版高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性练习理含答案文档格式.docx

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1．（质疑夯基）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）函数y＝x2，x∈（0，＋∞）是偶函数．（　　）

（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（　　）

（3）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）关于直线x＝a对称．（　　）

（4）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）关于点（b，0）中心对称．（　　）

答案：

（1）×

（2）×

　（3）√　（4）√

2．已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（　　）

A．－　　　　　　B.

C.D．－

解析：

依题意b＝0，且2a＝－（a－1），

∴b＝0且a＝，则a＋b＝.

B

3．（2015·

福建卷）下列函数为奇函数的是（　　）

A．y＝B.y＝|sinx|

C．y＝cosxD．y＝ex－e－x

对于D，f（x）＝ex－e－x的定义域为R，f（－x）＝e－x－ex＝－f（x），故y＝ex－e－x为奇函数．

而y＝的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝为非奇非偶函数．y＝|sinx|和y＝cosx为偶函数．

D

4．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝－f，且f

（1）＝2，则f（2016）＝________．

∵f（x）＝－f，

∴f（x＋5）＝f

＝－f＝f（x）

∴f（x）是以5为周期的周期函数．

∴f（2016）＝f（403×

5＋1）＝f

（1）＝2.

2

5．（2014·

课标全国Ⅱ卷）偶函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，f（3）＝3，则f（－1）＝________．

∵f（x）为偶函数，∴f（－1）＝f

（1）．

又f（x）的图象关于直线x＝2对称，

∴f

（1）＝f（3）．∴f（－1）＝3.

3

一点注意

分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．

两个结论

1．若f（x）定义域不关于原点对称，则f（x）不具有奇偶性．

2．若f（x＋a）＝－f（x）或f（x＋a）＝或f（x＋a）＝－（a是常数，且a≠0），则2a为函数f（x）的一个周期．

两个性质

1．若奇函数f（x）在x＝0处有定义，则f（0）＝0.

2．若f（x）为偶函数，则f（|x|）＝f（x）．

三种方法

判断函数的奇偶性，一般有三种方法：

1.定义法；

2.图象法；

3.性质法．

一、选择题

1．（2015·

北京卷）下列函数中为偶函数的（　　）

A．y＝x2sinx　　　　　　B．y＝x2cosx

C．y＝|lnx|D．y＝2－x

因为y＝x2是偶函数，y＝sinx是奇函数，y＝cosx是偶函数，所以A选项为奇函数，B选项为偶函数；

C选项中函数的定义域为（0，＋∞），故为非奇非偶函数；

D选项为指数函数y＝，是非奇非偶函数．

2．函数y＝log2的图象（　　）

A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称

C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称

由＞0得－1＜x＜1，

即函数定义域为（－1，1），

又f（－x）＝log2＝－log2＝－f（x），

∴函数y＝log2为奇函数．

A

3．函数f（x）＝lg|sinx|是（　　）

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数

D．最小正周期为2π的偶函数

易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，又f（－x）＝lg|sin（－x）|＝f（x）所以f（x）是偶函数，又函数y＝|sinx|的最小正周期为π，所以函数f（x）＝lg|sinx|是最小正周期为π的偶函数．

C

4．（2016·

河北五校联考）设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2，1）时，f（x）＝，则f（）＝（　　）

A．0　　　　B．1C.　　　　D．－1

因为f（x）是周期为3的周期函数，所以

f（）＝f（－＋3）＝f（－）＝4×

（－）2－2＝－1.

5．（2016·

石家庄一模）已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝2sinx，当x∈[2，＋∞）时，f（x）＝log2x，则f（－）＋f（4）＝（　　）

A．－＋2B．1

C．3D.＋2

因为f（－）＝f（）＝2sin＝，f（4）＝log24＝2，所以f（－）＋f（4）＝＋2.

6．（2014·

山东卷）对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）＝f（2a－x），则称f（x）为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是（　　）

A．f（x）＝B．f（x）＝x2

C．f（x）＝tanxD．f（x）＝cos（x＋1）

由f（x）＝f（2a－x）知f（x）的图象关于x＝a对称，且a≠0，A，C中两函数图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中当a＝kπ－1（k∈Z）时，x＝a都是y＝cos（x＋1）的图象的对称轴．

二、填空题

7．函数f（x）＝为奇函数，则a＝________．

由题意知，g（x）＝（x＋1）（x＋a）为偶函数，∴a＝－1.

－1

8．（2016·

浙江杭州七校联考）已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，当x∈[0，2）时，f（x）＝x2，若对于任意x∈R，都有f（x＋4）＝f（x），则f

（2）－f（3）的值为________．

∵由题意得f

（2）＝f（－2＋4）＝f（－2）＝－f

（2），

∴f

（2）＝0.

∵f（3）＝f（－1＋4）＝f（－1）＝－f

（1）＝－1，

∴f

（2）－f（3）＝1.

1

三、解答题

10．设f（x）是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f（1＋x）＝f（1－x），当－1≤x≤0时，f（x）＝－x.

（1）判定f（x）的奇偶性；

（2）试求出函数f（x）在区间[－1，2]上的表达式．

解：

（1）∵f（1＋x）＝f（1－x），

∴f（－x）＝f（2＋x）．

又f（x＋2）＝f（x），∴f（－x）＝f（x）．

∴f（x）是偶函数．

（2）当x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]，

则f（x）＝f（－x）＝x；

进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，

f（x）＝f（x－2）＝－（x－2）＝－x＋2.

故f（x）＝

11．设f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x.

（1）求f（π）的值；

（2）当－4≤x≤4时，求f（x）的图象与x轴所围成图形的面积．

（1）由f（x＋2）＝－f（x）得，

f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），

所以f（x）是以4为周期的周期函数，

∴f（π）＝f（－1×

4＋π）＝f（π－4）＝－f（4－π）＝－（4－π）＝π－4.

（2）由f（x）是奇函数与f（x＋2）＝－f（x），得：

f[（x－1）＋2]＝－f（x－1）＝f[－（x－1）]，

即f（1＋x）＝f（1－x）．

故知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称．

又当0≤x≤1时，f（x）＝x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如下图所示．

当－4≤x≤4时，f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×

＝4.

函数的概念与性质

函数是中学数学的核心概念，函数的概念与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查．备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强数形结合思想、分类讨论思想．函数与方程思想的应用意识．

强化点1　函数的定义域与解析式

（1）（2015·

湖北卷）函数f（x）＝＋lg的定义域为（　　）

A．（2，3）　　　　　　　B．（2，4]

C．（2，3）∪（3，4]D．（－1，3）∪（3，6]

（2）（2014·

湖南卷）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f

（1）＋g

（1）＝（　　）

A．－3B．－1

C．1D．3

（1）法一　当x＝3和x＝5时，函数均没有意义，故可以排除选项B，D；

当x＝4时，函数有意义，可排除选项A，故选C.

法二　由得故函数定义域为（2，3）∪（3，4]，故选C.

（2）法一　∵f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，∴f（－x）－g（－x）＝－x3＋x2＋1，又由题意可知f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x），

∴f（x）＋g（x）＝－x3＋x2＋1，则f

（1）＋g

（1）＝1.

法二　令f（x）＝x2＋1，g（x）＝－x3，显然符合题意，

∴f

（1）＋g

（1）＝12＋1－13＝1.

（1）C　

（2）C

1．本例

（1）考查了函数定义域的求法，绝对值不等式和分式不等式的求解，注重考查运算求解能力，在利用数轴求交集时，考查了数形结合思想的应用．

2．在求解

（2）时，巧妙地沟通未知与已知的内在联系，先求出f（x）＋g（x）的表达式，进而求出f

（1）＋g

（1）的值，解法简捷明快．

　【变式训练】　（2016·

武汉一模）若函数f（x）＝的定义域为R，则a的取值范围是________．

由题意知2x2＋2ax－a－1≥0恒成立，

∴x2＋2ax－a≥0恒成立，

∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0.

[－1，0]

强化点2　函数的值域与最值

　　（2015·

浙江卷）已知函数f（x）＝

则f（f（－3））＝________，f（x）的最小值是________．

∵f（－3）＝lg[（－3）2＋1]＝lg10＝1，

∴f（f（－3））＝f

（1）＝1＋2－3＝0.

当x≥1时，x＋－3≥2－3＝2－3，当且仅当x＝，即x＝时等号成立，

此时f（x）min＝2－3<

0；

z当x<

1时，lg（x2＋1）≥lg（02＋1）＝0，此时f（x）min＝0.所以f（x）的最小值为2－3.

0　2－3

本题运用分段函数问题分段求解的方法，体现了分类讨论思想的应用．

唐山一中月考）已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m则为（　　）

A.B.

C.D.

∵－2≤x≤2，y2＝4＋2，

∴当x＝0时，M＝2，当x＝±

2时，m＝2.

∴＝＝.

强化点3　函数性质的综合应用（多维探究）

高考