同济第六版高等数学教案WORD版第09章重积分Word文档下载推荐.docx
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一、二重积分的概念
1.曲顶柱体的体积
设有一立体,它的底是xOy面上的闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z=f(x,y),这里f(x,y)≥0且在D上连续.这种立体叫做曲顶柱体.现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.
首先,用一组曲线网把D分成n个小区域
∆σ1,∆σ2,⋅⋅⋅,∆σn.
分别以这些小闭区域的边界曲线为准线,作母线平行于z轴的柱面,这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体.在每个∆σi中任取一点(ξi,ηi),以f(ξi,ηi)为
高而底为∆σi的平顶柱体的体积为
f(ξi,ηi)∆σi(i=1,2,⋅⋅⋅,n).
这个平顶柱体体积之和
.
可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值.为求得曲顶柱体体积的精确值,将分割加密,只需取极限,即
其中λ是个小区域的直径中的最大值.
2.平面薄片的质量.
设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D,它在点(x,y)处的面密度为ρ(x,y),这里ρ(x,y)>
0且在D上连续.现在要计算该薄片的质量M.
用一组曲线网把D分成n个小区域
把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量:
ρ(ξi,ηi)∆σi.
各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值:
将分割加细,取极限,得到平面薄片的质量
定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D任意分成n个小闭区域
其中∆σi表示第i个小区域,也表示它的面积.在每个∆σi上任取一点(ξi,ηi),作和
如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记作,即
.
f(x,y)被积函数,f(x,y)dσ被积表达式,dσ面积元素,x,y积分变量,D积分区域,积分和.
直角坐标系中的面积元素:
如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D,那么除了包含边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域.设矩形闭区域∆σi的边长为∆xi和∆yi,则∆σi=∆xi∆yi,因此在直角坐标系中,有时也把面积元素dσ记作dxdy,而把二重积分记作
其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.
二重积分的存在性:
当f(x,y)在闭区域D上连续时,积分和的极限是存在的,也就是说函数f(x,y)在D上的二重积分必定存在.我们总假定函数f(x,y)在闭区域D上连续,所以f(x,y)在D上的二重积分都是存在的.
二重积分的几何意义:
如果f(x,y)≥0,被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的在点(x,y)处的竖坐标,所以二重积分的几何意义就是柱体的体积.如果f(x,y)是负的,柱体就在xOy面的下方,二重积分的绝对值仍等于柱体的体积,但二重积分的值是负的.
二.二重积分的性质
性质1设c1、c2为常数,则
性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域,则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和.例如D分为两个闭区域D1与D2,则
性质3(σ为D的面积).
性质4如果在D上,f(x,y)≤g(x,y),则有不等式
特殊地有
性质5设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值,σ为D的面积,则有
性质6(二重积分的中值定理)设函数f(x,y)在闭区域D上连续,σ为D的面积,则在D上至少存在一点(ξ,η)使得
9.2二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
X--型区域:
D:
ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x),a≤x≤b.
Y--型区域:
ψ1(x)≤y≤ψ2(x),c≤y≤d.
混合型区域:
设f(x,y)≥0,D={(x,y)|ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x),a≤x≤b}.
此时二重积分在几何上表示以曲面z=f(x,y)为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积.
对于x0∈[a,b],曲顶柱体在x=x0的截面面积为以区间[ϕ1(x0),ϕ2(x0)]为底、以曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形,所以这截面的面积为
根据平行截面面积为已知的立体体积的方法,得曲顶柱体体积为
即V=.
可记为
类似地,如果区域D为Y--型区域:
ψ1(x)≤y≤ψ2(x),c≤y≤d,
则有
例1.计算,其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域.
解:
画出区域D.
方法一.可把D看成是X--型区域:
1≤x≤2,1≤y≤x.于是
.
注:
积分还可以写成.
解法2.也可把D看成是Y--型区域:
1≤y≤2,y≤x≤2.于是
例2.计算,其中D是由直线y=1、x=-1及y=x所围成的闭区域.
解画出区域D,可把D看成是X--型区域:
-1≤x≤1,x≤y≤1.于是
也可D看成是Y--型区域:
-1≤y≤1,-1≤x<
y.于是
例3计算,其中D是由直线y=x-2及抛物线y2=x所围成的闭区域.
解积分区域可以表示为D=D1+D2,
其中;
.于是
积分区域也可以表示为D:
-1≤y≤2,y2≤x≤y+2.于是
讨论积分次序的选择.
例4求两个底圆半径都等于ρ的直交圆柱面所围成的立体的体积.
解设这两个圆柱面的方程分别为
x2+y2=ρ2及x2+z2=ρ2.
利用立体关于坐标平面的对称性,只要算出它在第一卦限部分的体积V1,然后再乘以8就行了.
第一卦限部分是以D={(x,y)|0≤y≤,0≤x≤ρ}为底,以顶的曲顶柱体.
于是
.
二.利用极坐标计算二重积分
有些二重积分,积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便,且被积函数用极坐标变量ρ、θ表达比较简单.这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分.
按二重积分的定义.
下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式.
以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域,小闭区域的面积为:
其中表示相邻两圆弧的半径的平均值.
在∆σi内取点,设其直角坐标为(ξi,ηi),
则有,.
于是,
即.
若积分区域可表示为
ϕ1(θ)≤ρ≤ϕ2(θ),α≤θ≤β,
则.
讨论:
如何确定积分限?
例5.计算,其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域.
解在极坐标系中,闭区域D可表示为
0≤ρ≤a,0≤θ≤2π.
于是
注:
此处积分也常写成.
利用计算广义积分:
设D1={(x,y)|x2+y2≤R2,x≥0,y≥0},
D2={(x,y)|x2+y2≤2R2,x≥0,y≥0},
S={(x,y)|0≤x≤R,0≤y≤R}.
显然D1⊂S⊂D2.由于,从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式
因为,
又应用上面已得的结果有
,
于是上面的不等式可写成.
令R→+∞,上式两端趋于同一极限,从而.
例6求球体x2+y2+z2≤4a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积.
解由对称性,立体体积为第一卦限部分的四倍.
其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域.
在极坐标系中D可表示为
0≤ρ≤2acosθ,.
9.3三重积分
一、三重积分的概念
定义设f(x,y,z)是空间有界闭区域Ω上的有界函数.将Ω任意分成n个小闭区域
∆v1,∆v2,⋅⋅⋅,∆vn
其中∆vi表示第i个小闭区域,也表示它的体积.在每个∆vi上任取一点(ξi,ηi,ζi),作乘积f(ξi,ηi,ζi)∆vi(i=1,2,⋅⋅⋅,n)并作和.如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y,z)在闭区域Ω上的三重积分,记作.即
三重积分中的有关术语:
——积分号,f(x,y,z)——被积函数,f(x,y,z)dv——被积表达式,dv体积元素,x,y,z——积分变量,Ω——积分区域.
在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面来划分Ω,则∆vi=∆xi∆yi∆zi,因此也把体积元素记为dv=dxdydz,三重积分记作
当函数f(x,y,z)在闭区域Ω上连续时,极限是存在的,
因此f(x,y,z)在Ω上的三重积分是存在的,以后也总假定f(x,y,z)在闭区域Ω上是连续的.
三重积分的性质:
与二重积分类似.
比如
;
其中V为区域Ω的体积.
二、三重积分的计算
1.利用直角坐标计算三重积分
三重积分的计算:
三重积分也可化为三次积分来计算.设空间闭区域Ω可表为
z1(x,y)≤z≤z2(x,y),y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b,
则
其中D:
y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b.它是闭区域Ω在xOy面上的投影区域.
提示:
设空间闭区域Ω可表为
计算.
基本思想:
对于平面区域D:
y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b内任意一点(x,y),将f(x,y,z)只看作z的函数,在区间[z1(x,y),z2(x,y)]上对z积分,得到一个二元函数F(x,y),
然后计算F(x,y)在闭区域D上的二重积分,这就完成了f(x,y,z)在空间闭区域Ω上的三重积分.
y1(x)≤