同济第六版高等数学教案WORD版第09章重积分Word文档下载推荐.docx

1、 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy面上的闭区域D, 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面, 它的顶是曲面z=f（x, y）, 这里f（x, y）0且在D上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D分成n个小区域 1, 2, , n . 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体. 在每个 i中任取一点（ i , i）, 以f （ i , i）为高而底为 i的平顶柱体的体积为 f （ i , i） i （i=1, 2, , n

2、 ）. 这个平顶柱体体积之和 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即其中是个小区域的直径中的最大值. 2. 平面薄片的质量. 设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D, 它在点（x, y）处的面密度为（x, y）, 这里（x, y）0且在D上连续. 现在要计算该薄片的质量M. 用一组曲线网把D分成n个小区域 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量: （ i , i） i . 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值: 将分割加细, 取极限, 得到平面薄片的质量 定义 设f（x, y）是有界闭区域D上的有界函数. 将闭区域D任意分成n

3、个小闭区域 其中 i表示第i个小区域, 也表示它的面积. 在每个 i上任取一点（ i, i）, 作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f（x, y）在闭区域D上的二重积分, 记作, 即 .f（x, y）被积函数, f（x, y）d被积表达式, d面积元素, x, y积分变量, D积分区域, 积分和. 直角坐标系中的面积元素: 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D, 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域i的边长为xi和yi, 则i=xiyi, 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素d 记作dx

4、dy, 而把二重积分记作其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素. 二重积分的存在性: 当f（x, y）在闭区域D上连续时, 积分和的极限是存在的, 也就是说函数f（x, y）在D上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f（x, y）在闭区域D上连续, 所以f（x, y）在D上的二重积分都是存在的. 二重积分的几何意义: 如果f（x, y）0, 被积函数f（x, y）可解释为曲顶柱体的在点（x, y）处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f（x, y）是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的. 二. 二重积分的性质 性质1

5、设c1、c2为常数, 则 性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域, 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和. 例如D分为两个闭区域D1与D2, 则 性质3 （为D的面积）. 性质4 如果在D上, f（x, y）g（x, y）, 则有不等式 特殊地有 性质5 设M、m分别是f（x, y）在闭区域D上的最大值和最小值, 为D的面积, 则有 性质6（二重积分的中值定理） 设函数f（x, y）在闭区域D上连续, 为D的面积, 则在D上至少存在一点（, ）使得9. 2 二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 X-型区域: D : 1（x）y2（x）, axb . Y -

6、型区域: 1（x）y2（x）, cyd . 混合型区域: 设f（x, y）0, D=（x, y）| 1（x）y2（x）, axb. 此时二重积分在几何上表示以曲面z=f（x, y）为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积. 对于x0a, b, 曲顶柱体在x=x0的截面面积为以区间1（x0）, 2（x0）为底、以曲线z=f（x0, y）为曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为即 V=. 可记为 类似地, 如果区域D为Y -型区域: 1（x）y2（x）, cyd , 则有 例1. 计算, 其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域. 解:

7、 画出区域D. 方法一. 可把D看成是X-型区域: 1x2, 1yx . 于是. 注: 积分还可以写成. 解法2. 也可把D看成是Y-型区域: 1y2, yx2 . 于是 例2. 计算, 其中D是由直线y=1、x=-1及y=x所围成的闭区域. 解 画出区域D, 可把D看成是X-型区域: -1x1, xy1. 于是 也可D看成是Y-型区域：-1y1, -1xy . 于是 例3 计算, 其中D是由直线y=x-2及抛物线y2=x所围成的闭区域. 解 积分区域可以表示为D=D1+D2, 其中; . 于是积分区域也可以表示为D: -1y2, y2xy+2. 于是 讨论积分次序的选择. 例4 求两个底圆半

8、径都等于的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2+y2= 2及x2+z2= 2. 利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积V1, 然后再乘以8就行了. 第一卦限部分是以D=（x, y）| 0y, 0x为底, 以顶的曲顶柱体. 于是 . 二. 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量 、 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分. 按二重积分的定义. 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式. 以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的

9、网将区域D分为n个小闭区域, 小闭区域的面积为: , 其中表示相邻两圆弧的半径的平均值. 在i内取点, 设其直角坐标为（ i, i）, 则有 , . 于是 , 即 . 若积分区域可表示为 1（） 2（）, , 则 . 讨论:如何确定积分限? 例5. 计算, 其中D是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系中, 闭区域D可表示为 0a , 0 2 . 于是 注: 此处积分也常写成. 利用计算广义积分: 设D1=（x, y）|x2+y2R2, x0, y0, D2=（x, y）|x2+y22R2, x0, y0, S=（x, y）|0xR, 0yR. 显然D1SD2. 由于,

10、 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式因为 , 又应用上面已得的结果有 , ,于是上面的不等式可写成. 令R+, 上式两端趋于同一极限, 从而. 例6 求球体x2+y2+z24a2被圆柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积. 解 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍. 其中D为半圆周及x轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D可表示为 02a cos , . 9.3 三重积分一、三重积分的概念 定义 设f（x, y, z）是空间有界闭区域上的有界函数. 将任意分成n个小闭区域 v1, v2, , vn 其中vi表示第i个小闭区域, 也表示它的体积. 在每个vi上任取一

11、点（i, i, i）, 作乘积f（ i, i, i）vi（i=1, 2, , n）并作和. 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f（x, y, z）在闭区域上的三重积分, 记作. 即 三重积分中的有关术语: 积分号, f（x, y, z）被积函数, f（x, y, z）dv被积表达式, dv体积元素, x, y, z积分变量, 积分区域. 在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的平面来划分, 则vi=xi yizi , 因此也把体积元素记为dv =dxdydz, 三重积分记作 当函数f （x, y, z）在闭区域上连续时, 极限是存在的, 因此f（x,

12、 y, z）在上的三重积分是存在的, 以后也总假定f（x, y, z）在闭区域上是连续的. 三重积分的性质: 与二重积分类似. 比如 ; , 其中V为区域的体积. 二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 三重积分的计算: 三重积分也可化为三次积分来计算. 设空间闭区域可表为 z1（x, y）zz2（x, y）, y1（x）yy2（x）, axb, 则 其中D : y1（x） y y2（x）, axb. 它是闭区域在xOy面上的投影区域. 提示: 设空间闭区域可表为计算. 基本思想:对于平面区域D: y1（x）yy2（x）, axb内任意一点（x, y）, 将f（x, y, z）只看作z的函数, 在区间z1（x, y）, z2（x, y）上对z积分, 得到一个二元函数F（x, y）, 然后计算F（x, y）在闭区域D上的二重积分, 这就完成了f（x, y, z）在空间闭区域上的三重积分. y1（x）