版高中数学人教B版选修11学案第二单元 211 椭圆及其标准方程 Word版含答案Word格式.docx

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a，b，c

的关系

类型一　椭圆的标准方程

命题角度1　求椭圆的标准方程

例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）以坐标轴为对称轴，并且经过两点A（0,2），B（，）；

（2）经过点（3，），且与椭圆＋＝1有共同的焦点．

反思与感悟　求椭圆标准方程的方法

（1）定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．

（2）待定系数法

①先确定焦点位置；

②设出方程；

③寻求a，b，c的等量关系；

④求a，b的值，代入所设方程．

特别提醒：

若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m≠n，m>

0，n>

0）．

跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是（0，－2），（0,2），并且椭圆经过点（－，）；

（2）焦点在y轴上，且经过两个点（0,2）和（1,0）；

（3）经过点P（－2，1），Q（，－2）．

命题角度2　由标准方程求参数（或其取值范围）

例2　若方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是________．

反思与感悟　

（1）利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．

（2）＋＝1表示椭圆的条件是

表示焦点在x轴上的椭圆的条件是

表示焦点在y轴上的椭圆的条件是

跟踪训练2　

（1）已知方程－＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为________．

（2）若椭圆＋＝1的焦距为2，则m＝________.

类型二　椭圆定义的应用

命题角度1　椭圆图中的焦点三角形问题

例3　如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°

，求△F1PF2的面积．

引申探究　

在例3中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连接BF2，其他条件不变，求△BPF2的周长．　

反思与感悟　

（1）对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF1|（或|PF2|）的方程求得|PF1|（或|PF2|）；

有时把|PF1|·

|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2＋|PF2|2＝（|PF1|＋|PF2|）2－2|PF1|·

|PF2|及余弦定理求出|PF1|·

|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．

（2）焦点三角形的周长等于2a＋2c.设∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积为b2tan.

跟踪训练3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°

，求△PF1F2的面积．

命题角度2　与椭圆有关的轨迹问题

例4　如图，P为圆B：

（x＋2）2＋y2＝36上一动点，点A坐标为（2,0），线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程．

反思与感悟　用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义产生椭圆的基本量a，b，c.

跟踪训练4　已知圆A：

（x＋3）2＋y2＝100，圆A内一定点B（3，0），圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．

1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是（　　）

A．椭圆B．直线

C．圆D．线段

2．椭圆4x2＋9y2＝1的焦点坐标是（　　）

A．（±

，0）B．（0，±

）

C．（±

，0）D．（±

，0）

3．设α∈（0，），方程＋＝1是表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围为（　　）

A．（0，]B．（，）

C．（0，）D．[，）

4．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m＝________.

5．焦点在坐标轴上，且经过A（－，2）和B（，1）两点，求椭圆的标准方程．

1．平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a>

|F1F2|时，轨迹是椭圆；

当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；

当2a<

|F1F2|时，轨迹不存在．

2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：

可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．

3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；

若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1（A>

0，B>

0，A≠B）求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　椭圆．

思考2　笔尖（动点）到两定点（绳端点的固定点）的距离之和始终等于绳长．

梳理　定长（大于|F1F2|）　定点　两焦点间的距离

知识点二

思考1　椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c（都是正数）恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.

思考2　只有当2a>

|F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆；

当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；

|F1F2|时，满足条件的点不存在．

梳理　F1（－c,0），F2（c,0）　F1（0，－c），F2（0，c）　c2＝a2－b2

题型探究

例1　解　

（1）方法一　当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＋＝1（a>

0），

∵A（0,2），B（，）在椭圆上，

∴

解得

这与a>

b相矛盾，故应舍去．

当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为

∴椭圆的标准方程为＋x2＝1，

综上可知，椭圆的标准方程为＋x2＝1.

方法二　设椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1（m>

0，m≠n）．

∴∴

故椭圆的标准方程为x2＋＝1.

（2）方法一　椭圆＋＝1的焦点为（－4,0）和（4,0），

由椭圆的定义可得

2a＝＋

，

∴2a＝12，即a＝6.

∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝62－42＝20，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

方法二　由题意可设椭圆的标准方程为

＋＝1，

将x＝3，y＝代入上面的椭圆方程，得

解得λ＝11或λ＝－21（舍去），

跟踪训练1　解　

（1）∵椭圆的焦点在y轴上，

∴设椭圆的标准方程为＋＝1（a>

由椭圆的定义知，

＝2，

即a＝.又c＝2，

∴b2＝a2－c2＝6.

∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.

（2）∵椭圆的焦点在y轴上，

∴设它的标准方程为＋＝1（a>

又椭圆经过点（0,2）和（1,0），

∴所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.

（3）设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m>

0，且m≠n），

∵点P（－2，1），Q（，－2）在椭圆上，

∴代入得∴

例2　（0,1）

解析　∵方程－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，

将方程改写为＋＝1，

∴有解得0<

m<

1.

跟踪训练2　

（1）（7,10）　

（2）3或5

例3　解　在椭圆＋＝1中，a＝，

b＝2，

∴c＝＝1.

又∵P在椭圆上，

∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，①

由余弦定理知，

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·

|PF2|·

cos30°

＝|F1F2|2＝（2c）2＝4，②

①式两边平方，得

|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·

|PF2|

＝20，③

③－②，得（2＋）|PF1|·

|PF2|＝16，

∴|PF1|·

|PF2|＝16（2－）．

∴S△F1PF2＝|PF1|·

sin30°

＝8－4.

解　由椭圆的定义，可得△BPF2的周长为|PB|＋|PF2|＋|BF2|

＝（|PF1|＋|PF2|）＋（|BF1|＋|BF2|）

＝2a＋2a＝4a＝4.

跟踪训练3　解　由已知得a＝2，b＝，

所以c＝＝＝1，

从而|F1F2|＝2c＝2，

在△PF1F2中，由余弦定理可得

|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·

|F1F2|cos120°

又由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝4，

所以|PF2|＝4－|PF1|，

从而有（4－|PF1|）2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，

解得|PF1|＝，

所以△PF1F2的面积S＝×

|PF1|·

|F1F2|sin120°

＝×

×

2×

＝.

例4　解　∵直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q，

∴|AQ|＝|PQ|，

∴|AQ|＋|BQ|＝|PQ|＋|BQ|＝6，

∴点Q的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，

且2a＝6,2c＝4，

∴点Q的轨迹方程为＋＝1.

跟踪训练4　解　如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，

∴|PB|＝r.

又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，

∴两圆的圆心距

|PA|＝10－r，

即|PA|＋|PB|＝10（大于|AB|）．

∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．

∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.

∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.

∴圆心P的轨迹方程为＋＝1.

当堂训练

1．D　2.C　3.C　4.25

5．解　设椭圆的标准方程为

mx2＋ny2＝1（m>

0且m≠n），

∵A（－，2）和B（，1）两点在椭圆上，

∴解得