高中数学竞赛讲义圆锥曲线Word格式.docx

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a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为（±

a,0）,（0,±

b）,（±

c,0）；

与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为

，与右焦点对应的准线为

；

定义中的比e称为离心率，且

，由c2+b2=a2知0<

1.

椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

4．椭圆的焦半径公式：

对于椭圆

1（a>

0）,F1（-c,0）,F2（c,0）是它的两焦点。

若P（x,y）是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.

5．几个常用结论：

1）过椭圆上一点P（x0,y0）的切线方程为

2）斜率为k的切线方程为

3）过焦点F2（c,0）倾斜角为θ的弦的长为

。

6．双曲线的定义，第一定义：

满足||PF1|-|PF2||=2a（2a<

2c=|F1F2|,a>

0）的点P的轨迹；

到定点的距离与到定直线距离之比为常数e（>

1）的点的轨迹。

7．双曲线的方程：

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为

焦点在y轴上的双曲线的标准方程为

8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线

（a,b>

0）,

a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为（-a,0）,（a,0）.左、右焦点为F1（-c,0）,F2（c,0），对应的左、右准线方程分别为

离心率

，由a2+b2=c2知e>

1。

两条渐近线方程为

，双曲线

与

有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。

若a=b，则称为等轴双曲线。

9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线

，F1（-c,0）,F2（c,0）是它的两个焦点。

设P（x,y）是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；

若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.

2）过焦点的倾斜角为θ的弦长是

10．抛物线：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。

若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为

，准线方程为

，标准方程为y2=2px（p>

0），离心率e=1.

11．抛物线常用结论：

若P（x0,y0）为抛物线上任一点，

1）焦半径|PF|=

2）过点P的切线方程为y0y=p（x+x0）；

3）过焦点倾斜角为θ的弦长为

12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。

13．圆锥曲线的统一定义：

到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0<

1，则点P的轨迹为椭圆；

若e>

1，则点P的轨迹为双曲线的一支；

若e=1，则点P的轨迹为抛物线。

这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为

二、方法与例题

1．与定义有关的问题。

例1已知定点A（2，1），F是椭圆

的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。

[解]见图11-1，由题设a=5,b=4,c=

=3,

.椭圆左准线的方程为

，又因为

，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。

由定义知

，则

|PF|=|PQ|。

所以3|PA|+5|PF|=3（|PA|+

|PF|）=3（|PA|+|PQ|）≥3|AM|（AM

左准线于M）。

所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得

，又x<

0，所以点P坐标为

例2已知P，

为双曲线C：

右支上两点，

延长线交右准线于K，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。

求证：

∠

F1K=∠KF1Q.

[证明]记右准线为l，作PD

l于D，

于E，因为

//PD，则

，又由定义

，所以

，由三角形外角平分线定理知，F1K为∠PF1P的外角平分线，所以∠

=∠KF1Q。

2．求轨迹问题。

例3已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。

[解法一]利用定义，以椭圆的中心为原点O，焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：

=1（a>

0）.F坐标为（-c,0）.设另一焦点为

连结

，OP，则

所以|FP|+|PO|=

（|FA|+|A

|）=a.

所以点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a>

|FO|=c），将此椭圆按向量m=（

0）平移，得到中心在原点的椭圆：

由平移公式知，所求椭圆的方程为

[解法二]相关点法。

设点P（x,y）,A（x1,y1），则

，即x1=2x+c,y1=2y.又因为点A在椭圆

上，所以

代入得关于点P的方程为

它表示中心为

，焦点分别为F和O的椭圆。

例4长为a,b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。

[解]设P（x,y）为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A（x-

0）,B（x+

0）,C（0,y-

）,D（0,y+

）,记O为原点，由圆幂定理知|OA|•|OB|=|OC|•|OD|，用坐标表示为

，即

当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；

当a>

b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；

当a<

b时，轨迹为焦点在y轴上的两条等轴双曲线。

例5在坐标平面内，∠AOB=

，AB边在直线l:

x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。

[解]设∠xOB=θ,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为B（3,3tanθ）,A（3,3tan（θ-

））,设外心为P（x,y），由中点公式知OB中点为M

由外心性质知

再由

得

×

tanθ=-1。

结合上式有

•tanθ=

①

又tanθ+

=

②

又

所以tanθ-

两边平方，再将①，②代入得

即为所求。

3．定值问题。

例6过双曲线

（a>

0,b>

0）的右焦点F作B1B2

轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。

H的横坐标为定值。

[证明]设点B，H，F的坐标分别为（asecα,btanα）,（x0,0）,（c,0），则F1，B1，B2的坐标分别为（-c,0）,（c,

）,（c,

），因为F1，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以

所以

由①得

代入上式得

即

（定值）。

注：

本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。

例7设抛物线y2=2px（p>

0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴。

证明：

直线AC经过定点。

[证明]设

，焦点为

由于

•y2-

y1=0，即

=0。

因为

所以

，即直线AC经过原点。

例8椭圆

上有两点A，B，满足OA

OB，O为原点，求证：

为定值。

[证明]设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=

，则点A，B的坐标分别为A（r1cosθ,r1sinθ）,B（-r2sinθ,r2cosθ）。

由A，B在椭圆上有

①+②得

4．最值问题。

例9设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OA

OB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。

[解]由题设a=1，b=

记|OA|=r1,|OB|=r2,

，参考例8可得

=4。

设m=|AB|2=

，且a2>

b2，所以

，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以

又函数f（x）=x+

在

上单调递减，在

上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；

当

或

时，|AB|取最大值

例10设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为

，若圆C：

1上点与这椭圆上点的最大距离为

，试求这个椭圆的方程。

[解]设A，B分别为圆C和椭圆上动点。

由题设圆心C坐标为

，半径|CA|=1，因为|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A，B，C共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值

，所以|BC|最大值为

所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,

t，椭圆方程为

，并设点B坐标为B（2tcosθ,tsinθ），则|BC|2=（2tcosθ）2+

=3t2sin2θ-3tsinθ+

+4t2=-3（tsinθ+

）2+3+4t2.

若

，则当sinθ=-1时，|BC|2取最大值t2+3t+

，与题设不符。

若t>

则当sinθ=

时，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.

所以椭圆方程为

5．直线与二次曲线。

例11若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。

[解]抛物线y=ax2-1的顶点为（0,-1），对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P（x1,y1），

（-y1,-x1），满足y1=a

且-x1=a（-y1）2-1，相减得x1+y1=a（

）,因为P不在直线x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a（x1-y1），即x1=y1+

此方程有不等实根，所以

，求得

，即为所求。

例12若直线y=2x+b与椭圆

相交，

（1）求b的范围；

（2）当截得弦长最大时，求b的值。

[解]二方程联立得17x2+16bx+4（b2-1）=0.由Δ>

0，得

<

b<

设两交点为P（x1,y1）,Q（x2,y2），由韦达定理得|PQ|=

所以当b=0时，|PQ|最大。

三、基础训练题

1．A为半径是R的定圆⊙O上一定点，B为⊙O上任一点，点P是A关于B的对称点，则点P的轨迹是________.

2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2（>

0），则动点的轨迹是________.

3．椭圆

上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________.

4．双曲线方程

，则k的取值范围是__