总结数列通项公式方法总结文档格式.docx
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此题型主要通过让学生观察、试验、归纳推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生的思维能力。
二、已知数列的前n项和Sn
已知数列的前n项和Sn，求通项公式an，主要通过an与Sn的关系转化，即an-{S1（n＝1）Sn-Sn――1（n≥2）
例2、已知数列{an}的前n项和Sn=2n+3，求an
Sn=a1+a2+……+an――1+an
Sn――1＝a1+a2+……+an――1
上两式相减得Sn-Sn――1=an
解：
当n=1时，a1=S1=5
当n≥2时，an=Sn-Sn――1=2n+3-（2n――1+3）=2n――1
∵n=1不适合上式
∴an={5（n=1）2n――1（n≥2）
三、已知an与Sn关系
已知数列的第n项an与前n项和Sn间的关系：
Sn=f（an），求an。
一般的思路是先将Sn与an的关系转化为an与an――1的关系，再根据与的关系特征分为如下几种类型。
不同的类型，要用不同的方法解决。
（1）an=an――1+k。
数列属等差数列，直接代公式可求通项公式。
例3、已知数列{an}，满足a1=3，an=an――1+8，求an。
由已知条件可知数列是以3为首项，8为公差的等差数列，直接代公式可求得an=8n-5。
（2）an=kan――1（k为常数）。
数列属等比数列，直接代公式可求通项公式。
例4、数列{an}的前n项和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+）
求数列{an}的通项公式。
根据an与Sn的关系，将an+1=2Sn+1转化为an与an+1的关系。
由an+1=2Sn+1
得an=2Sn-1+1（n≥2）
两式相减，得an+1-an=2an
∴an+1=3an（n≥2）
∵a2=2Sn+1=3
∴a2=3a1
∴{an}是以1为首项，3为公比的等比数列
∴an=3n-1
（3）an+1=an+f（n），用叠加法
思路：
令n=1，2，3，……，n-1
得a2=a1+f
（1）
a3=a2+f
（2）
a4=a3+f（3）
……
+）an=an――1+f（n-1）
an=a1+f
（1）+f
（2）+…+f（n-1）
例5、若数列{an}满足a1=2，an+1=an+2n
则{an}的通项公式=（）
∵an+1=an+2n
∴a2=a1+2×
1
a3=a2+2×
2
a4=a3+2×
3
+）an=an――1+2（n-1）
an=a1+2（1+2+3+…+n-1）
=2+2×
（1+n-1）（n-1）
=n2-n+2
（4）an+1=f（n）an，用累积法
得a2=f
（1）a1a3=f
（2）a2a4=f（3）a3
×
）an=f（n-1）an-1
an=a1・f
（1）・f
（2）・f（3）……f（n-1）
例6、若数列{an}满足a1=1，an+1=2n+an，则an=（）
∵an+1=2nan∴a2=21a1
a3=22a2a4=23a3
）an=2n――1・an――1
an=2・22・23・……・2n-1a1=2n（n-1）/2
（5）an=pan――1+q，an=pan――1+f（n）
an+1=an+p・qn（pq≠0），
an=p（an――1）q，an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）
（p、q、r为常数）
这些类型均可用构造法或迭代法。
①an=pan――1+q（p、q为常数）
构造法：
将原数列的各项均加上一个常数，构成一个等比数列，然后，求出该等比数列的通项公式，再还原为所求数列的通项公式。
将关系式两边都加上x
得an+x=Pan――1+q+x
=P（an――1+q+x/p）
令x=q+x/p，得x=q/p-1
∴an+q/p-1=P（an――1+q/p-1）
∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1为首项，P为公比的等比数列。
∴an+q/p-1=（a1+q/p-1）Pn-1
∴an=（a1+q/p-1）Pn-1-q/p-1
迭代法：
an=p（an――1+q）=p（pan-2+q）+q
=p2（（pan-3+q）+pq+q……
例7、数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-n（n∈N+）求an
解析：
由Sn=2an-n得Sn-1=2an-1-（n-1）（n≥2,n∈N+）
两式相减得an=2an-1+1
两边加1得an+1=2（an-1+1）（n≥2，n∈N+）
构造成以2为公比的等比数列{an+1}
②an=Pan-1+f（n）
例8、数列{an}中，a1为常数，且an=-2an-1+3n-1（≥2，n∈N）
证明：
an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n・3・2n-1/5
这道题是证明题，最简单的方法当然是数学归纳法，现用构造法和迭代法来证明。
方法一：
构造公比为-2的等比数列{an+λ・3n}
用比较系数法可求得λ=-1/5
方法二：
构造等差型数列{an/（-2）n}。
由已知两边同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3・（-3/2）n，用叠加法处理。
方法三：
迭代法。
an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1
=（-2）2an-2+（-2）・3n-2+3n-1
=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）・3n-2+3n-1
=（-2）3an-3+（-2）・3n-3+（-2）・3n-2+3n-1
=（-2）n-1a1+（-2）n-1・3+（-2）n-3・+32+……+（-2）・3n-2+3n-1
=（-2）n-1a1+3n+（-1）n-2・3・2n-1/5
③an+1=λan+p・qn（pq≠0）
（�。
┑宝�=qn+1时，等式两边同除以，就可构造出一个等差数列{an/qn}。
例9、在数列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。
在an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1
∴{an/2n}是以a1/2=2为首项，1为公差的等差数列。
（��）当λ≠q时，等式两边同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再构造成等比数列求bn，从而求出an。
例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an
从an=3an-1+2n-1两边都除以2n，
得an/2n=3/2an-1/2n-1+1/2
令an/2n=bn
则bn=3/2bn-1+1/2
④an=p（an――1）q（p、q为常数）
例11、已知an=1/aan――12，首项a1，求an。
将已知两边取对数
得lgan=2lgan――1-lga
令bn=lgan
得bn=2bn-1-lga，再构造成等比数列求bn，从而求出an。
迭代法
an=1/aa2n――1=1/a（1/aa2n――2）2=1/a3a4n――2
=1/a3（1/aa2n――3）4=1/a7・an――38=a・（an――3/a）23
=……=a・（a1/a）2n――1
⑤an+1=ran/pan+q（p、q、r为常数，pr≠0，q≠r）
将等式两边取倒数，得1/an+1=q/r・1/an+p/r，再构造成等比数列求an。
例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an
∵an+1=an/an+2
∴1/an+1=2・1/an+1
两边加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）
∴{1/an+1}是以1/an+1=2为首项，2为公比的等比数列
∴1/an+1=2×
2n-1=2n
∴an=1/2n-1
以上罗列出求数列通项公式的解题思路虽然很清晰，但是一般考生对第三项中的5种类型题用构选法和迭代法都比较困难的。
遇到此情况，可转化为第一种类型解决，即从an与Sn的关系式求出数列的前几项，用观察法求an。
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