江苏专用学年高中数学阶段质量检测一导数及其应用苏教版选修22Word格式文档下载.docx

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，故D错误．故选B.

2．（2019·

全国卷Ⅲ）已知曲线y＝aex＋xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x＋b，则（　　）

A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1

C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1

选D　∵y′＝aex＋lnx＋1，

∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1，

∴切线方程为y－ae＝（ae＋1）（x－1），

即y＝（ae＋1）x－1.

又∵切线方程为y＝2x＋b，

∴

即a＝e－1，b＝－1.

3．函数f（x）＝x2－ln2x的单调递减区间是（　　）

A.

B.

C.

，

D.

选A　因为f′（x）＝2x－

，所以f′（x）≤0等价于

解得0<

x≤

.

4.已知函数f（x）的导函数f′（x）＝a（x－b）2＋c的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（　　）

选D　由导函数图象可知，当x<

0时，函数f（x）递减，排除A、B；

当0<

x<

x1时，f′（x）>

0，函数f（x）递增．因此，当x＝0时，f（x）取得极小值，故选D.

5.已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），给出以下说法：

①函数f（x）在区间（1，＋∞）上是增函数；

②函数f（x）在区间（－1,1）上无单调性；

③函数f（x）在x＝－

处取得极大值；

④函数f（x）在x＝1处取得极小值．

其中正确的说法的序号是（　　）

A．①③B．②③

C．①④D．②④

选C　由图象上可以发现，当x∈（1，＋∞）时，xf′（x）>

0，于是f′（x）>

0，故f（x）在区间（1，＋∞）上是增函数，故①正确；

当x∈（－1,1）时，f′（x）<

0，所以函数f（x）在区间（－1,1）上是减函数，②错误，③也错误；

1时，f（x）在区间（0,1）上是减函数，而在区间（1，＋∞）上是增函数，所以函数f（x）在x＝1处取得极小值，④正确．故选C.

6．若函数f（x）＝

（x>

1）有最大值－4，则实数a的值是（　　）

A．1B．－1

C．4D．－4

选B　由函数f（x）＝

1），则f′（x）＝

，要使得函数f（x）有最大值－4，则a<

0，

则当x∈（1,2）时，f′（x）>

0，函数f（x）在（1,2）上单调递增，

当x∈（2，＋∞）时，f′（x）<

0，函数f（x）在（2，＋∞）上单调递减，

所以当x＝2时，函数f（x）取得最大值，即f（x）max＝f

（2）＝

＝－4，解得a＝－1，满足题意，故选B.

7．若函数f（x）＝

ax3＋

ax2－2ax＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（　　）

B.

D.

∪

选D　∵f′（x）＝ax2＋ax－2a＝a（x＋2）（x－1），

∴要使函数f（x）的图象经过四个象限，则f（－2）f

（1）<

0，即

<

0，解得a<

－

或a>

.∴实数a的取值范围是

8．若不等式x4－4x3＞2－a对任意实数x都成立，那么实数a的取值范围是（　　）

A．a＞2B．a＞29

C．a为一切实数D．a不存在

选B　由题意得a＞－x4＋4x3＋2对任意实数x都成立．

令f（x）＝－x4＋4x3＋2，

所以f′（x）＝－4x3＋12x2＝－4x2（x－3），

当x＜3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

当x＞3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

所以f（x）max＝f（3）＝29，

所以a＞f（x）max＝29，故选B.

9．已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x0使得f（x0）＝f′（x0），则称x0是f（x）的一个“巧值点”．给出四个函数：

①f（x）＝x2，②f（x）＝e－x，③f（x）＝lnx，④f（x）＝tanx，其中有“巧值点”的函数的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

选B　根据题意，依次分析所给的函数：

①若f（x）＝x2，则f′（x）＝2x，由x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，①符合要求；

②若f（x）＝e－x，则f′（x）＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，②不符合要求；

③f（x）＝lnx，则f′（x）＝

，若lnx＝

，利用数形结合可知该方程存在实数解，③符合要求；

④f（x）＝tanx，则f′（x）＝

，即sinxcosx＝1，变形得sin2x＝2，无解，④不符合要求，故选B.

10．若函数f（x）＝－

eax（a>

0，b>

0）的图象在x＝0处的切线与圆x2＋y2＝1相切，则a＋b的最大值为（　　）

A．4B．2

C．2D.

选D　函数的导数为f′（x）＝－

eax·

a，

所以f′（0）＝－

e0·

a＝－

即在x＝0处的切线斜率k＝－

又f（0）＝－

e0＝－

所以切点坐标为

所以切线方程为y＋

＝－

x，即ax＋by＋1＝0.

圆心到直线ax＋by＋1＝0的距离d＝

＝1，

即a2＋b2＝1，所以a2＋b2＝1≥

即a＋b≤

当且仅当a＝b＝

时等号成立，

所以a＋b的最大值是

，故选D.

11.有一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为（　　）

A．1mB.

m

C．2mD．3m

选C　设OO1为xm，底面正六边形的面积为Sm2，帐篷的体积为Vm3.则由题设可得，正六棱锥底面边长为

（m），于是S＝6×

（

）2＝

（8＋2x－x2）．

V＝

（8＋2x－x2）（x－1）＋

（8＋2x－x2）＝

（8＋2x－x2）[（x－1）＋3]＝

（16＋12x－x3）（1<

4），

V′＝

（12－3x2），令V′＝0，解得x＝2或x＝－2（舍去）．

当1<

2时，V′>

0；

当2<

4时，V′<

0.

所以当x＝2m时，V最大．故选C.

12．若函数f（x）＝

，且0<

x1<

x2<

1，a＝

，b＝

，则a，b的大小关系是（　　）

A．a>

bB．a<

b

C．a＝bD．a，b的大小不能确定

选A　f′（x）＝

.令g（x）＝xcosx－sinx，则g′（x）＝－xsinx＋cosx－cosx＝－xsinx.

1时，g′（x）<

0，∴函数g（x）在（0,1）上是减函数，

∴g（x）＜g（0）＝0，即f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0,1）上是减函数．

∵0<

1，∴f（x1）>

f（x2），即a>

b.故选A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）

13．已知函数y＝f（x）对任意的x∈R都有f（1－x）－2f（x）＝x2－1，则f（－1）＝________，曲线y＝f（x）在点（－1，f（－1））处的切线方程为________________．

由题可得

解得f（x）＝－x2＋

x＋

.所以f（－1）＝－1，f′（x）＝－2x＋

，所以f′（－1）＝

，所以曲线y＝f（x）在点（－1，f（－1））处的切线方程为y＋1＝

（x＋1），即8x－3y＋5＝0.

答案：

－1　8x－3y＋5＝0

14．函数f（x）＝3x－4x3在[0,1]上的最大值为________．

f′（x）＝3－12x2，

令f′（x）＝0，则x＝－

（舍去）或x＝

f（0）＝0，f

（1）＝－1，f

∴f（x）在[0,1]上的最大值为1.

1

15．若x＝－2函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex的极值点，则f′（－2）＝________，f（x）的极小值为________．

由函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex可得f′（x）＝（2x＋a）ex＋（x2＋ax－1）ex，因为x＝－2是函数f（x）的极值点，所以f′（－2）＝（－4＋a）e－2＋（4－2a－1）e－2＝0，即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1.所以f′（x）＝（x2＋x－2）ex.令f′（x）＝0可得x＝－2或x＝1.当x＜－2或x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数，当－2＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数，所以当x＝1时函数f（x）取得极小值，极小值为f

（1）＝（12－1－1）×

e1＝－e.

0　－e

16．已知f（x）定义域为（0，＋∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜－xf′（x），则不等式f（x＋1）＞（x－1）·

f（x2－1）的解集是________．

令g（x）＝x·

f（x），

则g′（x）＝f（x）＋xf′（x）＜0.

∴g（x）在（0，＋∞）上为减函数．

又∵f（x＋1）＞（x－1）f（x2－1），

∴（x＋1）f（x＋1）＞（x2－1）f（x2－1），

⇒

∴x＞2.

{x|x＞2}

三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）已知f（x）＝log3

，x∈（0，＋∞），是否存在实数a，b，使f（x）同时满足下列两个条件：

①f（x）在（0,1）上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数；

②f（x）的最小值是1.

若存在，求出a，b，若不存在，请说明理由．

解：

设g（x）＝

，则g′（x）＝

∵f（x）在（0,1）上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数，

∴g（x）在（0,1）上是减函数，在[1，＋∞）上是增函数，

又∵f（x）的最小值为1，则g（x）的最小值为3，

解得

经检验，当a＝1，b＝1时，f（x）满足题设的两个条件．

18．（本小题满分12分）设函数f（x）＝xea－x＋bx，曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y＝（e－1）x＋4.

（1）求a，b的值；

（2）求f（x）的单调区间．

（1）因为f（x）＝xea－x＋bx，

所以f′（x）＝（1－x）·

ea－x＋b.

依题设，得

即

解得a＝2，b＝e.

（2）由

（1）知f（x）＝xe2－x＋ex.

由f′（x）＝e2－x（1－x＋ex－1）及e2－x>

0知，

f′（x）与1－x＋ex－1同号．

令g（x）＝1－x＋ex－1，则g′（x）＝－1＋ex－1.

所以当x∈（－∞，1）时，g′（x）<

g（x）在区间（－∞，1）上单调递减；

当x∈（1，＋∞）时，g′（x）>

g（x）在区间（1，＋∞）上单调递增．

所以g

（1）＝1是g（x）在区间（－∞，＋∞）上的最小值．

所以g（x）>

0，x∈（－∞，＋∞）．

所以f′（x）>

0，x∈（－∞，＋