第10讲相似三角形及判定 教师版Word文件下载.docx
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考点一、相似三角形
【例1】(☆)以下四个命题:
①所有的平行四边形都相似
②所有的矩形都相似;
③所有的菱形都相似;
④所有的正方形都相似;
其中正确的命题有④。
【例2】(☆☆)如图,△ABC中,点D在线段BC上,且△ABC∽△DBA,则下列结论一定正确的是( A )
A.B.C.D.
【例3】(☆☆)如图所示的两个三角形相似,则α与β的度数分别为( B )
A.α=30°
,β=30°
B.α=105°
C.α=30°
,β=105°
D.α=105°
,β=45°
【例4】(☆☆)在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,且△ADE与△ABC相似,AD=EC,BD=10,AE=4,则AB的长为( D )
A.B.12C.2+10D.12或2+10
答案:
解:
∵∠A=∠A,AD=EC,BD=10,AE=4,
∴若=时,△ADE∽△ABC,即=,
解得:
AD=2,
则AB=AD+DB=2+10;
若=时,△ADE∽△ACB,即=,
则AB=AD+DB=2+10=12,
∴AB的长为12或2+10.
故选:
D.
【例5】
(☆☆☆)如图,在钝角三角形ABC中,AB=6cm,AC=12cm,动点D从A点出发到B点止,动点E从C点出发到A点止。
点D运动的速度为1cm/秒,点E运动的速度为2cm/秒。
如果两点同时运动,那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时,运动的时间是3秒或4.8秒。
【解答】解:
如果两点同时运动,设运动t秒时,以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似,
则AD=t,CE=2t,AE=AC-CE=12-2t.
①当D与B对应时,有△ADE∽△ABC.
∴AD:
AB=AE:
AC,
∴t:
6=(12-2t):
12,
∴t=3;
②当D与C对应时,有△ADE∽△ACB.
AC=AE:
AB,
12=(12-2t):
6,
∴t=4.8.
故当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时,运动的时间是3秒或4.8秒.
举一反三
1.(☆☆)给出下列四个命题:
①所有的等腰三角形都是相似三角形;
②所有的直角三角形都是相似三角形;
③所有的等腰直角三角形都相似;
④所有的等边三角形都是相似三角形。
其中真命题的序号是③④.
2.(☆☆)如图,△ABC∽△AED,∠ADE=80°
,∠A=60°
,则∠C等于( C )
A.B.C.D.
3.(☆☆)如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,D是AC边上一点,AB=5,AC=4,若△ABC∽△BDC,则CD=( D )
A.2B.C.D.
4.(☆☆)在△ABC中,AC=6,AB=9,D是AC边上一点,且AD:
DC=1:
2,若E为AB边上的点,△ABC与以A,D,E为顶点的三角形相似,则AE的长度为( C )
A.3B.4.5C.或3D.2或4.5
5.(☆☆☆)如图,在△ABC中,∠B=90°
AB=6cm,BC=8cm,动点P以2cm/秒的速度从A点出发,沿AC向C移动,同时,动点Q以1cm/秒的速度从C点出发,沿CB向B移动.当其中有一点到达终点时,它们都停止移动,设移动时间为t秒.
(1)①当t=2.5秒时,求△CPQ的面积;
②求△CPQ的面积S(cm2)关于时间t(秒)的函数关系式;
(2)在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,直接写出t的值.
(1)①在Rt△ABC中,∠B=90°
,AB=6cm,BC=8cm,由勾股定理得:
AC=10cm,
由题意得:
AP=2×
2.5=5,CQ=2.5,
过P作PD⊥BC于D,
∴PD∥AB,
∵AP=5cm,AC=10cm,
∴P为AC中点,
∴D为BC中点,
∴PD=AB=×
6cm=3cm,
∴S△CPQ=CQ•PD=×
2.5cm×
3cm=3.75cm2;
②过Q作QE⊥AC于E,
AP=2t,CP=10-2t,
则∠CEQ=∠B=90°
,
∵∠C=∠C,
∴△CEQ∽△CBA,
∴,
∴QE=t,
∴S△CPQ=•CP•QE=(10-2t)•t,
S=-t2+3t(0<t<5);
(2)分为三种情况:
①当PC=CQ时,即10-2t=t,
t=,
当t=秒,△CPQ是等腰三角形.
②当PQ=CQ时,
∵QE⊥CP,
∴PE=CE=•(10-2t)=5-t,
∵,
∴当t=秒时,△CPQ是等腰三角形,
③当PQ=CP时,
∵PD⊥BC,
∴CD=QD=CQ=t,
t=
即当△CPQ为等腰三角形时,t的值是秒或秒或秒.
考点二、两个三角形相似的判定
【例1】(☆☆)如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是( D )
A.∠ABP=∠CB.∠APB=∠ABCC.AB2=AP•ACD.AB•BC=AC•BP
【例2】(☆☆)如图,添加一个条件:
∠ADE=∠ACB ,使△ADE∽△ACB,(写出一个即可)
【例3】(☆☆)如图,D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点.AE=1.5,AC=2,BC=3,且,求DE的长.
【例4】
(☆☆)如图,△ABC和△ADE中,∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE.
(1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线).
(2)请选择其中的一对三角形,说明其相似的理由.
【解答】
(1)解:
△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE;
(2)△ABD∽△ACE.
证明:
由
(1)知△ABC∽△ADE,
∴AB×
AE=AC×
AD,
∵∠BAD=∠CAE,
∴△ABD∽△ACE.
(☆☆)如图,在正方形ABCD中,E为边AD的中点,点F在边CD上,且CF=3FD,△ABE与△DEF相似吗?
为什么?
略
【例6】
(☆☆)如图,在边长为1的格点图形中,与△ABC相似的是( A )
A.B.C.D.
【例7】
(☆☆)如图,∠APD=90°
,AP=PB=BC=CD,则下列结论成立的是( B )
A.△PAB∽△PCAB.△ABC∽△DBAC.△PAB∽△PDAD.△ABC∽△DCA
【例8】
(☆☆)如图,△ABC的三个顶点都在⊙O上,∠BAC的平分线交BC于点D,交⊙O于点E,则与△ABD相似的三角形有( B )
A.3个B.2个C.1个D.0个
【例9】
(☆☆)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
,AD=2cm,BC=6cm,AB=7cm,点P是从点B出发在射线BA上的一个动点,运动的速度是1cm/s,连结PC、PD.若△PAD与△PBC是相似三角形,则满足条件的点P个数是( A )
A.5个B.4个C.3个D.2个
AD∥BC,∠ABC=90°
∴∠PAD+∠ABC=180°
∴∠PAD=90°
设AP=x,则BP=7﹣x,
分两种情况:
①当时,即,
x=;
②当时,即,
x=3,或x=4;
③当P点在A点左侧时还有二种情况,x=或x=,
综上所述:
当AP=或3或4或或时,△PAD与△PBC是相似三角形;
即满足条件的点P个数是5个.
A.
1.(☆☆)如图所示,给出下列条件:
①∠B=∠ACD;
②∠ADC=∠ACB;
③;
④AC2=AD•AB.
其中单独能够判△ABC∽△ACD的有( C )
A.①②③④B.①②③C.①②④D.①②
2.(☆☆)如图所示,已知∠DAB=∠CAE,再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC,则这个条件可能是∠D=∠B.(写出一个即可)
3.(☆☆)如图,在四个4×
4的正方形网格中,三角形相似的是( D )
A.①和②B.②和④C.②和③D.①和③
4.(☆☆☆)如图,矩形ABCD中,AD=a,AB=b,要使BC边上至少存在一点P,使△ABP、△APD、△CDP两两相似,则a,b间的关系式一定满足( )
A.B.a2≥b2C.D.a2≥4b2
若设PC=x,则BP=a-x,
∵△ABP∽△PCD,
∴,即,
即x2-ax+b2=0方程有解的条件是:
a2-4b2≥0,
∴(a+2b)(a-2b)≥0,则a-2b≥0,
∴a≥2b.
5.(☆☆)如图,∠ACB=∠ADC=90°
,BC=a,AC=b,AB=c,要使△ABC∽△CAD,只要CD等于( )
6.(☆☆)如图,已知△ABC与△BED都是顶角为36°
的等腰三角形,点D是边AC上一点,且满足BC2=CD•AC,DE与AB相交于点F,则图中有( )对相似三角形.
A.6B.7C.8D.9
7.(☆☆)如图,AB是半圆O的直径,D,E是半圆上任意两点,连结AD,DE,AE与BD相交于点C,要使△ADC与△ABD相似,可以添加一个条件.下列添加的条件其中错误的是( D )
A.∠ACD=∠DABB.AD=DEC.AD2=BD•CDD.AD•AB=AC•BD
A、因为∠ADC=∠BDA,∠ACD=∠DAB,所以△DAC∽△DBA,所以A选项添加的条件正确;
B、由AD=DE得∠DAC=∠E,而∠B=∠E,所以∠DAC=∠B,加上∠ADC=∠BDA,所以△DAC∽△DBA,所以B选项添加的条件正确;
C、由AD2=DB•CD,即AD:
DB=DC:
DA,加上∠ADC=∠BDA,所以△DAC∽△DBA,所以C选项添加的条件正确;
D、由AD•AB=AC•BD得=,而不能确定∠ABD=∠DAC,即不能确定点D为弧AE的中点,所以不能判定△DAC∽△DBA,所以D选项添加的条件错误.
8.(☆☆)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°
,AB=7cm,AD=2cm,BC=3cm,动点P从点A出发沿着线段AB方向以1cm/s的速度向点B运动,到达点B运动结束,设点P的运动时间为t秒,若以P、A、D为顶点的三角形与以P、B、C为顶点的三角形相似,则t的值不可能是( D )
A.1B.6C.D.
(三)、课下继续夯实
1.(☆☆)如图,D是AB上的一点.△ABC∽△ACD,且AD=2,BD=4,∠ADC=65°
,∠B=43°
,则
∠A= 72°
,AC= .
2.(☆☆)给出下列结论:
①任意两个等边三角形相似
②顶角对应相等的两个等腰三角形相似
③两条边对应成比例的两个直角三角形相似
其中正确的是( A )
A.①②B.①③C.②③D.①②③
3.(☆