届高考数学第二轮知识点强化练习题32Word格式.docx

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位置关系

l1：

y＝k1x＋b1

l2：

y＝k2x＋b2

A1x＋B1y＋C1＝0

A2x＋B2y＋C2＝0

平行

k1＝k2，且b1≠b2

A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0

相交

k1≠k2

特别地，

l1⊥l2⇒k1k2＝－1

A1B2≠A2B1

特别地，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0

重合

k1＝k2且b1＝b2

A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0

2.与直线y＝kx＋b平行的直线设为y＝kx＋b1，垂直的直线设为y＝－

x＋m（k≠0）；

与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线设为Ax＋By＋C1＝0，垂直的直线设为Bx－Ay＋C1＝0.求两平行直线之间的距离可直接代入距离公式，也可在其中一条直线上取一点，求其到另一条直线的距离．

2．（文）（2018·

安徽文，8）直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是（　　）

A．－2或12B．2或－12

C．－2或－12D．2或12

[解析]　考查1.直线与圆的位置关系；

2.点到直线的距离公式．

∵直线3x＋4y＝b与圆心为（1,1），半径为1的圆相切，

∴

＝1⇒b＝2或12，故选D.

（理）（2018·

辽宁葫芦岛市一模）已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为（　　）

A．（x＋1）2＋（y－1）2＝2

B．（x－1）2＋（y＋1）2＝2

C．（x－1）2＋（y－1）2＝2

D．（x＋1）2＋（y＋1）2＝2

[解析]　由题意知，圆心C既在与两直线x－y＝0与x－y－4＝0平行且距离相等的直线上，又在直线x＋y＝0上，设圆心C（a，－a），半径为r，则由已知得

，解得a＝1，∴r＝

，故选B.

[方法点拨]　1.点与圆的位置关系

①几何法：

利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：

d>

r⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；

d<

r⇔点在圆内．

②代数法：

将点的坐标代入圆的标准（或一般）方程的左边，将所得值与r2（或0）作比较，大于r2（或0）时，点在圆外；

等于r2（或0）时，点在圆上；

小于r2（或0）时，点在圆内．

2．直线与圆的位置关系

直线l：

Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）与圆：

（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r>

0）的位置关系如下表.

方法

几何法：

根据d＝

与r的大小关系　　　

代数法：

消元得一元二次方程，

根据判别式Δ的符号

r

Δ>

相切

d＝r

Δ＝0

相离

Δ<

3.求圆的方程有两类方法：

（1）几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程；

（2）代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径．

3．（文）（2018·

安徽文，6）过点P（－

，－1）的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（　　）

A.（0，

]B．（0，

]

C.[0，

]D．[0，

]

[解析]　由题意可画出示意图：

易知过点P的圆的两切线为PA与PM.PA处倾斜角为0，在Rt△POM中易知PO＝2，OM＝1，∴∠OPM＝

，∠OPA＝

，

∴∠MPA＝

，∵直线l倾斜角的范围是[0，

]．

[方法点拨]　本题还可以设出直线l的方程y＝kx＋b，将P点代入得出k与b的关系，消去未知数b，再将直线代入圆方程，利用Δ>

0求出k的范围，再求倾斜角的范围．

1．求直线的方程常用待定系数法．

2．两条直线平行与垂直的判定可用一般式进行判定，也可以用斜率判定．

山东理，9）一条光线从点（－2，－3）射出，经y轴反射后与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）

A．－

或－

B．－

C．－

D．－

[解析]　由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点（2，－3），设反射光线所在直线的斜率为k，则其直线方程为y＋3＝k（x－2），即kx－y－2k－3＝0，∵光线与圆（x＋3）2＋（y－2）2＝1相切，∴

＝1，∴12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－

或k＝－

.故选D.

4．（文）（2018·

湖南文，6）若圆C1：

x2＋y2＝1与圆C2：

x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝（　　）

A．21B．19

C．9D．－11

[答案]　C

[解析]　本题考查了两圆的位置关系．

由条件知C1：

x2＋y2＝1，C2：

（x－3）2＋（y－4）2＝25－m，圆心与半径分别为（0,0），（3,4），r1＝1，r2＝

，由两圆外切的性质知，5＝1＋

，∴m＝9.

[方法点拨]　圆与圆的位置关系

表现形式

几何表现：

圆心距d与r1、r2的关系

代数表现：

两圆方程联立组成的方程组的解的情况

r1＋r2

无解

外切

d＝r1＋r2

一组实数解

|r1－r2|<

两组不同实数解

内切

d＝|r1－r2|（r1≠r2）

内含

0≤d<

|r1－r2|（r1≠r2）

（理）一动圆过点A（0,1），圆心在抛物线y＝

x2上，且恒与定直线l相切，则直线l的方程为（　　）

A．x＝1B．x＝

C．y＝－

D．y＝－1

[解析]　∵A（0,1）是抛物线x2＝4y的焦点，又抛物线的准线为y＝－1，∴动圆过点A，圆心C在抛物线上，由抛物线的定义知|CA|等于C到准线的距离，等于⊙C的半径，∴⊙C与定直线l：

y＝－1总相切．

5．（文）（2018·

哈三中一模）直线x＋y＋

＝0截圆x2＋y2＝4所得劣弧所对圆心角为（　　）

B.

[解析]　弦心距d＝

＝1，半径r＝2，

∴劣弧所对的圆心角为

.

福建理，6）直线l：

y＝kx＋1与圆O：

x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为

”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件

[答案]　A

[解析]　圆心O（0,0）到直线l：

kx－y＋10＝0的距离d＝

，弦长为|AB|＝2

∴S△OAB＝

×

|AB|·

d＝

，∴k＝±

1，

因此当“k＝1”时，“S△OAB＝

”，故充分性成立．

“S△OAB＝

”时，k也有可能为－1，

∴必要性不成立，故选A.

[方法点拨]　1.直线与圆相交时主要利用半弦、半径、弦心距组成的直角三角形求解．

2．直线与圆相切时，一般用几何法体现，即使用d＝r，而不使用Δ＝0.

6．（2018·

太原市一模）已知在圆x2＋y2－4x＋2y＝0内，过点E（1,0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．3

B．6

C．4

D．2

[解析]　圆的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝5，圆的最长弦AC为直径2

；

设圆心M（2，－1），圆的最短弦BD⊥ME，∵ME＝

，∴BD＝2

＝2

，故S四边形ABCD＝

AC·

BD＝

2

7．（2018·

重庆理，8）已知直线l：

x＋ay－1＝0（a∈R）是圆C：

x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A（－4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝（　　）

A．2B．4

C．6D．2

[解析]　易知圆的标准方程C：

（x－2）2＋（y－1）2＝4，圆心O（2,1），又因为直线l：

x＋ay－1＝0是圆的对称轴，则该直线一定经过圆心，得知a＝－1，A（－4，－1），又因为直线AB与圆相切，则△OAB为直角三角形，|OA|＝

，|OB|＝2，|AB|＝

＝6.

8．过点P（－2,3）且与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线共有（　　）

A．1条B．2条

C．3条D．4条

[解析]　过P（－2,3）与x轴负半轴和y轴正半轴围成的三角形面积的最小值是12，所以过一、二、三象限可作2条，过一、二、四象限可作一条，过二、三、四象限可作一条，共4条．

9．（文）（2018·

江西理，9）在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为（　　）

πB.

π

C．（6－2

）πD.

[解析]　本题考查直线与圆的位置关系、抛物线的定义及数形结合求最值的数学思想．

依题意，∠AOB＝90°

，∴原点O在⊙C上，又∵⊙C与直线2x＋y－4＝0相切，设切点为D，则|OC|＝|CD|，∴圆C的圆心C的轨迹是抛物线，其中焦点为原点O，准线为直线2x＋y－4＝0.要使圆C的面积有最小值，当且仅当O、C、D三点共线，即圆C的直径等于O点到直线的距离，∴2R＝

，∴R＝

.S＝πR2＝

π.选A.

（理）两条平行直线和圆的位置关系定义为：

若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；

若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；

若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l1：

2x－y＋a＝0，l2：

2x－y＋a2＋1＝0和圆：

x2＋y2＋2x－4＝0相切，则a的取值范围是（　　）

A．a>

7或a<

－3

B．a>

或a<

－

C．－3≤a≤－

或

≤a≤7

D．a≥7或a－3

[解析]　本题主要考查直线和圆的位置关系、补集思想及分析、理解、解决问题的能力．两条平行线与圆都相交时，

由

得－

<

a<

两条直线都和圆相离时，

得a<

－3，或a>

7，所以两条直线和圆“相切”时a的取值范围－3≤a≤－

≤a≤7，故选C.

[方法点拨]　与圆有关的最值问题主要题型有：

1．圆的半径最小时，圆面积最小．

2．圆上点到定点距离最大（小）值问题，点在圆外时，最大值d＋r，最小值d－r（d是圆心到定点距离）；

点在圆内时，最大值d＋r，最小值r－d.

3．圆上点到定直线距离最值，设圆心到直线距离为d，直线与圆相离，则最大值d＋r，最小值d－r；

直线与圆相交，则最大值d＋r，最小值0.

4．P（x，y）为⊙O上一动点，求x、y的表达式（如x＋2y，x2＋y2等）的取值范围，一段利用表达式的几何意义转化．

二、填空题

10．（文）设直线mx－y＋3＝0与圆（x－1）2＋（y－2）2＝