=
∴BC=BD+CD=
设AE=AF=x,则AB=x+
,AC=x+
∵AB2+BC2=AC2
∴(x+
)2+(
)2=(x+
解得:
x=
∴AB=
∴△ABC
各边长AB=
,BC=
7.已知:
△ABC内接于⊙O,AB=AC,BO平分∠ABC.
△ABC为等边三角形.
(2)如图2,BD为⊙O直径,点E在AB上,EH⊥BC于点H,BD交EH、AC于点F、M,连接AF、CD,将AF绕点A逆时针旋转使点F落在CD上的点G处,求证:
BF=CG;
(3)如图3,在
(2)的条件下,CE与FG交于点N,AG与BD交于点Q,连接MN,若3AQ=5QG,△AFG的面积
,求MN的长.
(1)如图1,连接OA、OC,
∵OA=OB=OC,
∴∠OAB=∠OBA∠OBC=∠OCB,
又∵OB平分∠ABC,
∴∠ABO=∠OBC=∠OAB=∠OCB,
∵OB=OB,
∴△OAB≌△OBC(AAS),
∴AB=BC,
又∵AB=AC,
∴△ABC为等边三角形;
(2)如图2,过点A作AL⊥CD于H,
∵BD平分∠ABC,
∴BD⊥AC,∠ABM=30°
∵BD是直径,
∴∠BCD=90°
∴∠ACL=30°
∵AB=AC,
∴△ABM≌△ACL(AAS),
∴BM=CL,AM=AL,
又∵AF=AG,
∴Rt△AFM≌Rt△AGL(HL),
∴FM=GH,
∴BM﹣FM=CL﹣GL,即BF=CG.
(3)如图3,延长CD至S使得DS=DA,
则△ADS为等边三角形,
∵∠ADB=∠BDC=∠S=60°
∴DQ∥AS,
∴AQ:
QG=SD:
DG=5:
3,
∴DA:
设DA=DC=5k,DG=3k,则CG=BF=2k,
∴EF=FB=2k,FH=k,BE=2
k,
∴BD=2DA=10k,FD=8k,AB=5
k,AE=3
由∠ABF=∠ACG知△ABF≌△ACG(SAS),
∴∠BAF=∠CAG,
∴∠FAG=∠FAC+∠CAG=∠FAC+∠BAF=60°
∴△AFG等边三角形,
在△DFG中,∠FDG=60°
,DG=3k,DF=8k,
解△DFG得FG=7k,
∵∠FBE=∠FEB=30°
∴FE=FB,
又∵EH⊥BC,DC⊥BC,
∴可证EF∥CG,
由
(2)知EF=FB=CG,
∴△NEF≌△NCG(ASA),
∴CN=EN,
又∵CM=AM,
∴MN=AE=
等边△AFG的面积
FG2=
∴FG=7k=7,
∴k=1,
∴MN=
k=
8.如图,四边形ABCD内接于⊙O.AC为直径,AC、BD交于E,
AD+CD=
BD;
(2)过B作AD的平行线