第七章习题解答文档格式.docx
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.那么
可由
线性表示,不妨设
.对任意的
有
则
3.设是向量空间V的线性变换，如果k－10,但k＝0，求证,,…,k－1（k>
0）线性无关.
证明:
令
┄+
┈┈┈┈
（1）
（1）式两端用
作用得:
+
由已知得:
=
所以有
.则
（1）式变为:
┈┈┈┈
（2）
（2）式两端用
同理
.重复上述过程有:
.
4.在向量空间R[x]中，（f（x））＝f（x）,（f（x））＝xf（x）,证明，－＝.
对任意
.所以－＝.
5.在向量空间R3中，线性变换,如下：
（x1,x2,x3）＝（x1,x2,x1＋x2）
（x1,x2,x3）＝（x1＋x2－x3,0,x3－x1－x2）
（1）求,,2；
（2）求＋,－,2.
解:
（1）
0,
=
（2）
6.已知向量空间R3的线性变换为
（x1,x2,x3）＝（x1＋x2＋x3,x2＋x3,－x3）
证明，是可逆变换，并求－1.
关于
的一个基
的矩阵为:
显然,
可逆,所以
是可逆变换,而且
所以
7.设,,都是向量空间V的线性变换，试证,
（1）如果,都与可交换，则,2也都与可交换（若对任意V，都有（）＝（），就说与可交换）；
（2）如果＋,－都与可交换，则,也都与可交换.
证:
（1）由已知
（2）同理可证.
8.证明，数域F上的有限维向量空间V的线性变换是可逆变换的充分必要条件是把非零向量变为非零向量.
不妨设
是n维的.
是它的一个基.
关于这个基的矩阵为
.显然,
可逆当且仅当
可逆.
把非零向量变为非零向量当且仅当
而秩
=秩
的零度=
.且秩
的零度=n.所以秩
=n当且仅当
的零度是0,即
.故
把非零向量变为非零向量.
9.证明，可逆线性变换把线性无关的向量组变为线性无关的向量组.
是向量空间
的可逆线性变换,
的一组线性无关的向量,令
两端用
.由已知
线性无关,所以:
线性无关.
10.设{1,2,3}是F上向量空间V的一个基.已知V的线性变换在{1,2,3}下的矩阵为
A＝
（1）求在{1,3,2}下的矩阵；
（2）求在{1,k2,3}下的矩阵（k0，kF）；
（3）求在{1,1＋2,3}下的矩阵.
（1）
（3）
11.在R3中定义线性变换如下
（x1,x2,x3）＝（2x2＋x3,x1－4x2,3x1），（x1,x2,x3）R3.
（1）求在基1＝（1,0,0）,2＝（0,1,0）,3＝（0,0,1）下的矩阵；
（2）利用
（1）中结论，求在基1＝（1,1,1），2＝（1,1,0），3＝（1,0,0）下的矩阵.
（1）
（2）从基
到基
的过渡矩阵为
在
下的矩阵为:
12.已知M2（F）的两个线性变换，如下
（X）＝X
（X）＝
X,XM2（F）.
试求＋,在基E11,E12,E21,E22下的矩阵.又问和是否可逆？
若可逆，求其逆变换在同一基下的矩阵.
在基
下的矩阵为
同理可证
下的矩阵.
.所以
在此基下的矩阵为：
可逆.所以
在同一基下的矩阵为:
同理可讨论
的可逆性及求
的矩阵.
13.设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换.W1,W2是V的子空间，并且
V＝W1
W2
证明，是可逆变换的充要条件是
V＝（W1）
（W2）
的一个基.令
的一个基.
设可逆,则
也是
的一个基.但
£
（
）.
）
故V＝（W1）
（W2）.
充分性:
将必要性的过程倒过去即可.
14.设R3的线性变换定义如下：
（x1,x2,x3）＝（2x1－x2,x2－x3,x2＋x3）
求在基
1＝（1,0,0）,2＝（0,1,0）,3＝（0,0,1）
及基
1＝（1,1,0）,2＝（0,1,1）,3＝（0,0,1）
在基{1,3,2}下的矩阵为:
在基{
}下的矩阵为:
15.在M2（F）中定义线性变换为
（X）＝
X，XM2（F）.
求在基{E11,E12,E21,E22}下的矩阵，其中
E11＝
E12＝
E21＝
E22＝
}下的矩阵为
16.证明，与n维向量空间V的全体线性变换可交换的线性变换是数量变换.
由
习题二及第10题的结论易得.
17.给定R3的两个基
1＝（1,0,1）,2＝（2,1,0）,3＝（1,1,1）；
和1＝（1,2,－1）,2＝（2,2,－1）,3＝（2,－1,－1）.
是R3的线性变换，且（i）＝i，i＝1,2,3.求
（1）由基{1,2,3}到基{1,2,3}的过渡矩阵；
（2）关于基{1,2,3}的矩阵；
（3）关于基{1,2,3}的矩阵.
（1）令
.则由{1,2,3}到{1,3,2}的过渡矩阵为:
.由基{1,3,2}到基{1,2,3}的过渡矩阵为:
所以由基{1,2,3}到基{1,2,3}的过渡矩阵为:
（2）
.所以在
.关于基{1,2,3}的矩阵为:
18.设1＝（－1,0,－2）,2＝（0,1,2）,3＝（1,2,5），1＝（－1,1,0）,2＝（1,0,1）,3＝（0,1,2），＝（0,3,5）是R3中的向量，是R3的线性变换，并且
（1）＝（2,0,－1）,
（2）＝（0,0,1）,（3）＝（0,1,2）.
（1）求关于基{1,2,3}的矩阵；
（2）求（）关于基{1,2,3}的坐标；
（3）求（）关于基{1,2,3}的坐标.
.则从基{1,2,3}到基{1,2,3}的过渡矩阵为:
又
所以关于
.从而关于基{1,2,3}的矩阵为:
的坐标为:
由
（2）可知
=（1,2,3）
{1,2,3}的坐标为:
19.设R3有一个线性变换定义如下：
（x1,x2,x3）＝（x1＋x2，x2＋x3，x3），（x1,x2,x3）R3.
下列R3的子空间哪些在之下不变？
（1）{（0,0,c）|cR};
（2）{（0,b,c）|b,cR};
（3）{（a,0,0）|aR};
（4）{（a,b,0）|a,bR};
（5）{（a,0,c）|a,cR};
（6）{（a,－a,0）|aR}.
（3）与（4）在之下不变.
20.设是n维向量空间V的一个线性变换，证明下列条件等价:
（1）（V）＝V；
（2）ker＝{0}.
因为秩
的零度=n.所以秩
当且仅当
因此
21.已知R3的线性变换定义如下：
（x1,x2,x3）＝（x1＋2x2－x3,x2＋x3,x1＋x2－2x3），（x1,x2,x3）R3.
求的值域（V）与核Ker的维数和基.
关于基
其中
22.设是向量空间V的一个线性变换，W是的一个不变子空间，证明，W是2的不变子空间.
由不变子空间的定义易证.
23.设是数域F上n（0）维向量空间V的一个线性变换，{1,2,…,r,r＋1,…,n}是V的基.证明，如果{1,2,…,r}是Ker的基，那么{（r＋1）,…,（n）}是Im的基.
已知{1,2,…,r}是Ker的基,则（i）=0,i=1,2,…,r.
令lr+1（r＋1）+lr+2（r＋2）+…+ln（n）=0,则
（lr+1r＋1+…+lnn）=0,lr+1r＋1+…+lnnKer.
所以lr+1r＋1+…+lnn=l11+…+lrr
但1,2,…,r,r＋1,…,n是V的一个基,故lr+1=…=ln=0.
所以（r＋1）,…,（n）线性无关.
又Im=£
（
（1）,
（2）…,（n））=（（r＋1）,…,（n））.
从而结论成立.
24.对任意R4，令（）＝A，其中
求线性变换的核与象.
解:
1=
2=
Ker=£
（1,2）.
（
1）=
（
2）=
Im=£
（（
1）,（
2））.
25.设，是向量空间V的线性变换，且＋＝，＝＝.这里是V的恒等变换，是V的零变换.证明:
（1）V＝（V）（V）；
（2）（V）＝Ker.
V,
=（
）=（＋）（
）=（
）+（
）.所以V＝（V）+（V）.对任意
（V）∩（V）.则
1）+（
2）.由已知条件可得
=（（
1））=（＋）（（
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