高中数学新学案同步 必修2苏教版 第2章 平面解析几何初步 212 第1课时Word文件下载.docx

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思考1　已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b），直线l的方程是什么？

答案　将k及点（0，b）代入直线方程的点斜式得y＝kx＋b.

思考2　方程y＝kx＋b，表示的直线在y轴上的截距b是距离吗？

b可不可以为负数和零？

答案　y轴上的截距b不是距离，可以是负数和零．

梳理

斜截式

斜率k和直线在y轴上的截距b

方程式

y＝kx＋b

1．对直线的点斜式方程y－y0＝k（x－x0）也可写成k＝.（　×

　）

2．直线y－3＝k（x＋1）恒过定点（－1,3）．（　√　）

3．直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.（　×

类型一　直线的点斜式方程

例1　写出下列直线的点斜式方程．

（1）经过点A（2,5），且其倾斜角与直线y＝2x＋7相等；

（2）经过点C（－1，－1），且与x轴平行；

（3）经过点D（1,2），且与x轴垂直．

解　

（1）由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y－5＝2（x－2）．

（2）由题意知，直线的斜率k＝tan0°

＝0，所以直线的点斜式方程为y－（－1）＝0.

（3）由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程．

反思与感悟　

（1）求直线的点斜式方程

已知定点P（x0，y0），若经过点P的直线斜率存在且为k，则其方程为y－y0＝k（x－x0）；

若斜率k为0，则其方程为y－y0＝0；

若斜率不存在，则其方程为x＝x0.

（2）点斜式方程y－y0＝k（x－x0）可表示过点P（x0，y0）的所有直线，但直线x＝x0除外．

跟踪训练1　

（1）经过点（－3,1）且平行于y轴的直线方程是________．

（2）一直线l1过点A（－1，－2），其倾斜角等于直线l2：

y＝x的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________．

答案　

（1）x＝－3　

（2）y＋2＝（x＋1）

解析　

（1）∵直线与y轴平行，∴该直线斜率不存在，

∴直线方程为x＝－3.

（2）∵直线l2的方程为y＝x，

设其倾斜角为α，则tanα＝，∴α＝30°

，

那么直线l1的倾斜角为2×

30°

＝60°

则l1的点斜式方程为y＋2＝tan60°

（x＋1），

即y＋2＝（x＋1）．

类型二　直线的斜截式方程

例2　

（1）倾斜角为60°

，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________________________________________________________．

（2）直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1的倾斜角相等且与l2在y轴上的截距相等，则l的斜截式方程为______________．

答案　

（1）y＝x＋3或y＝x－3　

（2）y＝－2x－2

解析　

（1）∵直线的倾斜角是60°

∴其斜率k＝tan60°

＝，

∵直线与y轴的交点到原点的距离是3，

∴直线在y轴上的截距是3或－3，

∴所求直线方程是y＝x＋3或y＝x－3.

（2）由斜截式方程知直线l1的斜率k1＝－2，

又直线l与l1的倾斜角相等，∴kl＝－2，

由题意知l2在y轴上的截距为－2，

∴直线l在y轴上的截距b＝－2，

由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.

反思与感悟　

（1）斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；

当k＝0时，y＝b表示与x轴平行（或重合）的直线．

（2）截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横（纵）坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．

跟踪训练2　已知直线l在y轴上的截距为－2，根据条件，分别写出直线l的斜截式方程．

（1）直线l经过点M（m，n），N（n，m）（m≠n）；

（2）直线l与坐标轴围成等腰三角形．

解　

（1）由题意得直线l的斜率为k＝＝－1，

所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2.

（2）因为直线l在y轴上的截距为－2，

所以l与y轴的交点为P（0，－2），

而直线l与坐标轴围成等腰三角形，

又是直角三角形，

所以l与x轴的交点为Q（－2,0）或（2,0）．

由过两点的斜率公式得k＝－1或1，

所以直线l的斜截式方程为y＝－x－2或y＝x－2.

类型三　直线方程的简单应用

例3　求经过点A（－3,4），且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．

解　方法一　（点斜式）

设直线方程为y－4＝k（x＋3）（k≠0）．

当x＝0时，y＝4＋3k，

当y＝0时，x＝－－3，

∴3k＋4－－3＝12，即3k2－11k－4＝0，

∴k＝4或k＝－.

故直线方程为y－4＝4（x＋3）或y－4＝－（x＋3），

即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

方法二　（斜截式）

设直线方程为y＝kx＋b，

∵直线经过点A（－3,4），

∴3k－b＋4＝0.①

∵直线在两坐标轴上的截距和为12，

∴b＋＝12.②

由①②得或

故直线方程为y＝4x＋16或y＝－x＋3，

反思与感悟　利用待定系数法求直线方程

（1）已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率．

（2）已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定y轴上的截距．

跟踪训练3　已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的直线方程．

解　设直线方程为y＝x＋b，则当x＝0时，y＝b；

当y＝0时，x＝－6b.由已知可得·

|b|·

|－6b|＝3，

即6|b|2＝6，∴b＝±

1.

故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.

1．直线x－y＋m＝0的倾斜角为________．

答案　60°

2．已知直线l的方程为2x－5y＋10＝0，且在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则|a＋b|＝________.

答案　3

解析　直线l的方程为2x－5y＋10＝0，令y＝0，得a＝－5，令x＝0，得b＝2，所以|a＋b|＝|－5＋2|＝3.

3．过点（1,0）且在y轴上的截距为－的直线方程是______________．

答案　x－2y－1＝0

4．已知直线l过点P（2,1），且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，则直线l的方程为________．

答案　x－2y＝0

解析　由x－4y＋3＝0，得y＝x＋，其斜率为，

故所求直线l的斜率为，又直线l过点P（2,1），

所以直线l的方程为y－1＝（x－2），即x－2y＝0.

5．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P（3,3），求直线l的方程．

解　直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°

，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°

，其斜率不存在．又直线过定点P（3,3），所以直线l的方程为x＝3.

1．建立点斜式方程的依据是：

直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有＝k，此式是不含点P1（x1，y1）的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k（x－x1）才是整条直线的方程．当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.

2．斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过（0，b）点、斜率为k的直线y－b＝k（x－0），即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；

等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数．如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.

一、填空题

1．若直线y＝1的倾斜角为α，则α＝________.

答案　0°

2．若直线y＝ax－1的倾斜角是30°

，则a＝________.

答案　

3．经过点（－1,1），斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线的点斜式方程是_______．

答案　y－1＝（x＋1）

解析　由题意知，直线的斜率为，过点（－1,1），故直线方程为y－1＝（x＋1）．

4．直线y＝k（x－2）＋3必过定点，该定点坐标为________．

考点　

题点　

答案　（2,3）

解析　直线方程改写为y－3＝k（x－2），则过定点（2,3）．

5．已知直线l经过点（－2,2）且与直线y＝x＋6在y轴上有相同的截距，则直线l的方程为____________．

答案　2x－y＋6＝0

解析　由题意设直线l的方程为y＝kx＋6，将（－2,2）代入y＝kx＋6，得k＝2.所以直线l的方程为2x－y＋6＝0.

6．已知直线l：

ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是________．

答案　－2或1

解析　由题意可知a≠0.

当x＝0时，y＝a＋2.

当y＝0时，x＝.

∴＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.

7．直线y＝ax与y＝x＋a的图象可能是________．（填序号）

答案　③

8．已知直线y＝（3－2k）x－6不经过第一象限，则k的取值范围为________．

解析　由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则得k≥.

9．已知直线l过点P（2，－3），且与过点M（－1,2），N（5,2）的直线垂直，则直线l的方程为____________．

答案　x＝2

解析　因为直线MN的斜率k＝＝0，

所以该直线平行于x轴．

又直线l垂直于直线MN，

因此直线l的倾斜角为90°

又直线l过点P（2，－3），

所以直线l的方程为x－2＝0，即x＝2.

10．直线y＝bx－的图象如图所示，则a＋b＝________.

答案　2

解析　由图象知，直线斜率为－1，在y轴上截距为1，故a＝b＝－1，a＋b＝－2.

11．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．

答案　（－∞，－1]∪[1，＋∞）

解析　令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·

|－2k|＝k2.

由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，

所以k的取值范围是k≥1或k≤－1.

12．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的斜截式方程为________________．

答案　y＝x－

解析　由题意知，直线l的斜率为，

故设直线l的方程为y＝x＋b，

l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，

所以－b－b＝1，b＝－，

所以直线l的方程为y＝x－.

二、解答题

13．已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（－5,0），B（3，－3），C（0,2），求BC边上的高所在的直线方程．

解　设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，

∴kAD·

kBC＝－1，即·

k