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几何原本数学论文4100字

（一）：

《几何原本》对徐光启数学编译的影响论文

摘要：

晚明时期，中国科学家徐光启与意大利传教士利玛窦（Matteo，Ricci）合译西方科学巨著《几何原本》。

对该书内容的通晓，使徐光启意识到西方数学中逻辑推理的重要性，为其数学编译打下坚实基础。

分析徐光启之后编译的数学书籍可知，他已把逻辑推理方法应用于数学编译。

此外，他还把中西解题方法相同的题目放在一起比较，但未能进一步指明逻辑推理的长处，实为憾事。

关键词：

徐光启；《几何原本》；数学编译；影响；逻辑推理

徐光启字子先，号玄扈，1562年生于上海。

他自幼好学，20岁中秀才，32岁中进士，后成为翰林院庶吉士。

他不仅是我国学贯古今的科学家，更是一位关心国计民生的爱国人士。

1600年，徐光启与意大利传教士利玛窦相晤于南京，二人由相交到相慕，成为共同研习西学的好友。

利玛窦经过一段时间的摸索，认为“以学术收揽人心，人心即附，信仰必定随之。

”[1]42为此，他提出与徐光启合译《几何原本》的前六卷，即平面几何部分。

二人合译的版本为克拉维乌斯（Clavius，Christoph）于1574年编纂的拉丁文注释本。

据利玛窦所述，他之所以选中徐光启合译此书，是因为“东西文理又自绝殊，字义相求，仍多阙略，了然于口，尚可勉图，肆笔为文，便成艰涩矣。

嗣是以来，屡逢志士，左提右契，而每患作辍，三进三止”，徐光启“既自精心，长于文笔”[2]10，是翻译《几何原本》的不二人选。

值得一提的是，在徐光启之前，瞿太素（1549—？

）也曾跟随利玛窦翻译《几何原本》的第一卷，但从该书译本的重要性及对后世的影响而言，徐光启乃翻译此书的第一人。

[3]528-529对《几何原本》的翻译，不仅使徐光启意识到逻辑推理的重要性，也令其通晓书中的数学术语和几何原理，为他进一步编译其它数学书籍提供便利。

一、重视逻辑推理

“用一系列定理的方式，把初等几何学知识整理成一个完备的体系”与“中国古代数学著作的叙述方法相去甚远”[4]895-896，令翻译此书的徐光启逐渐意识到逻辑推理的重要性。

他感慨道：

“三代而上为此业者盛，有元元本本师傅曹习之学，而毕丧于祖龙之焰。

汉以来多任意揣摩，如盲人射的，虚发无效，或依拟形似，如持萤火象，得首失尾。

至于今而此道尽废，有不得不废者矣。

”徐光启为中国古算“尽废”感到惋惜，并总结中国近数百年来荒废的原因：

“其一为名理之儒士苴天下之事；其一为妖妄之术谬言数有神理，能知来藏往，靡所不效。

卒于神者无一效，而实者亡一存”。

于是，“往昔圣人所以制世利用之大法，曾不能得之士大夫间，而术业政事，尽逊于古初远矣。

”[5]2776他认为中国古代数学之所以衰弱甚至停滞，是因为宋明理学乃空谈心性之学，将数学引入神秘主义而非实用主义。

他指出《几何原本》，“其言道言理，皆返本跖实，绝去一切虚玄幻妄之说”，可以廓清笼罩中国传统数学的神秘主义。

[5]2775所以在翻译该书之初，徐光启即决定完全按照原书的编撰顺序：

“题论之首，先标界说；次设公论、题论所据；次乃具题，题有本详，有作法，有推论，先之所征，必后之所恃。

”[2]9书中这种逻辑推演的方法把徐光启引入有理有据的治学之路。

正如徐宗泽所说：

“夫明末清初西士所施于吾国学术界上之影响，不在某种学问而在于治学之精神，即以科学之方法研究学问”[6]5-6。

此后，徐光启便把逻辑推理应用于数学编译中。

二、编译数学书籍

继翻译《几何原本》后，徐光启又编译了其它数学书籍，包括《测量法义》、《测量全义》、《测量异同》、《勾股义》。

其中，《测量法义》摘自克拉维乌斯的《实用几何学》是介绍应用欧式几何原理测量物体的书籍；《测量全义》由徐光启督修、罗雅谷撰订而成，属于基本五目中的“法原”部和“法器”部；《测量异同》乃徐光启比较中西测量方法之内容。

书中的测量方法分别出自明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》与徐光启的《测量全义》；《勾股义》是徐光启借《几何原本》之“义”（定理）证明中国勾股之“法”（方法）的书籍。

分析这些书籍可发现，翻译《几何原本》提高了徐光启数学编译的效率。

首先，这些书籍中包含很多中国古代数学没有的术语，其中很多术语与汉译《几何原本》中的相同。

因而，对于相同的术语，徐光启无需再做翻译，可直接引用汉译《几何原本》中的术语：

如《测量法义》中“造器”篇提到的“对角线”[7]6来自于汉译《几何原本》第三十六界：

“凡平行线方形，若于两对角作一直线，其直线为对角线”[7]38；《测量全义》的第三题中提到的“直角”[7]14来自于汉译《几何原本》中的第十界：

“直线垂于横线之上，若两角等，必成两直角……”以及“若甲乙线至丙丁上，则乙之左右作两角相等，为直角……”[2]22-23。

除《测量法义》和《测量全义》外，类似的例子在《测量异同》、《勾股义》中还有很多，此处不一一列举。

其次，《几何原本》中的许多原理与这些书籍中的原理相通甚至是相同，这降低了徐光启理解和翻译这些书籍的难度，继而提高了他的翻译速度。

值得关注的是，徐光启对逻辑推理方法的应用在这些书籍中彰显无遗。

为了让读者更易理解书籍中的几何原理，徐光启特意标注了这些原理的出处。

以《测量法义》为例，在“论景”中“戊甲己、己甲乙、乙甲丁、丁甲戊既四皆直角，即等。

而对直角之各圆界，亦等。

”[7]8此处标明引自汉译《几何原本》“三卷廿六”，即“等圆之乘圆分角或在心、或在界，等，其所乘之圆分亦等”[7]267；再如“乙与丁两直角等，而乙甲戊与己，相对之两内角亦等。

”[7]13此处标明引自汉译《几何原本》“一卷廿八”，“两直线，有他直线交加其上，若外角与同方相对之内角等，或同方两内角与两直角等，即两直线必平行”[7]120。

《勾股义》也多处引用了汉译《几何原本》中的原理，如他在该书的前三题，“勾股求弦”、“勾线求股”、“股弦求勾”标注“以上三论，俱见一卷四十七题”，即汉译《原本》的第一卷第四十七题，并附言“凡言某卷某题者，皆引《几何原本》为证。

”[7]59类似例子，还见于《测量全义》。

从徐光启这种有理有据的论证方式可看出，他已把逻辑推理方法应用于数学编译。

三、缺乏深入分析

翻译《几何原本》的经历，让徐光启开始重视乃至应用逻辑推理方法，这是该书对徐光启数学编译带来的重要影响之一。

《测量异同》是徐光启向世人展示西方逻辑推理之长的重要著作。

遗憾的是，徐光启未就这一长处做进一步分析与阐述。

以书中的“以表测高”为例，此题分别罗列了中西方两种求解方法。

但徐光启未就两者的推导步骤做具体分析。

现将中西方测量方法分别以题一与题二的方式罗列如下：

题一：

出自明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》，如图一。

欲测甲乙之高，去乙二十五尺，立表于丙，为丁丙，高一丈。

却后五尺，立于戊，使目在己。

戊至己，高四尺。

视表末丁，与甲为一直线。

次以丁丙表高十尺，减目至足丁辛四尺，得表目之较辛丙六尺，以乘乙丙二十五尺，得百五十尺为实。

以丙戊五尺为法之，得三十尺，加表十尺，得甲乙高四尺。

[7]44

题二：

出自《测量法义》，如图二。

法曰：

欲测甲乙之高，依地平线，任立一表于丙，为丁丙，与地平为直角。

次依地平线，退立于戊，使目在己，视表末丁与物顶甲为一直线。

若表仅与身等或小于身，则俯首移就之可也。

次量目至足之数，次想从己目至甲乙上之庚点，作直线，与乙戊平行，而分丁丙表（相交）于辛，即己辛丁、己庚甲为等角形，则等丙戊之辛己，与辛丁之比例，若等乙戊之庚己与庚甲也。

次量丙戊为第一数，辛丁为第二数，乙戊为第三数，依法算之，即得甲庚之高。

加目至足之数己戊，即得甲乙之高。

[7]28

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图一

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图二

从两题的论述可知，双方的最终目的均是求甲乙之长，解题的关键均是求得甲庚的长度，用到的几何原理均为汉译《几何原本》中的第六卷第四题定理：

“凡等角三角形，其在等角旁之各两腰线相与为比例，必等，而对等角之边为相似之边”[2]418，用公式表达为pagenumber_ebook=102，pagenumber_book=96其中“丁辛”、“庚己”的长度可以通过测量的方式得到，关键是如何得到“辛己”也就是“丙戊”的长度。

从此二题的阐述来看，题一更简短，但题二更符合逻辑也更易被理解。

对于如何得到“丙戊”的长度，题一的阐述为“（以丙为起点）却后五尺，立于戊，使目在己。

戊至己，高四尺。

视表末丁，与甲为一直线”，该题未经过推导就直接道出“丙戊”的长度为五尺，并且要同时满足“己”、“丁”、“甲”三点在一直线，并不合理。

而题二的阐述为“（以丙为起点）次依地平线，退立于戊，使目在己，视表末丁与物顶甲为一直线。

若表仅与身等或小于身，则俯首移就之可也。

次量目至足之数……”。

此处指出为使“己”、“丁”、“甲”三点在同一直线上，需参与测量的人员沿着乙丙这条直线前后移动，直至此三点在一直线上，然后再来测量“丙戊”与“己戊”的距离。

虽然这两道题求解的推导公式相同，正如徐光启所说：

“此旧法（第一题）以甲壬丁为大三角形，以丁辛己为小三角形。

今译（第二题）以甲庚己为大三角形，丁辛己为小三角形，其实同法同论”，但后者更符合推导逻辑，也更易被所用之人掌握与应用。

遗憾的是，徐光启未在此书中指明中西数学在重“法”与重“义”上的巨大差异。

此种情况同样出现于《测量异同》中的第三题、第四题、第五题和第六题。

[7]40-50

结语

由以上内容可知，徐光启对《几何原本》前六卷的通晓与熟练运用，不仅极大地提高了他数学编译的效率，也促使其把逻辑推理方法贯通于中国传统数学。

虽然徐光启未能在《测量异同》中深入阐明逻辑推理方法的长处，但这一遗憾也在情理之中。

在《几何原本》传入之前，中国不曾有如此系统的几何学著作，尤其是与我国传统数学著作的截然不同理论体系。

对身处于数学衰落时期的徐光启而言，能够把中西数学放在一起比较已属一大创举。

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（二）：

从数学教育的角度比较分析《九章算术》与《几何原本》论文

摘要：

众所周知，《九章算术》和《几何原本》是现代数学思想的两大源泉，虽然它们都是古代数学名著，但是在风格上却存在较大的差异性。

《九章算术》是中国古代第一部数学专著，而《几何原本》则是古希腊数学家欧几里得的一部数学著作。

本文基于数学教育视野，对这两本书进行了对比分析，通过各方面的了解和剖析，结合当代我国数学教育现状，得到教育改革的启示。

关键词：

数学教育《九章算术》《几何原本》比较

《九章算术》是“算经十书”中最重要的一种，该书内容非常丰富，且系统化总结并概括了战国、秦朝，以及汉时期的数学成就。

此外，该书在数学领域也取得了杰出的成就，首次提出分数、负数及加减运算法则等。

概括来说，《九章算术》是一本综合性的数学历史著作，该书的出现标志着中国古代数学体系的基本形成。

《几何原本》在数学界又被称为《原本》，该书为欧洲数学的发展奠定了良好的基础，且被广泛认为是历史上最成功的教科书，书中主要总结并归纳了平面几何的五大公设。

除此之外，《几何原本》在西方也占据着相当重要的位置，仅次于《圣经》。

这两本著名的数学著作对数学的发展都发挥着非常重要的作用，但是二者还存在诸多差异。

本文对这两本书从成书背景、体例、内容等方面进行研究后，得出二者的差异所在。

在此基础上，对其数学教育观、数学教育目的、数学教材及数学文化也进行了详细论述，基于现代数学视野，对现代数学教育改革提供启示，以供参考。

一、成书背景的对比

《九章算术》是中国古代的数学专著，也是“算经十书”中最重要的一种。

众所周知，我国春秋战国时期，诸子百家争鸣，众多学派相继出现，在形式逻辑研究方面，相比其他学派而言，墨家比较突出，但之后形式逻辑在我国并没有太大的进展，而《九章算术》恰巧问世。

该书成书最迟是在东汉前期，但内容的定型却在西汉后期，这时候出现，就注定其呈现出非逻辑结构的特点。

中国古代数学专著都是在不断总结生活现象的过程中逐渐衍生而来的，《九章算术》也不例外，该书主要强调的是数学知识的应用，在不断地总结、归纳、推理、论证的过程中，最终发展成演绎推理。

《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造于一体的不朽之作，整本书的内容是把人们公认的一些事实归纳成定义和公理，将形式逻辑的方法运用于教学研究。

通过这些定义和公理对几何图形的性质进行探讨，最终建立起一套数学理论体系，简称几何学。

该书的成书与《九章算术》有着不同的背景，当时古希腊正处于形式逻辑的发展时期，形式逻辑的思想方法被运用到了数学及其应用领域中，逐渐形成了强大的数学思潮，之后欧几里得不断研究和探索，将其用演绎法进行归类和整理，编写成《几何原本》一书。

这本书也是欧式几何的奠基之作。

此书主要囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——前后四百多年的数学发展历史。

从内容上分析，该书保存了古希腊早期的几何学理论，之后欧几里得对其进行了系统化的整理，使其成为现代数学发展的思想源泉。

总体来说，《几何原本》开创了古典数论的研究，创立了欧几里得几何学体系，成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。

二、《九章算术》与《几何原本》在体例方面的对比

研究这两本书发现，其在体例方面存在一定的差异性，表现在：

《九章算术》是按照问题的性质和解法具体分类的，总共九类，且每一类为一章节，每一章节又分多个小类，每一小类都有解题步骤，包括数学公式、推理等。

这种结构体系，是以算法为中心，根据算法组建理论体系，表现出了中国特有的数学思想。

《几何原本》在结构方面与《九章算术》存在较大的差异性，该书共十三篇，主要包含两大部分。

第一部分中，有4条作图公法，36条定义，19条公设和公理，为全书的推理基础。

第二部分主要是题，其中每一道题都相当于一条定理，后面附注证明过程和推论过程，还有少部分题后面有图解。

总之，《几何原本》主要是将逻辑推理进行系统化归纳，形成数学体系中的逻辑演绎系统。

三、《九章算术》和《几何原本》的内容对比

从内容方面对比发现，《九章算术》和《几何原本》也存在较大的差异性。

其中《九章算术》的内容呈现出丰富性和多样性特征。

它主要是对从春秋至秦汉时代社会生产过程中各方面累积的教学知识的汇总。

整本书包含246题，涉及生活的各个领域，故被称为“数学百科全书”。

此外，该书中的代数水平和算术水平相当高，但在几何图形方面，却与《几何原本》存在较大的差距。

《几何原本》是代数几何化，且数论问题都是通过严格的逻辑证明来具体解决的，它为几何学的发展奠定了理论基础。

《几何原本》的诞生，标志着几何学已经成为一个有着比较严密的理论体系和科学方法的数学学科。

除此之外，《几何原本》还对勾股定理做了详细证明。

由此可见，这两本数学名著各有优势。

四、《九章算术》和《几何原本》对当代数学教育改革的启示

关于《九章算术》和《几何原本》对当代数学教学改革和发展的启示，需从数学教育观、数学教育目的、数学教材、数学文化几大方面来了解。

1.数学教育观

数学教育观主要包含两大类，一类是动态数学教育观，认为数学是一项人类活动，也是一个动态学科，活动之间存在着一定的关联性，内部要素之间也呈现出动态发展趋势；另一类是静态数学教育观，认为数学是一个永恒不变的学科，其内容主要包含数学定理、公式。

《九章算术》表现出动态教育观，主要是由于其丰富的内容都是在不断总结和积累后得到的。

《几何原本》表现出静态教育观，认为教学活动是一种程序化过程，即数学概念-定理-公式-例题-练习，整个过程中，学生占被动地位，一味地接受教师的灌输。

相对来说，这种教育观比较死板。

由此可见，为了促进现代数学教育的发展，要主张学生理论与实践相结合，从理论中解释实践，从实践中总结理论，打破传统的教学模式，实施并创新情境化教学模式。

2.数学教育目的

《九章算术》强调数学与实际生活之间的联系，体现出数学学习的实用性特征，通过学习能够促使学生将理论与实践相结合。

而《几何原本》强调学生要关注内部的逻辑结构，体现出数学学习的抽象性和严密性特征，该书在一定程度上忽视了数学的应用意识和对学生数学综合能力的培养。

其实这两本书都有自己的优越性和局限性，我们在研究现代数学学科时，应将二者相结合，取长补短，从而达到提升数学教育的目的。

3.数学教材

从上文中了解到，《九章算术》是一部数学百科全书，自隋唐时数学教育制度建立以来，该书已经成为国家统一审定的数学课程之一，且逐步形成了以该书为中心的古代数学课程体系。

而《几何原本》则过度强调形式化的数学教学，忽视了与实际相结合。

这两本书在教材上都有一定的优越性和局限性，我们要认真分析，相互借鉴，为推动现代化数学学科的改革和发展不断努力。

4.数学文化

《九章算术》和《几何原本》存在诸多方面的差异，其根本原因在于中西方文化之间存在一定的差异性，从而形成了不同的数学思想方法体系。

所以，在进行现代化数学学科改革时，要对这两本书的数学文化多加重视，教师在教学过程中应该多引导学生去了解和领悟数学本身所蕴含的文化内容。

在此基础上，结合数学内容，逐步渗透思想方法、意识精神等，让学生真正体会到数学学科中蕴含的各种魅力。

五、结语

综上，数学是一门研究数量、结构、空间、变化及信息等概念的综合学科，也属于一种形式科学。

为了促进数学学科的改革和发展，通过上文对《九章算术》和《几何原本》的比较得到的启示是：

要引导学生理论联系实际，通过实践进行总结、归纳，了解数学的本质，从而达到提高数学素养的目的。

笔者希望更多有关人士参与到《九章算术》和《几何原本》的比较研究中来，为推动现代化数学学科的改革做出更大的贡献。