学年数学人教A版选修11优化练习综合检测文档格式.docx
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y
B．x2＝
C．y2＝－9x或x2＝
D．x2＝－
y或y2＝9x
P（1，－3）在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y2＝2px（p>
0）或x2＝－2py（p>
0）代入P（1，－3）得y2＝9x或x2＝－
y.
4．已知函数f（x）＝x3－3x2－9x，则函数f（x）的单调递增区间是（ ）
A．（3,9）B．（－∞，－1），（3，＋∞）
C．（－1,3）D．（－∞，3），（9，＋∞）
∵f（x）＝x3－3x2－9x，
∴f ′（x）＝3x2－6x－9＝3（x2－2x－3）．
令f ′（x）>
0知x>
3或x<
－1.
B
5．已知双曲线
－
＝1（a>
0，b>
0）的一条渐近线方程为y＝
x，则该双曲线的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
由题意得
＝
，
e2＝
＝1＋
.
A
6．设a，b，c均为正实数，则“a>
b”是“ac>
bc”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
根据充分性和必要性的概念判断．因为a，b，c是正实数，所以a>
b等价于ac>
bc，即“a>
bc”的充要条件，故选C.
7．已知命题p：
∃x∈（－∞，0），2x<
3x；
命题q：
∀x∈R，f（x）＝x3－x2＋6的极大值为6，则下面选项中真命题是（ ）
A．（綈p）∧（綈q）B．（綈p）∨（綈q）
C．p∨（綈q）D．p∧q
由2x<
3x得（
）x<
1，当x<
0时，（
）x>
1，所以命题p为假命题．綈p为真，选B.
8．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点（－1，a＋2）处切线的斜率为8，则a＝（ ）
A．9B．6C．－9D．－6
y′＝4x3＋2ax，由导数的几何意义知在点（－1，a＋2）处的切线斜率k＝y′
＝－4－2a＝8，解得a＝－6.
9．双曲线
＝1与椭圆
＋
0，m>
b>
0）的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
双曲线的离心率e
，椭圆的离心率e
，由已知e
e
＝1，即
×
＝1，化简，得a2＋b2＝m2.
10.已知f（x）的导函数f ′（x）图象如图所示，那么f（x）的图象最有可能是图中的（ ）
∵x∈（－∞，－2）时，f ′（x）<
0，∴f（x）为减函数；
同理f（x）在（－2,0）上为增函数，（0，＋∞）上为减函数．
11．已知函数y＝f（x），数列{an}的通项公式是an＝f（n）（n∈N*），那么“函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增”是“数列{an}是递增数列”的（ ）
当函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增，“数列{an}是递增数列”一定成立．当函数y＝f（x）在[1,2]上先减后增，且f
（1）<
f
（2）时，数列{an}也可以单调递增，因此“函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增”是“数列{an}是递增数列”的充分不必要条件，故选A.
12．双曲线
＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．（1,3）B．（1,3]
C．（3，＋∞）D．[3，＋∞）
由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|＝4a，
∵|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，
∴6a≥2c，
≤3，
故双曲线离心率的取值范围是（1,3]，选B.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）
13．函数f（x）＝x3－3a2x＋2a（a>
0）的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．
∵f ′（x）＝3x2－3a2
＝3（x－a）（x＋a）（a>
0），
∴f ′（x）>
0时，得：
x>
a或x<
－a，
f ′（x）<
0时，得－a<
x<
a.
∴当x＝a时，f（x）有极小值，x＝－a时，f（x）有极大值．
由题意得：
解得a>
1.
（1，＋∞）
14．若命题“∃x∈R，使得x2＋（1－a）x＋1<
0”是真命题，则实数a的取值范围是________．
由题意可知，Δ＝（1－a）2－4>
0，
解得a<
－1或a>
3.
（－∞，－1）∪（3，＋∞）
15．过抛物线C：
y2＝4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B两点，若A到抛物线准线的距离为4，则|AB|＝________.
设A（xA，yA），B（xB，yB），∵y2＝4x，∴抛物线准线为x＝－1，F（1,0），又A到抛物线准线的距离为4，
∴xA＋1＝4，∴xA＝3，∵xAxB＝
＝1，∴xB＝
∴|AB|＝xA＋xB＋p＝3＋
＋2＝
16.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________．
由双曲线的方程可知a＝1，c＝
∴||PF1|－|PF2||＝2a＝2，
∴|PF1|2－2|PF1||PF2|＋|PF2|2＝4，
∵PF1⊥PF2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝（2c）2＝8，
∴2|PF1||PF2|＝4，
∴（|PF1|＋|PF2|）2＝8＋4＝12，
∴|PF1|＋|PF2|＝2
2
三、解答题（本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知c>
0，设命题p：
函数y＝cx为减函数．命题q：
当x∈
时，函数f（x）＝x＋
>
恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围．
由命题p为真知，0<
c<
1，
由命题q为真知，2≤x＋
≤
要使此式恒成立，需
<
2，即c>
若p或q为真命题，p且q为假命题，
则p、q中必有一真一假，
当p真q假时，
c的取值范围是0<
c≤
；
当p假q真时，c的取值范围是c≥1.
综上可知，c的取值范围是
18．（12分）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c（x∈[－1,2]），且函数f（x）在x＝1和x＝－
处都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
（1）∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′（x）＝3x2＋2ax＋b.由题易知，
解得
（2）由
（1）知，f′（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），
∵当x∈
时，f′（x）>
0；
时，f′（x）<
当x∈（1,2]时，f′（x）>
0.
∴f（x）的单调递增区间为
和（1,2]．
19．（12分）已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
（1）若直线l的倾斜角为60°
，求|AB|的值；
（2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
（1）因为直线l的倾斜角为60°
，如图．所以其斜率k＝tan60°
，又F（
，0）．
所以直线l的方程为y＝
（x－
）．
联立
消去y得
x2－5x＋
＝0.
若设A（x1，y1），B（x2，y2）．则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋
＋x2＋
＝x1＋x2＋p.
∴|AB|＝5＋3＝8.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋
＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－
，所以M到准线的距离等于3＋
20．（12分）已知函数f（x）＝
·
ex－f（0）·
x＋
x2（e是自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的解析式和单调区间；
（2）若函数g（x）＝
x2＋a与函数f（x）的图象在区间[－1,2]上恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围．
（1）由已知得f ′（x）＝
ex－f（0）＋x，
令x＝1，得f ′
（1）＝f ′
（1）－f（0）＋1，
即f（0）＝1.
又f（0）＝
，所以f ′
（1）＝e.
从而f（x）＝ex－x＋
x2.
显然f ′（x）＝ex－1＋x在R上单调递增且f ′（0）＝0，
故当x∈（－∞，0）时，f ′（x）<
当x∈（0，＋∞）时，f ′（x）>
∴f（x）的单调递减区间是（－∞，0），
单调递增区间是（0，＋∞）．
（2）由f（x）＝g（x）得a＝ex－x.
令h（x）＝ex－x，则h ′（x）＝ex－1.
由h ′（x）＝0得x＝0.
所以当x∈（－1,0）时，h ′（x）<
当x∈（0,2）时，h ′（x）>
∴h（x）在（－1,0）上单调递减，在（0,2）上单调递增．
又h（0）＝1，h（－1）＝1＋
，h
（2）＝e2－2且h（－1）<
h
（2）．
∴两个图象恰有两个不同的交点时，实数a的取值范围是
21．（13分）如图，已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
，点A，B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点E（3,0），设点P，Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求
的取值范围．
（1）由离心率e＝
得
.∴a＝2b.①
∵原点O到直线AB的距离为
直线AB的方程为bx－ay＋ab＝0，∴
.②
将①代入②，得b2＝9，∴a2＝36.
则椭圆C的标准方程为
＝1.
（2）∵EP⊥EQ，∴
＝0，
∴
（
）＝
设P（x，y），则y2＝9－
2＝（x－3）2＋y2
＝x2－6x＋9＋9－
（x－4）2＋6.
∵－6≤x≤6.∴6≤
（x－4）2＋6≤81，
则
的取值范围为[6,81]．
22．（13分）在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量p是网箱个数x的一次函数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为16吨；
如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为10
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