中考数学真题汇编专题5阅读理解问题文档格式.docx
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答案 y=x2-2x-3
二、解答题
3.0分)如果抛物线y=ax2+bx+c过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线.
(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目:
请你写出一条定点抛物线的一个解析式,小敏写出了一个答案:
y=2x2+3x-4.请你写出一个不同于小敏的答案.
(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:
已知定点抛物线y=-x2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式,请你解答.
解
(1)不唯一,如y=x2-2x+2.
(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b,c+b2+1),且-1+2b+c+1=1,∴c=1-2b,
∵顶点纵坐标c+b2+1=2-2b+b2=(b-1)2+1,
∴当b=1时,c+b2+1最小,
抛物线顶点纵坐标的值最小;
此时c=-1,∴抛物线的解析式为y=-x2+2x.
4.分)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形,如何计算它的面积?
奥地利数学家皮克(G.Pick,1859~1942年)证明了格点多边形的面积公式:
S=a+b-1,其中a表示多边表内部的格点数,b表示多边形边界上的格点数,S表示多边形的面积.如图,a=4,b=6,S=4+×
6-1=6.
(1)请在图甲中画一个格点正方形,使它的内部只含有4个格点,并写出它的面积;
(2)请在图乙画一个格点三角形,使它的面积为,且每条边上除顶点外无其它格点.
解
(1)画法不唯一,如图①或图②,面积分别为9,5.
(2)画法不唯一,如图③,图④等.
5.0分)在边长为1的小正方形组成的方格纸中,若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上,这样的多边形称为格点多边形.记格点多边形内的格点数为a,边界上的格点数为b,则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb-1,其中m,n为常数.
(1)在下面的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形,依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形;
(2)利用
(1)中的格点多边形确定m,n的值.
解
(1)答案不唯一
(2)三角形:
a=4,b=6,S=6;
平行四边形:
a=3,b=8,S=6;
菱形:
a=5,b=4,S=6;
任选两组数据代入S=ma+nb-1,解得m=1,n=.
6.分)如图1,⊙O的半径为r(r>0),若点P′在射线OP上,满足OP′·
OP=r2,则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”.
如图2,⊙O的半径为4,点B在⊙O上,∠BOA=60°
,OA=8,若点A′,B′分别是点A,B关于⊙O的反演点,求A′B′的长.
解 因为OA′·
OA=16,且OA=8,所以OA′=2,
同理可知,OB′=4,即B点的反演点B′与B重合.
设OA交⊙O于点M,连结B′M.
因为∠BOA=60°
,OM=OB′,所以△OB′M为正三角形,
又因为点A′为OM的中点,
所以A′B′⊥OM.
根据勾股定理,得:
OB′2=OA′2+A′B′2,即16=4+A′B′2,解得:
A′B′=2.
B组
一、选择题
1.)定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”.如“947”就是一个“V数”.若十位上的数字为2,则从1,3,4,5中任选两数,能与2组成“V数”的概率是( )
A.B.C.D.
解析 从1,3,4,5中任选两数共有12种可能情况,其中属于“V数”的有6种可能情况,
百位数字
个位数字
1
3
4
5
1,3
1,4
1,5
3,1
3,4
3,5
4,1
4,3
4,5
5,1
5,3
5,4
所以从1,3,4,5中任选两数,能与2组成“V数”的概率是,故选C.
答案 C
2.分)对于实数x,我们规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3,若[]=5,则x的取值可以是( )
A.40B.45C.51D.56
解析 法一 ∵将x=40代入[]得[]=4,选项A错误;
将x=45代入[]得[]=4,选项B错误;
将x=51代入[]得[]=5,选项C正确;
将x=56代入[]得[]=6,选项D错误.故选C.
法二 由[]=5得解得46≤x<56,故选C.
二、填空题
3.分)如图,抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1,A2,A3,…An,….将抛物线y=x2沿直线L:
y=x向上平移,得一系列抛物线,且满足下列条件:
①抛物线的顶点M1,M2,M3,…Mn,…都在直线L:
y=x上;
②抛物线依次经过点A1,A2,A3,…An,…,则顶点M2014的坐标为(________________).
解析 ∵抛物线的顶点M1,M2,M3,…Mn,…都在直线L:
y=x上,∴设平移后的抛物线为y=(x-m)2+m,由题意可知抛物线y=(x-m)2+m经过点A201420142==4027或m=0(不合题意舍去),∴M2014(4027,4027),故答案为:
(4027,4027).
答案 (4027,4027)
4.阅读下面材料:
小腾遇到这样一个问题:
如图1,在△ABC中,点D在线段BC上,∠BAD=75°
,∠CAD=30°
,AD=2,BD=2DC,求AC的长.
图1 图2
小腾发现,过点C作CE∥AB,交AD的延长线于点E,通过构造△ACE,经过推理和计算能够使问题得到解决(如图2).
请回答:
∠ACE的度数为________,AC的长为________.
图3
参考小腾思考问题的方法,解决问题:
如图3,在四边形ABCD中,∠BAC=90°
,∠ADC=75°
,AC与BD交于点E,AE=2,BE=2ED,BC的长为________.
解析 ∵CE∥AB,∴∠BAC+∠ACE=180°
.
∵∠BAD=75°
,
∴∠ACE=180°
-∠BAC=180°
-75°
-30°
=75°
,∠E=∠BAD=75°
∴∠E=∠ACE,
∴AC=AE.
∵CE∥AB,∴△ABD∽△ECD,∴=.
∵BD=2DC,∴AD=2ED.
∵AD=2,∴ED=1,∴AC=AE=AD+ED=
2+1=3.
过点D作DF⊥AC于点F,
∵∠BAC=90°
,∴AB∥DF,
∴△ABE∽△FDE.
∴===2,
∴EF=1,AF=AE+EF=3.
∵∠CAD=30°
,∴DF=AF·
tan30°
=,AD=2DF=2.
∵∠ADC=75°
,∴∠ACD=180°
-∠ADC-∠CAD=75°
∴AD=AC,∴AC=2.
∵=2,∴AB=2.
在Rt△ABC中,由勾股定理得BC==2.
答案 75°
2 2
5.★分)我们规定:
将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”,“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”(例如圆的直径就是它的“面径”).已知等边三角形的边长为2,则它的“面径”长可以是________(写出1个即可).
解析 如图,
(1)等边三角形的高AD是它的一条面径,AD=×
2=;
(2)当EF∥BC时,EF为它的一条面径,此时,=,解得EF=.
所以,它的面径长可以是,.
答案 或
三、解答题
6.)若两个二次函数图象的顶点,开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1,和y2=ax2+bx+5,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求当0≤x≤3时,y2的最大值.
解
(1)答案不唯一,如顶点是原点,开口向上的二次函数,y=x2和y=2x2;
(2)把点A(1,1)坐标代入到y1=2x2-4mx+2m2+1中,
得2×
12-4m×
1+2m2+1=1,
解得m=1.
∴y1=2x2-4x+3,
∵y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5=(a+2)x2+(b-4)x+8,
又∵y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+1,其顶点为(1,1),且y1+y2与y1为“同簇二次函数”,
∴
解得
∴y2=5x2-10x+5=5(x-1)2,
当x≥1时,y随x的增大而增大,当x=3时,y=5×
(3-1)2=20,
当x<1时,y随x的增大而减小,当x=0时,y=5×
(0-1)2=5,
故当0≤x≤3时,y2的最大值是20.
7.0分)联想三角形外心的概念,我们可引入如下概念.
定义:
到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心.
举例:
如图1,若PA=PB,则点P为△ABC的准外心.
应用:
如图2,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=AB,求∠APB的度数.
探究:
已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探究PA的长.
解 应用:
若PB=PC,则∠PCB=∠PBC.
∵CD为等边三角形的高,∴AD=BD,∠PCB=30°
∴∠PBD=∠PBC=30°
,∴PD=DB=AB.
与已知PD=AB矛盾,∴PB≠PC.
若PA=PC,同理可得PA≠PC.
若PA=PB,由PD=AB,得PD=BD=AD,因此点A,P,B在以AB为直径的圆上,∴∠APB=90°
故∠APB=90°
若PB=PC,设PA=x,
则x2+32=(4-x)2,∴x=,即PA=.
若PA=PC,则PA=2.
若PA=PB,在Rt△PAB中,不可能.
故PA=2或.
8.4分)定义:
P,Q分别是两条线段a和b上任意一点,线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离.
已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标系中四点.
(1)根据上述定义,当m=2,n=2时,如图1,线段BC与线段OA的距离是_____