圆锥曲线中的最值和范围问题Word格式文档下载.docx

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4．已知双曲线

的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为：

（）

（A）

（B）

（C）

（D）

5．已知抛物线y2=4x,过点P（4,0）的直线与抛物线相交于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点，则y12+y22的最小值是.

6．设椭圆方程为

，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足

，点N的坐标为

，当l绕点M旋转时，求

（1）动点P的轨迹方程；

（2）

的最小值与最大值.

高考要考什么

【考点透视】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。

【热点透析】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：

（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；

（2）不等式（组）求解法：

利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：

把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。

代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；

（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。

直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。

因此，它们的应用价值在于：

①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；

②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；

（6）构造一个二次方程，利用判别式0。

突破重难点

【范例1】已知动点P与双曲线

的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cosF1PF2的最小值为

．

（１）求动点P的轨迹方程；

（２）若已知D（0,3），M、N在动点P的轨迹上且

，求实数的取值范围．

【范例2】给定点A（-2,2），已知B是椭圆

上的动点，F是右焦点，当

取得最小值时，试求B点的坐标。

【范例3】已知P点在圆x2+（y-2）2=1上移动，Q点在椭圆

上移动,试求|PQ|的最大值。

【范例4】已知△OFQ的面积为

，

（1）设

，求OFQ正切值的取值范围；

（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），

当

取得最小值时，

求此双曲线的方程。

自我提升

1．设AB是过椭圆

中心的弦，椭圆的左焦点为F1（-c，0），则△F1AB的面积最大为（）

A．bcB．abC．acD．b2

2．已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆

上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（）

A．10B．

D．

3．已知双曲线

，过其右焦点F的直线l交双曲线于AB，若|AB|=5，则直线l有（）

A．1条B．2条C．3条D．4条

4．已知点P是抛物线y2=4x上一点，设P到此抛物线的准线的距离为d1,到直线x+2y+10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为（）

A．5B．4C．

（D）

5．设F是椭圆

的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为____

6．抛物线y2=2x上到直线x-y+3=0距离最短的点的坐标为__________

7．如图，已知A、B是椭圆

的两个顶点，

C、D是椭圆上两点，且分别在AB两侧，则四边形ABCD

面积的最大值是_______

8．如图3，抛物线y2=4x的一段与椭圆

的一段围成封闭图形，点N（1，0）在x轴上，又A、B两点分别在抛物线及椭圆上，且AB//x轴，

求△NAB的周长l的取值范围。

9．求实数m的取值范围，使抛物线y2=x上存在两点关于直线y=m（x-3）对称

10．已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为kPA和kPB，且满足kPAkPB=t（t≠0且t≠－1）.

（１）求动点P的轨迹C的方程；

（２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，求t的取值范围．

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（C）

的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（B）

3．抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是（A）

（B）

5．已知抛物线y2=4x,过点P（4,0）的直线与抛物线相交于A（x1,y1）,B（x2,y2）两点，则y12+y22的最小值是32.

【专家解答】

（1）法1：

直线l过点M（0，1）设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.

①

记A（x1,y1）,B（x2,y2），由题设可得点A、B的坐标（x1,y1）、（x2,y2）是方程组

②

的解.将①代入②并化简得（4+k2）x2+2kx-3=0，

所以

于是

设点P的坐标为（x,y）,则

消去参数k得4x2+y2-y=0③

当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，

所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0

解法二：

设点P的坐标为（x,y），因A（x1,y1）,B（x2,y2）在椭圆上，所以

④

⑤

④—⑤得

时，有

⑥

并且

⑦将⑦代入⑥并整理得4x2+y2-y=0⑧

当x1=x2时，点A、B的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P的坐标为

（0，0）也满足⑧，所以点P的轨迹方程为

（2）由点P的轨迹方程知

故当

取得最小值，最小值为

时，

取得最大值，最大值为

讲解　（１）由题意c2=5．设|PF1|+|PF2|=2a（

），由余弦定理,得

又

·

，

当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1||PF2|取最大值，

此时cosF1PF2取最小值

，令

解得a2=9，

，∴b2=4，故所求P的轨迹方程为

.

（２）设N（s,t），M（x,y），则由

，可得（x，y-3）=（s，t-3），

故x=s，y=3+（t-3）.

∵M、N在动点P的轨迹上，

且

消去s可得

，解得

又|t|2，∴

故实数的取值范围是

【点晴】为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：

判别式法、均值不等式法、有界性法等等．

解析：

因为椭圆的

，所以

，而

为动点B到左准线的距离。

故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义

为定值

其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为

所以，当

取得最小值时，B点坐标为

【点晴】在处理许多与焦点有关的距离和差最值问题时，常常用圆锥曲线的定义化折为直，是一种简便而有效的好方法。

解：

故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|的最大值.设Q（x，y），则|O1Q|2=x2+（y-4）2①

因Q在椭圆上,则x2=9（1-y2）②

将②代入①得|O1Q|2=9（1-y2）+（y-4）2

因为Q在椭圆上移动，所以-1y1，故当

此时

【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；

2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。

取得最小值时，求此双曲线的方程。

（1）设OFQ=

（2）设所求的双曲线方程为

∴

，∴

又∵

当且仅当c=4时，

最小，此时Q的坐标是

或

，所求方程为

【点晴】当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值，求函数最值的常用方法有：

一元二次函数法、基本不等式法、判别式法、定义法、函数单调性法等。

1．设AB是过椭